23.3. Grothendieck 标准猜想一瞥

有关 motive 和 Grothendieck 标准猜想的入门介绍参考 [25], 事实上这本小书也是我学习平展上同调的动机之一. 这里我们只参观一下何为 Grothendieck 标准猜想, 它有哪些神奇之处? 这里均假设 $k$ 是代数闭域且 $X$ 是光滑射影簇.

事实上标准猜想包含一系列猜想, 这些猜想不是相互独立的, 它们之间有一些关系, 而当 $k=\mathbb{C}$ 时这些猜想都可以被 Hodge 猜想所得到. 而如果这些猜想成立的话, 那可以推出存在一个由 motive 得到的万有上同调理论, 而且可以推出 Weil 猜想 (当然已经被 Deligne 绕过了标准猜想而证明).

固定一个 $F$-系数的 Weil 上同调理论 $H(X)$, 其中 $F$ 是特征零的域, 例如 $\mathbb{Q},{\mathbb{Q}}_{\ell }$ 等, 对于 ${\mathrm{cl}}_X:{\mathrm{CH}}^i(X{)}_{\mathbb{Q}}\to H^{2i}(X)$, 我们称 ${\mathrm{cl}}_X$ 的像是代数的.

同调–数值猜想

猜想 23.3.0.1 (同调–数值猜想 $D(X)$). 我们有 $Z_{\mathrm{hom}}^i(X)=Z_{\mathrm{num}}^i(X)$.

这个猜想告诉我们如果成立的话, 那么同调等价和 Weil 上同调选取无关. 任意特征下这个已经在 $i=1$ 被证明 (Matsusaka); 零特征下 $i=2$, 曲线和 Abel 簇的情况被证明. 而这个猜想显然被下述猜想所推出:

猜想 23.3.0.2 (Voevodsky 猜想). 我们有 $Z_{\otimes }^i(X)=Z_{\mathrm{num}}^i(X)$.

Künneth 猜想

考虑对角 $\Delta (X)\subset X\times X$, 考虑$${\mathrm{cl}}_{X\times X}(\Delta (X))\in H^{2d}(X\times X)=\underset{i=0}{\overset{2d}{⨁}}{H}^{2d-i}(X)\otimes H^i(X).$$取其分支 (Künneth 分支) 为 ${\Delta }_i^{\mathrm{topo}}\in H^{2d-i}(X)\otimes H^i(X)$.

猜想 23.3.0.3 (Künneth 猜想 $C(X)$). 其 Künneth 分支 ${\Delta }_i^{\mathrm{topo}}$ 是代数的.

这个猜想对有仿射分层的代数簇成立, 对曲线, 曲面和 Abel 簇也成立. 用 Weil 猜想的证明可以推出来有限域上的都成立 (Katz-Messing). 当 $k=\mathbb{C}$, 这个显然是 Hodge 猜想的推论.

Lefschetz 型猜想

Weil 上同调理论给出 Lefschetz 算子 $L(\alpha )=\alpha \cup {\mathrm{cl}}_X(Y)$ 诱导同构$$L^{d-i}:H^{d-i}(X)\cong H^{d+i}(X),0\le i\le d.$$可以证明存在唯一的 $\Lambda :H^i(X)\to H^{i-2}(X)$ 满足一定的交换性 (就是说它接近 $L$ 的逆, 参考 [25] 第 36 页). 将 $\Lambda$ 看作 $H^{\ast }(X{)}^{\vee }\otimes H^{\ast }(X)$ 的元素, 根据 Poincaré 对偶和 Künneth 公式得到$$H^{\ast }(X{)}^{\vee }\otimes H^{\ast }(X)\cong H^{\ast }(X)\otimes H^{\ast }(X)\subset H^{\ast }(X\times X).$$定义拓扑对应为 $\Lambda$ 在 $H^{\ast }(X\times X)$ 里的像.

猜想 23.3.0.4 (Lefschetz 型猜想 $B(X)$). 拓扑对应 $\Lambda$ 是代数的.

若 $k=\mathbb{C}$, 则注意到 $\Lambda$ 是 Hodge 类, 故这个猜想也是 Hodge 猜想的推论. 这个猜想对射影空间, Grassmannian 和曲线都平凡. 曲面情况是 Grothendieck-Kleiman 给出. 而 Abel 簇的情况被 Lieberman-Kleiman 给出.

Kleiman 的一系列结论给出 $B(X)$ 和定义 Lefschetz 算子的嵌入无关, 且 $B(X)$ 可以推出 $C(X)$. 也可以推出如下猜想:

猜想 23.3.0.5 (猜想 $A(X,L)$). 考虑交换图则单射 $f$ 是同构.

Hodge 型猜想

我们知道当 $i\le d$ 时 $L^{d-i}(X)$ 是同构, 但 $L^{d-i+1}$ 就不一定, 我们记 $P^i(X):=\ker L^{d-i+1}$ 为第 $i$ 个原初 (primitive) 上同调. 记 $A_{\mathrm{prim}}^i(X)=\mathrm{Im}{\mathrm{cl}}_X^i\cap P^{2i}(X)$.

猜想 23.3.0.6 (Hodge 型猜想 $\mathrm{Hdg}(x)$). 设 $i\le d/2$, 考虑配对$$A_{\mathrm{prim}}^i(X)\times A_{\mathrm{prim}}^i(X)\to \mathbb{Q},(x,y)\mapsto (-1{)}^i\mathrm{tr}\circ (L^{d-2i}(x)\cup y),$$则这个配对是正定的.

当特征零时, 根据 Lefschetz 准则, 这个由比较定理和 Riemann-Hodge 双线性型给出. 对任意特征的, 这个对曲面是对的.