4.6. 拟凝聚层

类似于 Zariski 拓扑下的拟凝聚层, 我们对于一般的景上面都可以类似定义:

定义 4.6.0.1. 考虑景 $X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ 上的 ${\mathcal{O}}_{X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$-模 $\mathcal{F}$ 称之为拟凝聚的如果任取 $U\in X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$, 存在 $\{U_i\to U\}\in \mathrm{Cov}(U)$ 使得$$\mathcal{F}{|}_{X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}/U_i}\cong \mathrm{coker}\left(\underset{k\in K}{⨁}{\mathcal{O}}_{X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}/U_i}\to \underset{l\in L}{⨁}{\mathcal{O}}_{X,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}/U_i}\right).$$其中 $X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}/U_i$ 是局部景, 其中的对象皆为 $V\to U_i$, 覆盖皆为 $U_i$-映射.

注 4.6.0.2. 这个在所有景上面都可以定义.

作为下降理论的应用, 我们有如下令人震惊的结论:

定理 4.6.0.3. 如下拟凝聚层范畴是范畴等价:$$\mathrm{Qcoh}(X_{\mathrm{Zar}})\to \mathrm{Qcoh}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}),\mathcal{F}\mapsto {\mathcal{F}}^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}.$$

证明.. 这个是下降理论的直接应用, 需要用到纤维范畴 $\mathrm{QCOH}$ 然后可以证明其为有效的 fpqc 下降, 但这个的证明非常复杂 (参考 [6] 定理 4.23). 我们推荐感兴趣的读者阅读 [24] 命题 4.3.15.

$\square$

注 4.6.0.4. 作为推广我们可以考虑一些特殊的景, 也满足类似结论. 见 Tag 03OJ.

因此我们在之后还将会看到, 考虑拟凝聚层的平展上同调和 Zariski 上同调没有什么区别!