23.1. Weil 上同调理论和同调等价

设 $F$ 是特征零的域且 ${\mathrm{GrVect}}_F$ 是有限维分次 $F$-线性空间.

定义 23.1.0.1. 一个 Weil 上同调理论为一个函子$$H:\mathrm{SmProj}(k{)}^{op}\to {\mathrm{GrVect}}_F$$满足如下公理:

(1) 存在杯积 $\cup :H(X)\times H(X)\to H(X)$ 且满足对 $a\in H^i(X),b\in H^j(X)$ 有$$b\cup a=(-1{)}^{ij}a\cup b;$$

(2) 存在 Poincaré 对偶:

有迹同构 $\mathrm{tr}:H^{2d}(X_d)\cong F$ 使得有完美对$$H^i(X_d)\times H^{2d-i}(X)\stackrel{\cup }{⟶}{H}^{2d}(X_d)\stackrel{\mathrm{tr},\cong }{⟶}F;$$

(3) 满足 Künneth 公式: 有如下分次同构$$H(X)\otimes H(Y)\stackrel{p_1^{\ast }\otimes p_2^{\ast }}{⟶}H(X\times Y);$$

(4) 存在链映射 ${\mathrm{cl}}_X:{\mathrm{CH}}^i(X)\to H^{2i}(X)$ 使得

•	对 $\mathrm{SmProj}(k)$ 内的 $f:X\to Y$ 有 $f^{\ast }\circ {\mathrm{cl}}_Y={\mathrm{cl}}_X\circ f^{\ast }$ 和 $f_{\ast }\circ {\mathrm{cl}}_X={\mathrm{cl}}_Y\circ f_{\ast }$;
•	有 ${\mathrm{cl}}_X(\alpha \cdot \beta )={\mathrm{cl}}_X(\alpha )\cup {\mathrm{cl}}_X(\beta )$;
•	对点 $p$, 有 $\mathrm{tr}\circ {\mathrm{cl}}_p=\mathrm{deg}:={\int }_p$.

(5) 弱 Lefschetz 定理满足: 设光滑超平面截面 $i:Y_{d-1}\hookrightarrow X_d$, 则 $i^{\ast }:H^i(X)\to H^i(Y)$ 在 $i<d-1$ 时是同构, 在 $i=d-1$ 时是单射;

(6) 硬 Lefschetz 定理满足: Lefschetz 算子 $L(\alpha )=\alpha \cup {\mathrm{cl}}_X(Y)$ 诱导同构$$L^{d-i}:H^{d-i}(X)\cong H^{d+i}(X),0\le i\le d.$$

容易发现 Weil 上同调理论就是为了模仿复几何和代数拓扑里的上同调理论. 我们有如下常见例子:

例 23.1.0.2. 设 $k$ 特征零且 $k\subset \mathbb{C}$, 则可以取:

(i) Betti 上同调, 即 $H_B^i(X):=H_{\mathrm{sing}}^i(X^{\mathrm{an}},\mathbb{Q})$(或 $\mathbb{C}$ 系数);

(ii) 经典 de Rham 上同调 $H_{\mathrm{dR}}^i(X^{\mathrm{an}};\mathbb{C})$;

(iii) 代数 de Rham 上同调 $H_{\mathrm{dR}}^i(X)$.

这些都是 Weil 上同调理论. 首先 (i) 即为经典代数拓扑里的内容, 而 (ii)(iii) 都可以根据比较定理给出.

例 23.1.0.3. 对域 $k$ 上的簇 $X$, 任取可逆素数 $\ell$, 得到 $\ell$-进上同调 $H_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^i(X_{\bar{k}},{\mathbb{Q}}_{\ell })$. 这个上同调理论是 Weil 上同调理论是非常不平凡的结论. 事实上我们笔记的大部分都在证明这个事实, 当然最后一个, 硬 Lefschetz 定理我们还没有证明, 但这个定理是这里面最复杂的定理, 我也懒得去证明, 参考 [5].

例 23.1.0.4. 若 $k$ 完美, 晶体上同调 $H_{\mathrm{crys}}^i(X/W(k))\otimes K$ 是 Weil 上同调理论, 其中 $K$ 是 Witt 环 $W(k)$ 的分式域.

定义 23.1.0.5. 对于某个 Weil 上同调理论 $H$, 定义 $Z\in C^{\ast }(X)$ 同调等价为零, 即 $Z{\sim }_{\mathrm{hom}}0$, 如果 ${\mathrm{cl}}_X(Z)=0$. 记 $Z_{\mathrm{hom}}^i(X)\subset C^i(X)$ 是同调等价为零的子群. 这个是依赖于 Weil 上同调理论的选取的.