18.2. GAGA 一瞥

基本定义

GAGA(Géométrie algébrique et géométrie analytique) 是横跨复几何和代数几何的桥梁, 是非常重要的结论之一. 最初的 GAGA 来源于 J.P.Serre 的奠基性论文 [27](后世有一本很基础的书 [23] 讲这个), 他解决了复射影簇的情况. 而我们聚焦的是著作 [12] 里的推广版本, 其推广到了一般的紧合 $\mathbb{C}$ 概形上. 事实上 GAGA 也早已有了更多的发展, 例如刚性几何里的刚性 GAGA, 还有代数叠上的 GAGA 等. 这里我们参考 Yan Zhao 的笔记来对 GAGA 做一个简单的介绍, 大部分定理也不给出证明.

定义 18.2.0.1. 对开集 $U\subset {\mathbb{C}}^n$ 和其上的全纯函数 $f_1,...,f_k$, 设其定义的凝聚理想为 $\mathcal{I}$. 定义仿射解析空间 $(X,{\mathcal{O}}_X^{\mathrm{Hol}})$ 为$$X=\{y\in U:f_1(y)=\cdots =f_k(y)=0\}\subset U$$和 $i^{-1}{\mathcal{O}}_U^{\mathrm{Hol}}/\mathcal{I}$, 其中 $i:X\to U$.

一个解析空间 $(X,{\mathcal{O}}_X^{\mathrm{Hol}})$ 为局部环层空间使得 $X$ 是 Hausdorff 的且存在开覆盖使得局部上同构于仿射解析空间.

注 18.2.0.2. 对于正则函数层 ${\mathcal{O}}_X^{\mathrm{Reg}}\subset {\mathcal{O}}_X^{\mathrm{Hol}}$, 可以证明 ${\mathcal{O}}_{X,x}^{\mathrm{Reg}}\to {\mathcal{O}}_{X,x}^{\mathrm{Hol}}$ 忠实平坦且有同构 $\widehat{{\mathcal{O}}_{X,x}^{\mathrm{Reg}}}\to \widehat{{\mathcal{O}}_{X,x}^{\mathrm{Hol}}}$, 见 [27]. 进而得到 ${\mathcal{O}}_{X,x}\to {\mathcal{O}}_{X,x}^{\mathrm{Hol}}$ 忠实平坦.

定义 18.2.0.3. 给定 $\mathbb{C}$ 上的局部有限型概形 $X$ 和其有理点空间 $(X(\mathbb{C}),{\mathcal{O}}_X{|}_{X(\mathbb{C})})$, 若局部上为 $U=\mathrm{Spec}\mathbb{C}[x_1,...,x_n]/I$, 定义 $X(\mathbb{C})$ 局部上赋予拓扑为 ${\mathbb{C}}^n$ 的子空间拓扑且为 $I$ 内元素的零点, 记为 $X^{\mathrm{an}}$, 设局部上 ${\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}^{\mathrm{Hol}}{|}_{U^{\mathrm{an}}}:={\mathcal{O}}_{{\mathbb{C}}^n}^{\mathrm{Hol}}/I{\mathcal{O}}_{{\mathbb{C}}^n}^{\mathrm{Hol}}$, 从而得到解析化 $(X^{\mathrm{an}},{\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}^{\mathrm{Hol}})$.

因此我们有典范映射 ${\varphi }_X:X\to X^{\mathrm{an}}$ 为 $X^{\mathrm{an}}\to X(\mathbb{C})\subset X$ 且层映射为 ${\varphi }^{-1}{\mathcal{O}}_X\to {\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}^{\mathrm{Hol}}$ 为 $f\mapsto f\circ {\varphi }_X$.

命题 18.2.0.4. 给定 $\mathbb{C}$ 上的局部有限型概形 $X$, 考虑函子$${\Phi }_X:\mathrm{AnSp}\to \mathrm{Sets},\mathcal{X}\mapsto {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{C}}(\mathcal{X},X)$$其中后者为局部环层空间的映射. 则 ${\Phi }_X$ 被 $X^{\mathrm{an}}$ 表示.

证明思路. 不妨设 $X$ 仿射, 注意到:

(i) 若 $X\subset Y$ 是开子概形且 $Y$ 满足该性质, 则 $X$ 也满足;

(ii) 若 $X\subset Y$ 是闭子概形且 $Y$ 满足该性质, 则 $X$ 也满足;

(iii) 有 $(X\times Y{)}^{\mathrm{an}}\cong X^{\mathrm{an}}\times Y^{\mathrm{an}}$.

回到命题. 故不妨设 $X={\mathbb{A}}^1$, 注意到$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{C}}(\mathcal{X},{\mathbb{A}}^1)\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}[x],\Gamma (\mathcal{X},{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}}^{\mathrm{Hol}}))\\ & ={\mathrm{Hom}}_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}\{x\},\Gamma (\mathcal{X},{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}}^{\mathrm{Hol}}))={\mathrm{Hom}}_{\mathbb{C}}(\mathcal{X},({\mathbb{A}}^1{)}^{\mathrm{an}}),\end{array}$$即可.

$\square$

推论 18.2.0.5. 对复局部有限型概形映射 $f:X\to Y$ 而言, 可以唯一提升为 $f^{\mathrm{an}}:X^{\mathrm{an}}\to Y^{\mathrm{an}}$ 满足 $f\circ {\varphi }_X={\varphi }_Y\circ f^{\mathrm{an}}$. 另外我们还有 $(X{\times }_{Z}Y{)}^{\mathrm{an}}\cong X^{\mathrm{an}}{\times }_{Z^{\mathrm{an}}}{Y}^{\mathrm{an}}$.

注 18.2.0.6. 事实上大部分 $X$ 和 $f$ 本身的性质都可以遗传到 $X^{\mathrm{an}}$ 和 $f^{\mathrm{an}}$ 上, 参考 [12]. 例如平展对应局部同构, 光滑对应光滑. 事实上还有 ${\mathrm{Hom}}_S(X,Y)\cong {\mathrm{Hom}}_{S^{\mathrm{an}}}(X^{\mathrm{an}},Y^{\mathrm{an}})$.

推论 18.2.0.7. 考虑复局部有限型概形 $X$ 和 $x\in X(\mathbb{C})$, 我们有$${\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,x)\cong \widehat{{\pi }_1(X^{\mathrm{an}},x)}$$为射有限完备化.

证明. 由上述推论 18.2.0.5, 我们有$$\begin{array}{rl}{\pi }_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(X,x)& \cong \underset{(\mathcal{X}\to X)\in (\mathrm{F}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}/X)}{\underleftarrow{\lim }}{\mathrm{Aut}}_X\mathcal{X}\\ & \cong \underset{({\mathcal{X}}^{\mathrm{an}}\to X^{\mathrm{an}})\in (\mathrm{FTopCov}/X^{\mathrm{an}})}{\underleftarrow{\lim }}{\mathrm{Aut}}_{X^{\mathrm{an}}}{\mathcal{X}}^{\mathrm{an}}\\ & \cong \underset{({\mathcal{X}}^{\mathrm{an}}\to X^{\mathrm{an}})\in (\mathrm{FTopCov}/X^{\mathrm{an}})}{\underleftarrow{\lim }}{\pi }_1(X^{\mathrm{an}},x)/{\pi }_1({\mathcal{X}}^{\mathrm{an}},x)\\ & \cong \widehat{{\pi }_1(X^{\mathrm{an}},x)}\end{array}$$为射有限完备化.

$\square$

定义 18.2.0.8. 对于 ${\varphi }_X:X^{\mathrm{an}}\to X$ 和凝聚层 $\mathcal{F}\in \mathrm{Coh}(X)$, 定义其解析化为$${\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}:={\varphi }_X^{\ast }\mathcal{F}={\varphi }_X^{-1}\mathcal{F}{\otimes }_{{\varphi }_X^{-1}{\mathcal{O}}_X}{\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}^{\mathrm{Hol}}.$$因此得到函子 ${\varphi }_X^{\ast }:\mathrm{Coh}(X)\to \mathrm{Coh}(X^{\mathrm{an}}),\mathcal{F}\mapsto {\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}$.

注 18.2.0.9. (i) 有伴随函子 $({\varphi }_X^{\ast },{\varphi }_{X,\ast })$;

(ii) 函子 ${\varphi }_X^{\ast }$ 是正合, 忠实且保守的. 正合性不难由 ${\varphi }_X^{-1}$ 正合且 ${\mathcal{O}}_{X,x}^{\mathrm{Reg}}\to {\mathcal{O}}_{X,x}^{\mathrm{Hol}}$ 平坦得到. 忠实性由 $X(\mathbb{C})\subset X$ 稠密且 ${\varphi }_X^{-1}{\mathcal{O}}_X\to {\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}^{\mathrm{Hol}}$ 忠实平坦得到, 保守性根据忠实性和平坦性得到.

主要定理

首先给出一些构造. 考虑图表任取 $\mathcal{F}\in \mathrm{Coh}(X)$, 由 ${\varphi }_Y^{\ast }$ 正合, 我们有$$\begin{array}{rl}(R{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}^{\mathrm{an}}& ={\varphi }_Y^{\ast }R{f}_{\ast }\mathcal{F}\to {\varphi }_Y^{\ast }R{f}_{\ast }{\varphi }_{X,\ast }{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}\\ & \to {\varphi }_Y^{\ast }R(f\circ {\varphi }_X{)}_{\ast }{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}={\varphi }_Y^{\ast }R({\varphi }_Y\circ f^{\mathrm{an}}{)}_{\ast }{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}\\ & =R({\varphi }_Y^{\ast }\circ {\varphi }_Y\circ f^{\mathrm{an}}{)}_{\ast }{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}\to R{f}_{\ast }^{\mathrm{an}}{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}},\end{array}$$故得到$${\theta }^i:(R^i{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}^{\mathrm{an}}\to R^i{f}_{\ast }^{\mathrm{an}}{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}.$$

定理 18.2.0.10 (GAGA 第一定理). 设 $f:X\to Y$ 是局部有限型 $\mathbb{C}$-概形间的紧合映射, 任取 $\mathcal{F}\in \mathrm{Coh}(X)$ 和 $i\ge 0$ 都有$${\theta }^i:(R^i{f}_{\ast }\mathcal{F}{)}^{\mathrm{an}}\cong R^i{f}_{\ast }^{\mathrm{an}}{\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}.$$

证明思路. 对于一般情况需要用 lemme de dévissage 和 Chow 引理, 我们略去, 参考 [12] 定理 XII.4.2. 我们只给出射影的证明. 首先闭浸入的情况不难验证茎得到, 故假设 $X={\mathbb{P}}_Y^n$. 不难证明 $\mathcal{F}=\mathcal{O}(n)$ 的情况 (先 ${\mathcal{O}}_X$, 再归纳法证明 $\mathcal{O}(n)$). 对一般的 $\mathcal{F}\in \mathrm{Coh}(X)$, 不难得知存在正合列$$0\to \mathcal{G}\to ⨁{\mathcal{O}}_X(n_i)\to \mathcal{F}\to 0.$$然后用凝聚层的秩归纳, 再用长正合列即可.

$\square$

定理 18.2.0.11 (GAGA 第二定理). 设 $X$ 是紧合 $\mathbb{C}$ 概形和典范映射 ${\varphi }_X:X\to X^{\mathrm{an}}$, 则函子$${\varphi }_X^{\ast }:\mathrm{Coh}(X)\to \mathrm{Coh}(X^{\mathrm{an}}),\mathcal{F}\mapsto {\mathcal{F}}^{\mathrm{an}}$$是范畴等价.

证明. 我们只证明满忠实的, 本质满性比较复杂, 参考 [12] 定理 XII.4.4. 根据定理 18.2.0.10, 对任何 $\mathcal{F},\mathcal{G}\in \mathrm{Coh}(X)$ 都有$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}_X}(\mathcal{F},\mathcal{G})\cong H^0(X,\mathcal{H}o{m}_{{\mathcal{O}}_X}(\mathcal{F},\mathcal{G}))\\ & \cong H^0(X^{\mathrm{an}},\mathcal{H}o{m}_{{\mathcal{O}}_X}(\mathcal{F},\mathcal{G}{)}^{\mathrm{an}})\\ & \cong H^0(X^{\mathrm{an}},\mathcal{H}o{m}_{{\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}^{\mathrm{Hol}}}({\mathcal{F}}^{\mathrm{an}},{\mathcal{G}}^{\mathrm{an}}))\\ & \cong {\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{an}}}^{\mathrm{Hol}}}({\mathcal{F}}^{\mathrm{an}},{\mathcal{G}}^{\mathrm{an}})\end{array}$$其中最后一个等式因为凝聚性和 ${\mathcal{O}}_{X,x}\to {\mathcal{O}}_{X,x}^{\mathrm{Hol}}$ 平坦.

$\square$

推论 18.2.0.12 (推广 Chow 定理). 若 $X$ 是分离局部有限型 $\mathbb{C}$ 概形, 则 $X^{\mathrm{an}}$ 的任何闭解析子空间都是 $X$ 闭子概形的解析化.

证明. 由于是局部的, 不妨设其有限型, 根据 Nagata 紧化不妨设其紧合. 然后根据定理 18.2.0.11 即可得到凝聚理想的对应.

$\square$