21.1. 经典拓扑的 Poincaré 对偶

首先介绍最简单的微分流形上经典 de Rham 上同调的 Poincaré 对偶.

定理 21.1.0.1 (de Rham 上同调的 Poincaré 对偶). 设 $n$ 维可定向流形 $M$ 上有有限的好覆盖, 考虑双线性型$$\int :H_{\mathrm{dR}}^q(M)\times H_{c,\mathrm{dR}}^{n-q}(M)\to \mathbb{R},(\alpha ,\beta )\mapsto {\int }_M\alpha \wedge \beta ,$$如果这个双线性型是非退化的, 且上同调群都是维数有限, 就可以得到$$H_{\mathrm{dR}}^q(M)\cong (H_{c,\mathrm{dR}}^{n-q}(M){)}^{\ast }.$$.

注 21.1.0.2. 这个可以由经典的 MV-讨论来解决, 参考 [2] 第五节. 事实上经过对流形的拓扑更精细的研究, 对于任何 $n$ 维可定向流形, 都有 $H_{\mathrm{dR}}^q(M)\cong (H_{c,\mathrm{dR}}^{n-q}(M){)}^{\ast }$, 但注意到这样的话上同调群维数不一定有限, 那么也就 $H_{c,\mathrm{dR}}^q(M)≆(H_{\mathrm{dR}}^{n-q}(M){)}^{\ast }$. 这样的例子事实上很好举, 假设 $M={\coprod }_{i=1}^{\infty }{M}_i$, 其中 $M_i$ 均为有好覆盖的 $n$ 维可定向流形. 那么 $H_{\mathrm{dR}}^q(M)={\prod }_i{H}_{\mathrm{dR}}^q(M_i)$ 且 $H_{c,\mathrm{dR}}^q(M)={⨁}_i{H}_{c,\mathrm{dR}}^q(M_i)$, 那么确实就有$$(H_{c,\mathrm{dR}}^{n-q}(M){)}^{\ast }={\mathrm{Hom}}_{\mathbb{R}}\left(\underset{i}{⨁}{H}_{c,\mathrm{dR}}^{n-q}(M_i),\mathbb{R}\right)=\prod _i{\mathrm{Hom}}_{\mathbb{R}}(H_{c,\mathrm{dR}}^{n-q}(M_i),\mathbb{R})=H_{\mathrm{dR}}^q(M),$$但反过来自然不一定行.

对于一般代数拓扑上, 我们也有如下 Poincaré 对偶.

定理 21.1.0.3. 对 $R$-可定向 $n$ 维流形 $M$, 紧支奇异上同调定义为$$H_{c,\mathrm{sing}}^q(M;R):=\underset{K}{\underrightarrow{\lim }}{H}_{\mathrm{sing}}^q(M,M\backslash K;R),$$其中 $K$ 紧. 则基本类的帽积诱导同构$$H_{c,\mathrm{sing}}^p(M;R)\cong H_{n-p,\mathrm{sing}}(M;R).$$

证明. 依旧是 MV-讨论, 但交换性比较复杂, 参考 [15] 第 3.3 节.

$\square$

注 21.1.0.4. 不妨考虑 $\mathbb{R}$-系数. 对于可定向拓扑 $d$-流形 $M$, 考虑定向层作为局部系 ${\mathbb{O}}_{\mathbb{R}}$. 则其在 $x\in M$ 上的纤维是 $H^d(M,M\backslash x;\mathbb{R})=H^{d-1}(S^{d-1};\mathbb{R})$ 非典范的同构于 $\mathbb{R}$. 则有典范映射 $\int :H_c^d(M,{\mathbb{O}}_{\mathbb{R}})\cong \mathbb{R}$ 定义出完美对$$H^i(M;\mathbb{R})\times H_c^{d-i}(M;{\mathbb{O}}_{\mathbb{R}})\to \mathbb{R}.$$因为定向的选取相当于一个同构 ${\mathbb{O}}_{\mathbb{R}}\cong \underline{\mathbb{R}}$, 我们又得到上面的 Poincaré 对偶.