23.2. 其他等价及 Néron-Severi 群

定义 23.2.0.1. 设 $X$ 是 $d$ 维射影簇, 定义映射$${\mathrm{CH}}^r(X)\times {\mathrm{CH}}^{d-r}(X)\to {\mathrm{CH}}^d(X)\stackrel{\mathrm{deg}}{⟶}\mathbb{Z}.$$我们称 $Z\in {\mathrm{CH}}^r(X)$ 数值平凡, 即 $Z{\sim }_{\mathrm{num}}0$ 如果对任何余维数是 $d-r$ 的代数链 $Y$ 都有 $Z\cdot Y=0$. 记 $Z_{\mathrm{num}}^r(X)\subset C^r(X)$ 是数值平凡的子群, 定义 $N^r(X):={\mathrm{CH}}^r(X)/Z_{\mathrm{num}}^r(X)$, 当 $r=1$ 时称为 Néron-Severi 群.

定理 23.2.0.2. 对射影簇 $X$, 群 $N^i(X)$ 有限生成. 事实上设 $B^i(X):=N^i(X)\otimes \mathbb{Q}$, 则$${\dim }_{\mathbb{Q}}{B}^i(X)\le b_{2i}:=\dim H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2i}(X,{\mathbb{Q}}_{\ell })<\infty .$$

证明. 由定理 17.0.3 知可以取 $Y_1,...,Y_n\in {\mathrm{CH}}^{d-i}(X)$ 使得其在 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^{2d-2i}(X,{\mathbb{Q}}_{\ell }(d-i))$ 的像称为 ${\mathbb{Q}}_{\ell }$-线性空间 ${\mathrm{cl}}_X({\mathrm{CH}}^{d-i}(X))$ 的一组基. 显然 $n\le b_{2d-2i}=b_{2i}$. 考虑线性映射$$\lambda :{\mathrm{CH}}^i(X)\to {\mathbb{Z}}^m,\beta \mapsto \left({\int }_X\beta \cdot {\alpha }_1,...,{\int }_X\beta \cdot {\alpha }_m\right).$$我们断言 $\ker \lambda =Z_{\mathrm{num}}^i(X)$. 显然 $Z_{\mathrm{num}}^i(X)\subset \ker \lambda$ 是平凡的. 反之, 设 $\alpha \in {\mathrm{CH}}^{d-i}(X)$ 和 ${\mathrm{cl}}_X(\alpha )=\sum {\nu }_j{\mathrm{cl}}_X({\alpha }_j)$, 其中 ${\nu }_j\in {\mathbb{Q}}_{\ell }$. 则有$$\begin{array}{rl}{\int }_X\beta \cdot \alpha & =\mathrm{tr}({\mathrm{cl}}_X(\alpha )\cup {\mathrm{cl}}_X(\beta ))\\ & =\sum _j{\nu }_j\mathrm{tr}({\mathrm{cl}}_X({\alpha }_j)\cup {\mathrm{cl}}_X(\beta ))\\ & =\sum _j{\nu }_j{\int }_X\beta \cdot {\alpha }_j.\end{array}$$因此若 $\beta \in \ker \lambda$, 则得到 $\beta$ 必然数值等价为零, 因此断言成立. 根据断言得到单射 $B^i(X)\hookrightarrow {\mathbb{Q}}^m$. 于是得到结论.

$\square$

定义 23.2.0.3. (i) 记 $Z_{\mathrm{rat}}^i(X)\subset C^i(X)$ 为有理等价于 $0$ 的子群;

(ii) 我们称 $Z\in C^i(X)$ 代数等价, 即 $Z{\sim }_{\mathrm{alg}}0$, 如果存在光滑不可约曲线 $C$ 和 $W\in C^i(C\times X)$ 和 $a,b\in C$ 使得 $W(a)=0,W(b)=Z$. 记 $Z_{\mathrm{alg}}^i(X)$ 为代数等价于 $0$ 的子群, 记 ${\mathrm{CH}}_{\mathrm{alg}}^i(X):=Z_{\mathrm{alg}}^i/Z_{\mathrm{rat}}^i(X)$;

(iii) 我们称 $Z\in C^i(X)$ 粉碎幂零 (smash-nilpotent) 等价为零, 即 $Z{\sim }_{\otimes }0$, 如果存在正整数 $n$ 使得 ${\prod }^{n}X{\sim }_{\mathrm{rat}}0$. 记 $Z_{\otimes }^i(X)$ 为粉碎幂零等价于 $0$ 的子群.

命题 23.2.0.4. (i) 我们有 $Z_{\otimes }^i(X)\subset Z_{\mathrm{hom}}^i(X)$ 且$$Z_{\mathrm{rat}}^i(X)\subset Z_{\mathrm{alg}}^i(X)\subset Z_{\mathrm{hom}}^i(X)\subset Z_{\mathrm{num}}^i(X);$$

(ii)(Voevodsky-Voisin) 张量 $\mathbb{Q}$ 之后有$$Z_{\mathrm{rat}}^i(X{)}_{\mathbb{Q}}\subset Z_{\mathrm{alg}}^i(X{)}_{\mathbb{Q}}\subset Z_{\otimes }^i(X{)}_{\mathbb{Q}}\subset Z_{\mathrm{hom}}^i(X{)}_{\mathbb{Q}}\subset Z_{\mathrm{num}}^i(X{)}_{\mathbb{Q}}.$$

命题 23.2.0.5. (i) 不甚困难, 参考 [8] 命题 19.1.1 和 [25] 引理 1.2.18;

(ii) 比较复杂, 完整证明参考 [25] 附录 B.