4.5. Kummer 理论和 Artin-Schreier 列

基本正合列

类似于复几何里的正合列 $0\to \mathbb{Z}\to \mathbb{C}\stackrel{\exp }{⟶}{\mathbb{C}}^{\ast }\to 0$, 尽管我们此时没有 $\exp$, 但可以有如下的近似正合列 (以此取逆极限来模拟):

定理 4.5.0.1 (Kummer 正合列). 给定概形 $X$ 和正整数 $n$ 使得 $n$ 在 $X$ 内可逆 (不被任何剩余类域的特征整除), 则有 $\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 内的正合列$$0\to {\mathbf{\mu }}_{n,X}\to {\mathbb{G}}_{m,X}\stackrel{t\mapsto t^n}{⟶}{\mathbb{G}}_{m,X}\to 0.$$

证明.. 显然 ${\mathbf{\mu }}_{n,X}$ 为 ${\mathbb{G}}_{m,X}\stackrel{t\mapsto t^n}{⟶}{\mathbb{G}}_{m,X}$ 的核. 故只需要证明满射. 取 $U=\mathrm{Spec}A$ 是仿射的平展 $X$-概形, 任取 $a\in \Gamma (U,{\mathbb{G}}_{m,X})$, 根据假设知典范映射 $V=\mathrm{Spec}A[t]/(t^n-a)\to U$ 是平展映射. 注意到对应的环同态是有限自由的, 故忠实平坦, 于是是满射. 因此 $V\to U$ 是平展覆盖, 根据 4.4.0.1 即可得到结论.

$\square$

定理 4.5.0.2 (Artin-Schreier 列). 给定概形 $X$ 和素数 $p$ 使得在 $\Gamma (X,{\mathcal{O}}_X)$ 内 $p=0$, 则有 $\mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$ 内的正合列$$0\to {\underline{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}}_X\to {\mathbb{G}}_{a,X}\stackrel{t\mapsto t^p-t}{⟶}{\mathbb{G}}_{a,X}\to 0.$$

证明.. 类似于 Kummer 正合列, 注意到此时 $\mathrm{Spec}A[t]/(t^p-t-a)\to \mathrm{Spec}A$ 是平展覆盖即可.

$\square$

和 Galois 理论的联系

见第 6.4 节.