18.1. 常值层上同调/经典 de Rham 上同调-奇异比较定理

定理 18.1.0.1 (常值层-奇异上同调比较). 设 $X$ 是局部可缩拓扑空间, 则对任何交换环 $G$ 都有典范同构$$H_{\mathrm{sing}}^i(X,G)\cong H^i(X,\underline{G}).$$

证明. (摘自 [29] 定理 4.47) 定义层$${\mathcal{C}}_{\mathrm{sing}}^q:={\left(U\mapsto C_{\mathrm{sing}}^q(U,G)\right)}^{♯}$$及自然的映射 $\partial :{\mathcal{C}}_{\mathrm{sing}}^q\to {\mathcal{C}}_{\mathrm{sing}}^{q+1}$.

$\bullet$ 步骤 1. 证明有预解 $0\to \underline{G}\to {\mathcal{C}}_{\mathrm{sing}}^{\ast }$.

这是因为 $X$ 局部可缩, 则 ${\mathcal{C}}_{\mathrm{sing}}^{\ast }$ 在非零指标处正合. 又因为 $X$ 局部道路连通, 则若 $U$ 可缩, 对 $f\in C_{\mathrm{sing}}^q(U,G)$ 有道路 $\alpha$ 连接任意两个点 $x,y\in U$, 故 $0=\partial f(\alpha )=f(\partial \alpha )=f(x)-f(y)$, 故局部常值, 则$$\ker (\partial :{\mathcal{C}}_{\mathrm{sing}}^0\to {\mathcal{C}}_{\mathrm{sing}}^1)\cong \underline{G},$$因此成立.

$\bullet$ 步骤 2. 此预解 $0\to \underline{G}\to {\mathcal{C}}_{\mathrm{sing}}^{\ast }$ 关于 $\Gamma (X,-)$ 零调.

不难验证预层 $\left(U\mapsto C_{\mathrm{sing}}^q(U,G)\right)$ 是松弛的, 而且我们断言$$\Gamma (U,{\mathcal{C}}_{\mathrm{sing}}^q)\cong C_{\mathrm{sing}}^q(U,G)/C_{\mathrm{sing}}^q(U,G{)}_0,$$其中 $C_{\mathrm{sing}}^q(U,G{)}_0\subset C_{\mathrm{sing}}^q(U,G)$ 由这样的 $\alpha$ 构成: 满足存在 $U$ 的开覆盖 $\mathfrak{V}$ 使得对所有的 $V\in \mathfrak{V}$ 都有 $\alpha {|}_{C_{\mathrm{sing}}^q(V,G)}=0$. 事实上构造同态 $C_{\mathrm{sing}}^q(U,G)\to \Gamma (U,{\mathcal{C}}_{\mathrm{sing}}^q)$ 为 $f\mapsto f^{♯}$. 事实上根据定义不难得到同态的核为 $C_{\mathrm{sing}}^q(U,G{)}_0$. 满射也不难, 取 $g\in \Gamma (U,{\mathcal{C}}_{\mathrm{sing}}^q)$, 存在开覆盖 $\{U_i\}$ 和 $g_i\in C_{\mathrm{sing}}^q(U_i,G)$ 使得 $g{|}_{U_i}=g_i$. 定义$$g^{\prime }:=\alpha \mapsto \{\begin{array}{cc}{g}_i(\alpha )& \mathrm{Im}\alpha \subset U_i,\\ 0& \text{其他}\end{array}$$即可得到结果, 因此成立.

$\bullet$ 步骤 3. 完成证明.

根据步骤 2 得到 $H^q(X,\underline{G})=H^q\Gamma (X,{\mathcal{C}}_{\mathrm{sing}}^{\ast })$. 因此只需证明$$\Gamma (U,{\mathcal{C}}_{\mathrm{sing}}^{\ast })=C_{\mathrm{sing}}^{\ast }(U,G)/C_{\mathrm{sing}}^{\ast }(U,G{)}_0{\sim }_{\mathrm{qis}}{C}_{\mathrm{sing}}^{\ast }(U,G)$$即可. 这是纯代数拓扑的, 对 $X$ 的开覆盖 $\mathfrak{U}=\{U_i\}$, 定义复形 $C_{\ast }^{\mathfrak{U}}(X,G)$ 为$$C_q^{\mathfrak{U}}(X,G)=\{\sigma :{\Delta }^q\to X:\mathrm{Im}\sigma \subset \text{某个}{U}_i\}.$$根据 [13] 第 178 页的结论, 我们有链同伦 $C_{\ast }^{\mathfrak{U}}(X,G){\sim }_{\mathrm{ChainHomotopy}}{C}_{\ast ,\mathrm{sing}}(X,G)$, 因此取对偶得到同伦$${\pi }_{\mathfrak{U}}:C_{\mathrm{sing}}^{\ast }(X,G){\sim }_{\mathrm{ChainHomotopy}}{C}_{\mathrm{sing}}^{\mathfrak{U},\ast }(X,G).$$故有正合列 $0\to \ker {\pi }_{\mathfrak{U}}\to C_{\mathrm{sing}}^{\ast }(X,G)\to C_{\mathrm{sing}}^{\mathfrak{U},\ast }(X,G)\to 0$, 其中 $\ker {\pi }_{\mathfrak{U}}$ 零调. 对覆盖取余极限得到结论.

$\square$

定理 18.1.0.2 (经典 de Rham-奇异上同调比较). 对流形 $M$ 和复流形 $X$, 我们有$$H_{\mathrm{dR}}^i(M,\mathbb{R})\cong H_{\mathrm{sing}}^i(M,\mathbb{R}),H_{\mathrm{dR}}^i(X,\mathbb{C})\cong H_{\mathrm{sing}}^i(X,\mathbb{C}).$$

证明. 只需证明 $H_{\mathrm{dR}}^i(M,\mathbb{R})\cong H_{\mathrm{sing}}^i(M,\mathbb{R})$ 即可. 首先我们需要如下比较定理:

$\bullet$ 步骤 0. 光滑奇异上同调比较.(参考 [19] 定理 18.7) 定义光滑奇异单形为 $\sigma :{\Delta }^p\to M$ 满足在每个点都有光滑扩展, 定义出光滑奇异上同调群 $H_{\mathrm{sm}}^p(M,\mathbb{R})$ 且有自然同构$$H_{\mathrm{sm}}^p(M,\mathbb{R})\cong H^p(M,\mathbb{R}).$$

回到命题. 定义同态 (de Rham 同态) 为$${\gamma }_k:H_{\mathrm{dR}}^k(M,\mathbb{R})\to H_{\mathrm{sm}}^p(M,\mathbb{R})\cong H^p(M,\mathbb{R}),[\omega ]\mapsto \left([c]\mapsto {\int }_c\omega \right).$$根据 Stokes 定理不难得知同态良定义. 接下来的证明都是经典的 MV-讨论, 为了方便我们称满足 ${\gamma }_k$ 皆为同构的空间称为 de Rham 空间, 称一个开覆盖为 de Rham 覆盖, 如果其每一个元素都是 de Rham 的且有限交也是 de Rham 的.

$\bullet$ 步骤 1. 欧氏空间内的凸开子集都是 de Rham 空间.

平凡, 略去讨论.

$\bullet$ 步骤 2. 若 $M$ 有有限的 de Rham 覆盖, 则 $M$ 也是 de Rham 空间.

标准的 MV-讨论, 简述如下 (不会的读者请复习代数拓扑): 先对两个空间的覆盖证明. 列出两种上同调的 MV 序列, 不难证明交换性. 根据 5 引理即可得到证明. 对于一般情况对覆盖的空间个数归纳即可.

$\bullet$ 步骤 3. 若 $M$ 有 de Rham 覆盖构成的基, 则 $M$ 也是 de Rham 空间.

假设 $M$ 有 de Rham 空间构成的基 $\mathfrak{M}$, 考虑光滑函数 $f:M\to \mathbb{R}$ 满足对任何 $c\in \mathbb{R}$ 使得 $f^{-1}((-\infty ,c])$ 是紧集 (存在性参考 [19] 命题 2.2.8). 定义$$\begin{gathered} A_m:=\{q\in M:m\le f(q)\le m+1\}, \\ {A}_m^{\prime }:=\{q\in M:m-1/2<f(q)<m+3/2\}. \end{gathered}$$取 $\mathfrak{M}$ 内元素覆盖 $A_m$ 且在 $A_m^{\prime }$ 内, 因为 $A_m$ 紧, 故可取有限覆盖. 设 $B_m$ 是这些元素的并, 根据步骤 2 得知 $B_m$ 是 de Rham 的. 注意到 $B_m\subset A_m^{\prime }$ 且当 $l=m-1,m$ 或 $m+1$ 时 $B_m\cap B_l\ne \varnothing$, 设$$U=\bigcup _{m=2a+1,a\in \mathbb{Z}}{B}_m,V=\bigcup _{m=2a,a\in \mathbb{Z}}{B}_m,$$则由于其都为 de Rham 空间的无交并, 因此也是 de Rham 的. 而 $U\cap V={\coprod }_{m\in \mathbb{Z}}{B}_m\cap B_{m+1}$, 因此也 de Rham 的. 再次运用 MV-讨论得到结论.

$\bullet$ 步骤 4. 所有 ${\mathbb{R}}^n$ 的开子集都是 de Rham 空间, 因此所有光滑流形也是.

运用步骤 3 和步骤 1 可以得到所有 ${\mathbb{R}}^n$ 的开子集都是 de Rham 空间, 而所有光滑流形都有 ${\mathbb{R}}^n$ 的开子集组成的基, 再次根据步骤 3 得到结论.

$\square$