10. 阵的一个新记号

本节, 我们学习阵的一个新记号. 它可使我们更好地理解阵与行列式.

定义 10.1. 设 $c_{1}$ , $c_{2}$ , $\dots$ , $c_{n}$ 是 $n$ 个 $m \times 1$ 阵. 定义 $[c_{1} c_{2} \dots c_{n}]$ 是一个 $m \times n$ 阵, 其中, 对任何不超过 $m$ 的正整数 $i$ 与任何不超过 $n$ 的正整数 $j$ , $[[c_{1} c_{2} \dots c_{n}]]_{i, j} = [c_{j}]_{i, 1} .$ (通俗地, $[c_{1} c_{2} \dots c_{n}]$ 就是合 $n$ 个 $m \times 1$ 小阵 $c_{1}$ , $c_{2}$ , $\dots$ , $c_{n}$ 为一个 $m \times n$ 大阵的结果.)

习惯地, 我们可写 $[c_{1} c_{2} \dots c_{n}]$ 为 $[c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]$ .

这个写法自然强调了阵的列. 当我们在后面研究行列式的性质时, 此写法是有用的.

例 10.2. 设 $c_{1} = ⎣ ⎡ 123 ⎦ ⎤$ , $c_{2} = ⎣ ⎡ 469 ⎦ ⎤$ , $c_{3} = ⎣ ⎡ 857 ⎦ ⎤$ , $c_{4} = ⎣ ⎡ 101112 ⎦ ⎤$ . 则 $[c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}] = ⎣ ⎡ 123469857101112 ⎦ ⎤ .$

论证下面的命题可被认为是一个好习题.

定理 10.3. 设 $c_{1}$ , $c_{2}$ , $\dots$ , $c_{n}$ , $d_{1}$ , $d_{2}$ , $\dots$ , $d_{n}$ 是 $2 n$ 个 $m \times 1$ 阵. 设 $k$ 是数. 则 $[c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}] + [d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}] = [c_{1} + d_{1}, c_{2} + d_{2}, \dots, c_{n} + d_{n}]; k [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}] = [k c_{1}, k c_{2}, \dots, k c_{n}] .$

证. 我证式 1. 论证式 2 比论证式 1 更简单, 故我留它为您的习题.

$[c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]$ 与 $[d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}]$ 都是 $m \times n$ 阵, 故它们自然可加, 且结果也是 $m \times n$ 阵. $c_{j}$ , $d_{j}$ 都是 $m \times 1$ 阵, 故 $c_{j} + d_{j}$ 也是. 不说元是否相等, 至少等式二侧的阵的尺寸是相等的. 现在, 比较元是否相等: $= = = = [[c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}] + [d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}]]_{i, j} [[c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]]_{i, j} + [[d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}]]_{i, j} [c_{j}]_{i, 1} + [d_{j}]_{i, 1} [c_{j} + d_{j}]_{i, 1} [[c_{1} + d_{1}, c_{2} + d_{2}, \dots, c_{n} + d_{n}]]_{i, j} .$ 看来, 元也相等.

证明的要点有且只有一个: 用定义.

证毕.

设 $c_{1}$ , $c_{2}$ , $\dots$ , $c_{n}$ 是 $n$ 个 $n \times 1$ 阵. 那么, $[c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]$ 是一个 $n$ 级阵, 从而有行列式 $det ([c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}])$ . 不难看到, 这里有 $2$ 重括号. 习惯地, 我们写 $det ([c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]) = det [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}] .$ 不写 $()$ 似乎并不会引起误解, 所以, 这是没问题的.

例 10.4. 设 $c_{1} = ⎣ ⎡ 123 ⎦ ⎤$ , $c_{2} = ⎣ ⎡ 469 ⎦ ⎤$ , $c_{3} = ⎣ ⎡ 857 ⎦ ⎤$ . 则 $det [c_{1}, c_{2}, c_{3}] = = = = det ⎣ ⎡ 123469857 ⎦ ⎤ 1 \cdot 6 \cdot 7 + 2 \cdot 9 \cdot 8 + 3 \cdot 4 \cdot 5 - 1 \cdot 9 \cdot 5 - 2 \cdot 4 \cdot 7 - 3 \cdot 6 \cdot 8 42 + 144 + 60 - 45 - 56 - 144 1.$

前面, 我们合竖排的小阵为一个大阵. 我们当然也可合横排的小阵为一个大阵.

定义 10.5. 设 $r_{1}$ , $r_{2}$ , $\dots$ , $r_{m}$ 是 $m$ 个 $1 \times n$ 阵. 定义 $⎣ ⎡ r_{1} r_{2} ⋮ r_{m} ⎦ ⎤$ 是一个 $m \times n$ 阵, 其中, 对任何不超过 $m$ 的正整数 $i$ 与任何不超过 $n$ 的正整数 $j$ , $⎣ ⎡ ⎣ ⎡ r_{1} r_{2} ⋮ r_{m} ⎦ ⎤ ⎦ ⎤_{i, j} = [r_{i}]_{1, j} .$ (通俗地, $⎣ ⎡ r_{1} r_{2} ⋮ r_{m} ⎦ ⎤$ 就是合 $m$ 个 $1 \times n$ 小阵 $r_{1}$ , $r_{2}$ , $\dots$ , $r_{m}$ 为一个 $m \times n$ 大阵的结果.)

完全类似地, 我们有

定理 10.6. 设 $r_{1}$ , $r_{2}$ , $\dots$ , $r_{m}$ , $s_{1}$ , $s_{2}$ , $\dots$ , $s_{m}$ 是 $2 m$ 个 $1 \times n$ 阵. 设 $k$ 是数. 则 $⎣ ⎡ r_{1} r_{2} ⋮ r_{m} ⎦ ⎤ + ⎣ ⎡ s_{1} s_{2} ⋮ s_{m} ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ r_{1} + s_{1} r_{2} + s_{2} ⋮ r_{m} + s_{m} ⎦ ⎤; k ⎣ ⎡ r_{1} r_{2} ⋮ r_{m} ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ k r_{1} k r_{2} ⋮ k r_{m} ⎦ ⎤ .$

证. 完全类似.

证毕.

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