20.2. Chern 类和 Chow 环

接下来介绍一种定义上同调类里的 Chern 类的方法.

命题 20.2.0.1. 设 $\mathcal{E}$ 是在 $X_{\mathrm{Zar}}$ 上秩 $m+1$ 局部自由层, 考虑对应的 (Grothendieck-) 射影丛 $\pi :\mathbb{P}(\mathcal{E})\to X$. 设 $\xi ={\mathrm{cl}}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}(\mathcal{O}(1))\in H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(\mathbb{P}(\mathcal{E}),\Lambda (1))$, 则 ${\pi }^{\ast }$ 诱导出 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }(\mathbb{P}(\mathcal{E}),\Lambda )$ 同构于基为 $1,\xi ,...,{\xi }^m$ 的自由 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }(X,\Lambda )$-模.

证明. 忽略, 参考 [20] 命题 VI.10.1, 而 Chow 环的版本参考 [8].

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因此存在唯一的 $c_r(\mathcal{E})\in H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2r}(X,\Lambda (r))$ 使得$$\{\begin{array}{l}{\sum }_{r=0}^{m+1}{c}_r(\mathcal{E}){\xi }^{m+1-r}=0,\\ c_0(\mathcal{E})=0.\end{array}$$我们称 $c_r(\mathcal{E})$ 为 $\mathcal{E}$ 第 $r$ 个 Chern 类. 而 $c(\mathcal{E}):={\sum }_i{c}_i(\mathcal{E})$ 称为全 Chern 类, 类似的 $c_t(\mathcal{E}):={\sum }_i{c}_i(\mathcal{E})t^i$ 称为 Chern 多项式.

命题 20.2.0.2 (Grothendieck). Chern 类有如下性质:

(i) 若 $\pi :Y\to X$ 是光滑簇之间的映射且 $\mathcal{E}$ 是 $X$ 向量丛, 则$$c_r({\pi }^{-1}\mathcal{E})={\pi }^{-1}(c_r(\mathcal{E}));$$

(ii) 若 $\mathcal{L}$ 是 $X$ 上线丛, 则 $c_1(\mathcal{L})$ 为 $\mathcal{L}$ 在 Kummer 列诱导的$$\mathrm{Pic}(X)\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(X,\Lambda (1))$$下的像;

(iii) 若 $0\to {\mathcal{E}}^{\prime }\to \mathcal{E}\to {\mathcal{E}}^{\prime \prime }\to 0$ 是向量丛正合列, 则有$$c_t(\mathcal{E})=c_t({\mathcal{E}}^{\prime })c_t({\mathcal{E}}^{\prime \prime }).$$

证明. 参考文章 [10].

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考虑 Grothendieck 群 $K_0(X)$, 因为 $X$ 光滑, 故任何凝聚层都有有些长的局部自由预解, 因此有良定义的映射$${\gamma }^{\prime }:C^{\ast }(X)\to K_0(X),\sum _i{Z}_i\mapsto \sum _i[{\mathcal{O}}_{Z_i}].$$考虑 $K_0(X)$ 的典范滤过为 $\cdots \subset F^r{K}_{0}X\subset F^{r-1}{K}_{0}X\subset \cdots$ 其中 $F^i{K}_{0}X$ 为被支撑在余维数 $\ge i$ 的凝聚层生成的子群 (可以证明被 ${\mathcal{O}}_Z$ 生成, 其中 $Z$ 余维数不小于 $i$). 定义$${\mathrm{gr}}^r{K}_{0}X:=F^r{K}_{0}X/F^{r+1}{K}_{0}X,\mathrm{gr}{K}_{0}X:=\underset{r}{⨁}{\mathrm{gr}}^r{K}_{0}X.$$给集合 $\mathrm{gr}{K}_{0}X$ 群结构为$$[\mathcal{M}]\cdot [\mathcal{N}]:=\sum _r(-1{)}^r[\mathcal{T}o{r}_r^{\mathcal{O}}(\mathcal{M},\mathcal{N})].$$注意到 ${\gamma }^{\prime }:C^{\ast }(X)\to K_0(X)$ 保持滤过结构, 因此有 (满射)${\gamma }^{\prime \prime }:C^{\ast }(X)\to \mathrm{gr}{K}_{0}X$.

命题 20.2.0.3. 同态 ${\gamma }^{\prime \prime }:C^{\ast }(X)\to \mathrm{gr}{K}_{0}X$ 保持有理等价不变, 故存在$$\gamma :{\mathrm{CH}}^{\ast }(X)\to \mathrm{gr}{K}_{0}X.$$

证明. 因为只需考虑 $X\times {\mathbb{P}}^1$ 的子簇到 ${\mathbb{P}}^1$ 的支配映射, 故不妨设 $X$ 就是那个子簇且有支配映射 $f:X\to {\mathbb{P}}^1$. 设 $D_0=f^{-1}(0),D_{\infty }=f^{-1}(\infty )$, 我们有$$0\to f^{\ast }\mathcal{O}(-1)\to {\mathcal{O}}_X\to {\mathcal{O}}_{D_i}\to 0.$$因此在 $K_0(X)$ 内 $[{\mathcal{O}}_{D_0}]=[{\mathcal{O}}_{D_{\infty }}]$, 由于 $f$ 平坦则维数没问题, 故成立.

$\square$

接下来考虑 $\gamma :{\mathrm{CH}}^{\ast }(X)\to \mathrm{gr}{K}_{0}X$ 是否是环同态.

引理 20.2.0.4 (Serre). 若 $A,B\subset X$ 是光滑簇 $X$ 的真相交 (交概形分支的余维数是二者之和), 若 $Z\subset A\cap B$ 是不可约分支, 则二者在 $Z$ 的相交数为$$i(Z;A,B;X)=\sum _{i=0}^{\dim X}(-1{)}^i{\mathrm{length}}_{{\mathcal{O}}_{A\cap B,Z}}\left({\mathrm{Tor}}_i^{{\mathcal{O}}_{X,Z}}({\mathcal{O}}_{A,Z},{\mathcal{O}}_{B,Z})\right).$$

证明. 参考 [28].

$\square$

根据此引理则得到满的环同态$$\gamma :{\mathrm{CH}}^{\ast }(X)\to \mathrm{gr}{K}_{0}X.$$定义 Chern 特征标 $\mathrm{ch}:K_0(X)\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }(X,\Lambda )$ 被如下特性决定:

•	$\mathrm{ch}$ 是环同态;
•	对 $f:Y\to X$ 有 $\mathrm{ch}\circ f^{\ast }=f^{\ast }\circ \mathrm{ch}$;
•	对线丛 $\mathcal{L}$ 有 $\mathrm{ch}[\mathcal{L}]=\exp (c_1(\mathcal{L}))$.

注 20.2.0.5. 根据 Chern root, 不难得知这个是常规相交理论内的 Chern 特征标的扩展. 若 $f$ 紧合, 可能会研究其和 $f_{\ast }$ 的交换关系, 这就会得到著名的 Grothendieck-Riemann-Roch 定理: $\mathrm{ch}(f_{\ast }\mathcal{E})\mathrm{td}(T_Y)=f_{\ast }(\mathrm{ch}(\mathcal{E})\mathrm{td}(T_X))$.

事实上这会诱导 $\mathrm{ch}:\mathrm{gr}{K}_{0}X\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }(X,\Lambda )$, 但这不是环同态, 我们重新考虑 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }(X,\Lambda {)}^{\prime }$ 为定义乘法结构为$$x_r\cdot x_s:=\frac{-(r+s-1)!}{(r-1)!(s-1)!}{x}_r\cup x_s.$$则可以证明得到环同态 $\mathrm{ch}:\mathrm{gr}{K}_{0}X\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }(X,\Lambda {)}^{\prime }$.

若 $(2\dim X-1)!$ 在 $\Lambda$ 内可逆, 则可以诱导 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }(X,\Lambda {)}^{\prime }\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }(X,\Lambda )$ 为 $x_r\mapsto x_r/(-1{)}^{r-1}(r-1)!$ 为同构. 给出复合$${\mathrm{cl}}_X:{\mathrm{CH}}^{\ast }\stackrel{\gamma }{⟶}\mathrm{gr}{K}_{0}X\stackrel{\mathrm{ch}}{⟶}{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }(X,\Lambda {)}^{\prime }\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }(X,\Lambda ).$$

定理 20.2.0.6. 此时的 ${\mathrm{cl}}_X$ 和之前定义的相同.

证明. 正确证明过于复杂, 错误证明可参考 [20] 命题 VI.10.6.

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若取 $\Lambda =\underline{\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z}}$ 其中 $\ell$ 是素数且在 $k$ 内可逆. 若 $\ell \ge 2\dim X$ 有 ${\mathrm{CH}}^{\ast }(X)\to {⨁}_r{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2r}(X,{\mathbb{Z}}_{\ell }(r))$. 若张量 $\mathbb{Q}$, 则恒定有 ${\mathrm{CH}}^{\ast }(X)\to {⨁}_r{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2r}(X,{\mathbb{Q}}_{\ell }(r))$.