4.2. 平展预层/层的茎

引理 4.2.0.1. 给定概形 $X$ 和几何点 $\bar{x}$, 则

(i) 给定两个平展邻域 $(U_i,{\bar{u}}_i{)}_{i=1,2}$, 存在第三个平展邻域 $(U,\bar{u})$ 和态射 $(U,\bar{u})\to (U_i,{\bar{u}}_i)$;

(ii) 假设 $h_1,h_2:(U_1,{\bar{u}}_1)\to (U_2,{\bar{u}}_2)$ 是平展邻域的态射, 则存在第三个平展邻域 $(U,\bar{u})$ 和态射 $h:(U,\bar{u})\to (U_1,{\bar{u}}_1)$ 使得 $h_1\circ h=h_2\circ h$.

证明.. (i) 只需考虑 $U=U_1{\times }_X{U}_2$, 而 $\bar{s}\to U$ 被 $({\bar{u}}_1,{\bar{u}}_2)$ 定义;

(ii) 定义 $U$ 为纤维积并定义 $\bar{u}=({\bar{u}}_1,{\bar{u}}_2)$.

$\square$

注 4.2.0.2. 在 (ii) 内, 通过一些假设, 我们可以使得态射 $h_1=h_2$: 若我们有诺特分离概形的图标其中 $Y$ 连通且 $p,q$ 平展, 则 $g=g^{\prime }$. 这是因为 $\delta :X\to X{\times }_{S}X$ 平展且是闭浸入, 则 $X{\times }_{S}X=\delta (X)\bigsqcup Z$ 为连通分支的无交并. 注意到 $g\times g^{\prime }:Y\to X{\times }_{S}X$ 有连通的像. 根据图知 $\delta (X)\cap \mathrm{Im}(g\times g^{\prime })\ne \varnothing$, 故 $\mathrm{Im}(g\times g^{\prime })\subset \delta (X)$, 故 $g=g^{\prime }$.

定义 4.2.0.3. 给定概形 $X$ 和 $\mathcal{P}\in \mathrm{PreSh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$. 给定几何点 $\bar{x}$, 定义 $\mathcal{P}$ 在 $\bar{x}$ 的茎为$${\mathcal{P}}_{\bar{x}}:=\underset{(U,\bar{u})}{\underrightarrow{\lim }}\mathcal{P}(U)$$其中余极限遍历所有平展邻域, 根据引理 4.2.0.1 此为滤余极限.

注 4.2.0.4. 给定概形 $X$ 和几何点 $\bar{x}$, 则不难看出 $\mathcal{F}\mapsto {\mathcal{F}}_{\bar{x}}$ 作为函子 $\mathrm{PreSh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\to \mathrm{Sets}$ 或者 $\mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\to \mathrm{Sets}$ 或者 $\mathrm{PreAb}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\to \mathrm{AbGrps}$ 或者 $\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\to \mathrm{AbGrps}$ 都是正合的. 如果你不放心, 请参考 Tag 03PT.

定义 4.2.0.5. 给定概形 $X$ 和几何点 $\bar{x}$, 给定集合 $E$, 定义 $E^{\bar{x}}\in \mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 为:$$E^{\bar{x}}(U):=\underset{{\mathrm{Hom}}_X(\bar{x},U)}{⨁}E.$$

注 4.2.0.6. 有几个简单的性质:

(i) 这个 $E^{\bar{x}}$ 在平展拓扑下一定是层, 其他景上面不一定;

(ii) 我们有伴随函子 $((-{)}_{\bar{x}},(-{)}^{\bar{x}})$, 在预层范畴上这个伴随对任何景都对, 在层范畴上需要一定条件 (而小平展景显然满足), 若对这个有兴趣, 参考 Tag 00Y3;

(iii) 对于几何点 $\bar{y}$, 除非 $\bar{y}$ 也在 $\bar{x}$ 对应的点上, 否则 $(E^{\bar{x}}{)}_{\bar{y}}=0$.

命题 4.2.0.7. 给定概形 $X$ 和几何点 $\bar{x}$, 对于 $\mathcal{P}\in \mathrm{PreSh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 有 ${\mathcal{P}}_{\bar{x}}={\mathcal{P}}_{\bar{x}}^{♯}$.

证明.. 因为有伴随性, 对于任何集合 $E$, 我们有$${\mathrm{Mor}}_{\mathrm{Sets}}({\mathcal{P}}_{\bar{x}},E)={\mathrm{Hom}}_{\mathrm{PreSh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})}(\mathcal{P},E^{\bar{x}})={\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Sh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})}({\mathcal{P}}^{♯},E^{\bar{x}})={\mathrm{Mor}}_{\mathrm{Sets}}({\mathcal{P}}_{\bar{x}}^{♯},E),$$因此成立.

$\square$

对于结构层 ${\mathcal{O}}_{X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$, 它的茎有特殊的代数性质.

命题 4.2.0.8. 给定概形 $X$ 和在 $x\in X$ 上的几何点 $\bar{x}$. 设 $\kappa (x)\subset \kappa (x{)}^{\mathrm{sep}}\subset \kappa (\bar{x})$ 是可分代数闭包, 则有

(i) 有同构 $({\mathcal{O}}_{X,x}{)}^{\mathrm{sh}}\cong ({\mathcal{O}}_{X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}{)}_{\bar{x}}$, 前者为 ${\mathcal{O}}_{X,x}$ 的严格 Hensel 化;

(ii) 设 ${\mathfrak{m}}_x$ 是 ${\mathcal{O}}_{X,x}$ 的极大理想, 则 ${\mathfrak{m}}_x({\mathcal{O}}_{X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}{)}_{\bar{x}}$ 是 $({\mathcal{O}}_{X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}{)}_{\bar{x}}$ 的极大理想, 且满足$$({\mathcal{O}}_{X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}{)}_{\bar{x}}/{\mathfrak{m}}_x({\mathcal{O}}_{X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}{)}_{\bar{x}}\cong \kappa (x{)}^{\mathrm{sep}};$$

(iii) 对任何首一多项式 $f\in ({\mathcal{O}}_{X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}{)}_{\bar{x}}[T]$ 和任意 $\bar{f}\in \kappa (x{)}^{\mathrm{sep}}[T]$ 的根 ${\alpha }_0\in \kappa (x{)}^{\mathrm{sep}}$ 使得 ${\bar{f}}^{\prime }({\alpha }_0)\ne 0$, 则存在 $\alpha \in ({\mathcal{O}}_{X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}{)}_{\bar{x}}$ 使得 $f(\alpha )=0$ 且 ${\alpha }_0=\bar{\alpha }$.

证明.. 这些都是复杂的交换代数, 见 Tag 04GE, Tag 04GP 和 04GW. 其中 (iii) 被称之为 Hensel 引理, 满足 (iii) 的环叫做 Hensel 局部环, 如果这个环的剩余类域可分代数闭, 则称之为严格 Hensel 局部环. 所以我们这里就是一个严格 Hensel 环.

$\square$

注 4.2.0.9. 我们之后将记 ${\mathcal{O}}_{X,\bar{x}}^{\mathrm{sh}}:=({\mathcal{O}}_{X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}{)}_{\bar{x}}$, 也不会有歧义.

对于 Hensal 局部环, 我们还有如下常用的结论:

命题 4.2.0.10 (Hensel 引理). 设 $(A,\mathfrak{m},\kappa )$ 是 Hensal 局部环, 则

(i) 任何有限 $A$-代数 $S$ 都是在 $R$ 上有限的局部环的乘积, 此时这些局部环依旧是 Hensal 局部环;

(ii) 如果平展 $A$-代数 $B$ 满足 $B$ 的极大理想 $\mathfrak{n}$ 卧于 $\mathfrak{m}$ 上使得 $\kappa \cong B/\mathfrak{n}$, 则存在同构 $\varphi :B\cong A\times B^{\prime }$ 使得 $\varphi (\mathfrak{n})=\mathfrak{m}\times B^{\prime }\subset A\times B^{\prime }$;

(iii) 我们有范畴等价:$$\{\text{有限平展}A\text{-代数}\}⟷\{\text{有限平展}\kappa \text{-代数}\},S\mapsto S/\mathfrak{m}S.$$

证明.. 纯粹的交换代数, 参考 Tag 04GG, Tag 04GH, Tag 04GK 和 Tag 03QH.

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