20.1. 半纯性和链映射

假设 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }(X,\Lambda ):={⨁}_r{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2r}(X,\Lambda (r))$, 考虑杯积 16.1.0.2 不难得到$$H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^r(X,\Lambda (\lambda ))\otimes H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^s(X,\Lambda (\mu ))\stackrel{-\cup -}{⟶}{H}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{r+s}(X,\Lambda (\lambda +\mu )).$$因此得到反交换的分次环 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }(X,\Lambda )$. 我们的最终目的是要定义同态 ${\mathrm{cl}}_X:{\mathrm{CH}}^{\ast }(X)\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{\ast }(X,\Lambda )$.

首先考虑光滑余 $r$ 维子簇 $Z\in C^r(X)$, 考虑 Gysin 映射$$i_{\ast }:\Lambda =H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0(Z,\Lambda )\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2r}(X,\Lambda (r)),$$定义 ${\mathrm{cl}}_X(Z):=i_{\ast }(1_Z)\in H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2r}(X,\Lambda (r))$. 现在我们要考虑不见得光滑的情况. 为此需要如下结论:

引理 20.1.0.1 (半纯性). 设 $Z$ 是 $X$ 的任意余维数 $r$ 的闭子簇, 则对任何 $i<2r$ 都有$$H_{Z,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\Lambda )=0.$$

证明. 若 $Z$ 光滑, 若 $i<2r$ 则根据上同调纯性 19.4.0.1 得到$$H_{Z,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\Lambda )=H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{i-2r}(Z,\Lambda (-r))=0.$$对一般的 $Z$, 我们对 $Z$ 维数做归纳. 当 $\dim Z=0$, 则因为光滑则成立. 考虑 $Z$ 是余维数 $r$ 的, 取 $Y:=Z_{\mathrm{sing}}$, 则 $\dim Y<\dim Z$. 根据命题 6.7.0.5 的类似结论不难得到正合列$$\cdots \to H_{Y,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\Lambda )\to H_{Z,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X,\Lambda )\to H_{Z\backslash Y,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X\backslash Y,\Lambda )\to \cdots .$$运用归纳法和 $Z\backslash Y$ 光滑性即可得到结论.

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通过这个结论和证明内的正合列, 我们得到同构 $H_{Z,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2r}(X,\Lambda )\cong H_{Z\backslash Y,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2r}(X\backslash Y,\Lambda )$. 因此构造 ${\mathrm{cl}}_X(Z)$ 为 $1_Z$ 在复合$$\begin{array}{rl}\Lambda & \cong H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0(Z\backslash Y,\Lambda )\cong H_{Z\backslash Y,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2r}(X\backslash Y,\Lambda (r))\\ & \cong H_{Z,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2r}(X,\Lambda (r))\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2r}(X,\Lambda (r))\end{array}$$下的像. 因此得到$${\mathrm{cl}}_X^r:C^r(X)\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2r}(X,\Lambda ).$$其中 $r=1$ 情况即为 Kummer 列诱导的情况.

注 20.1.0.2. 根据基本类的构造, 不难得知 Gysin 映射即为基本类诱导的同构的复合$$\Lambda \stackrel{s_{Z\backslash Y/X\backslash Y}}{⟶}{H}_{Z\backslash Y,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2r}(X\backslash Y,\Lambda (r))\cong H_{Z,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2r}(X,\Lambda (r))\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2r}(X,\Lambda (r)).$$因此可以定义 ${\mathrm{cl}}_X^r(Z)$ 为 $s_{Z\backslash Y/X\backslash Y}$ 在上述映射的像.

命题 20.1.0.3. (i) 设 $f:Y\to X$ 是光滑簇之间的映射, 对于代数链 $Z\in C^r(X)$, 若任何 $Z$ 的素链的逆像整概形, 则 ${\mathrm{cl}}_Y(f^{\ast }Z)=f^{-1}{\mathrm{cl}}_X(Z)$;

(ii) 若 $i:Z\to X$ 是光滑簇之间的闭浸入, 考虑 Gysin 映射 $i_{\ast }:H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2s}(Z,\Lambda (s))\to H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2s+2r}(X,\Lambda (s+r))$, 则对 $W\in C^s(Z)$ 有 $i_{\ast }{\mathrm{cl}}_Z(W)={\mathrm{cl}}_X(W)$;

(iii) 对任何 $W\in C^{\ast }(X),Z\in C^{\ast }(Y)$, 设投影为 $p,q$, 则有$${\mathrm{cl}}_{X\times Y}(W\times Z)=p^{-1}{\mathrm{cl}}_X(W)\cup q^{-1}{\mathrm{cl}}_Y(Z);$$

(iv) 对任何 $W,Z\in C^{\ast }(X)$ 满足其中素链两两横截相交, 则$${\mathrm{cl}}_X(W\cdot Z)={\mathrm{cl}}_X(W)\cup {\mathrm{cl}}_X(Z).$$

证明. 不难证明, 参考 [20] 命题 9.2 – 9.5.

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