21.2. 迹映射

对相对维数 $d$ 的分离有限型 (或 $S$-可紧化的) 光滑映射 $f:X\to Y$ 且 $Y$ 拟紧拟分离 (默认满足), 对在 $S$ 内可逆的 $n$, 只考虑 $\mathcal{F}$ 为 $\Lambda :=\underline{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$-模. 定义 $f^{!}\mathcal{F}:=f^{-1}\mathcal{F}(d)[2d]$, 我们目标是构造迹映射$${\mathrm{tr}}_{X/Y}(\mathcal{F}):R{f}_{!}{f}^{!}\mathcal{F}\to \mathcal{F}.$$

引理 21.2.0.1. 对相对维数 $d$ 的光滑 $S$-可紧化的映射 $f:X\to Y$ 和 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$, 则 $R{f}_{!}{f}^{!}\mathcal{F}\in D^{[-2d,0]}(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$.

证明. 根据定理 15.3.0.3 即可得到.

$\square$

定理 21.2.0.2. 对相对维数 $d$ 的光滑 $S$-可紧化的映射 $f:X\to Y$, 存在唯一的迹映射 ${\mathrm{tr}}_{X/Y}^{\prime }(\mathcal{F}):R^{2d}{f}_{!}{f}^{-1}\mathcal{F}(d)\to \mathcal{F}$, 其中 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$ 任取, 满足如下性质:

(i) 若 $k$ 是可分闭域且 $X={\mathbb{A}}_k^1,Y=\mathrm{Spec}k,\mathcal{F}:=\Lambda$, 则 ${\mathrm{tr}}_{X/Y}^{\prime }(\mathcal{F})$ 即为 15.3.0.4;

(ii) 若 $f$ 平展 (则 $f^{!}=f^{-1}$), 则 ${\mathrm{tr}}_{X/Y}^{\prime }(\mathcal{F})$ 即为伴随得到的映射;

(iii) 映射 ${\mathrm{tr}}_{X/Y}^{\prime }(\mathcal{F})$ 对 $\mathcal{F}$ 有函子性;

(iv) 映射 ${\mathrm{tr}}_{X/Y}^{\prime }(\mathcal{F})$ 和基变换相容;

(v) 映射 ${\mathrm{tr}}_{X/Y}^{\prime }(\mathcal{F})$ 和映射复合相容 (谱序列诱导).

除此之外, 这些决定的迹映射满足如下性质:

(a) 若 $f$ 的几何纤维均非空连通, 则 ${\mathrm{tr}}_{X/Y}^{\prime }$ 是同构;

(b) 若 $Y=\mathrm{Spec}k$ 且 $k$ 代数闭, 且 $X$ 为光滑曲线 $\mathcal{F}=\Lambda$, 则 ${\mathrm{tr}}_{X/Y}^{\prime }(\mathcal{F})$ 即为 15.3.0.4;

(c) 映射 ${\mathrm{tr}}_{X/Y}^{\prime }(\mathcal{F})$ 和不同的 $n$ 相容.

简要证明. 分为如下步骤:

$\bullet$ 步骤 1. 只需考虑 Zariski 局部且 $\mathcal{F}=\Lambda$.

由于拟紧拟分离, 只需要考虑有限覆盖, 因此归纳法只考虑两个覆盖的情况. 根据命题 15.2.0.3(iv), 不难得知只需考虑 Zariski 局部. 对于 $\mathcal{F}$, 根据命题 15.2.0.4(iii) 得到$$R^{2d}{f}_{!}(\Lambda (d)\otimes f^{-1}\mathcal{F})\cong R^{2d}{f}_{!}(\Lambda (d))\otimes \mathcal{F},$$于是只需证明 $\mathcal{F}=\Lambda$ 的情况.

$\bullet$ 步骤 2. 平展映射的情况.

即为伴随性诱导的映射, 故成立.

$\bullet$ 步骤 3. 划归到 $f:{\mathbb{A}}_Y^1\to Y$ 的情况.

在 Zariski 局部下有 $X\to {\mathbb{A}}_Y^d\to Y$, 根据步骤 1 和 2 以及性质的后两条, 只需要考虑 ${\mathbb{A}}_Y^d\to Y$. 再有最后一条, 只需要考虑 $f:{\mathbb{A}}_Y^1\to Y$ 的情况.

$\bullet$ 步骤 4. 定义 $f:{\mathbb{A}}_Y^1\to Y$ 的情况并验证良定义性.

考虑紧化于是 $R^1{f}_{!}\Lambda =R^1{f}_{\ast }^{\prime }(j_{!}\Lambda )$. 考虑 $0\to j_{!}{j}^{-1}\Lambda \to \Lambda \to i_{\ast }{i}^{-1}\Lambda \to 0$ 和 $R^1{f}_{\ast }^{\prime }({\mathbb{G}}_m)\cong {\mathbb{Z}}_Y$, 即可得到 $R^2{f}_{!}\Lambda =R^2{f}_{\ast }^{\prime }\Lambda ={\Lambda }_Y$. 良定义忽略.

$\square$

定义 21.2.0.3. 对相对维数 $d$ 的光滑 $S$-可紧化的映射 $f:X\to Y$, 定义迹映射为$${\mathrm{tr}}_{X/Y}\mathcal{F}:R{f}_{!}{f}^{!}\mathcal{F}\to {\tau }_{\ge 2d}R{f}_{!}{f}^{!}\mathcal{F}=R^{2d}{f}_{!}{f}^{!}\mathcal{F}[-2d]\to \mathcal{F}.$$

引理 21.2.0.4. 对相对维数 $d$ 的光滑 $S$-可紧化的映射 $f:X\to Y$ 和 $H\in D^{-}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda ),K\in D^{+}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$, 有典范映射$$a:R{f}_{\ast }R\mathcal{H}om(H,K)\to R\mathcal{H}om(R{f}_{!}H,R{f}_{!}K).$$

证明. 考虑紧化取内射预解 $j_{!}H\to {\mathcal{I}}^{\ast },j_{!}K\to {\mathcal{J}}^{\ast }$, 不难得知 $j^{-1}{\mathcal{J}}^{\ast }$ 也是 $K$ 的内射预解 (命题 5.3.0.2(iv)), 故有$$\begin{array}{rl}& j_{\ast }R\mathcal{H}om(H,K)=j_{\ast }\mathcal{H}om(H,j^{-1}{\mathcal{J}}^{\ast })\\ & =\mathcal{H}om(j_{!}H,{\mathcal{J}}^{\ast })=\mathcal{H}om({\mathcal{I}}^{\ast },{\mathcal{J}}^{\ast }).\end{array}$$作用 $R{f}_{\ast }^{\prime }$ 即可得到$$\begin{array}{rl}& R{f}_{\ast }^{\prime }{j}_{\ast }R\mathcal{H}om(H,K)=R{f}_{\ast }^{\prime }\mathcal{H}om({\mathcal{I}}^{\ast },{\mathcal{J}}^{\ast })\\ & \to \mathcal{H}om(R{f}_{\ast }^{\prime }{\mathcal{I}}^{\ast },R{f}_{\ast }^{\prime }{\mathcal{J}}^{\ast })=R\mathcal{H}om(R{f}_{!}H,R{f}_{!}K).\end{array}$$故得到 $R{f}_{\ast }R\mathcal{H}om(H,K)\to R\mathcal{H}om(R{f}_{!}H,R{f}_{!}K)$.

$\square$

定理 21.2.0.5 (Grothendieck). 对相对维数 $d$ 的光滑 $S$-可紧化的映射 $f:X\to Y$, 取 $\mathcal{F}\in \mathrm{Ab}(X_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda ),\mathcal{G}\in \mathrm{Ab}(Y_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\Lambda )$, 则典范映射$$R{f}_{\ast }R\mathcal{H}om(\mathcal{F},f^{!}\mathcal{G})\stackrel{a}{⟶}R\mathcal{H}om(R{f}_{!}\mathcal{F},R{f}_{!}{f}^{!}\mathcal{G})\stackrel{{\mathrm{tr}}_{X/Y}}{⟶}R\mathcal{H}om(R{f}_{!}\mathcal{F},\mathcal{G})$$是同构.

证明. 非常复杂, 读者可以参考 [18] 第八章或 [11] 的第 XVIII 章或 [4].

$\square$

注 21.2.0.6. 事实上在最一般的情况下, 即 $f:X\to Y$ 仅是拟紧拟分离概形间的分离有限型映射, 考虑 $A$ 是挠环, 则考虑 Brown 表示的结论:

事实.(参考 Tag 0F5Y) 设 $\mathcal{A}$ 是 Grothendieck Abel 范畴且 $\mathcal{D}$ 是某个三角范畴. 设 $F:D(\mathcal{A})\to \mathcal{D}$ 是和直和交换的三角函子, 则 $F$ 存在三角右伴随函子.

所以 Poincaré 对偶 21.2.0.5 给出了 $f^{!}$ 在光滑分离的时候长什么样,(而 Verdier 对偶给出了此时保持 $D_{\mathrm{cons}}^b((-{)}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},A)$), 这些都是其证明困难之处. 而紧合情况下的 Grothendieck 对偶也是 Brown 表示的结论, 这是 Amnon Neeman 的工作, 大幅简化了 Grothendieck, Harshorne, Deligne 和 Verdier 的方法. 所以伴随存在性从来就不是难点, 难点是伴随函子的长相或者保持何种性质.