27. 由 $m$ 个 $n$ 元 $⩽ 1$ 次方程作成的方程组 (3)

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前面, 我们讨论了 $A X = B$ 有解时, $A$ , $B$ 应适合的条件:

定理 27.1. 设 $A$ 是 $m \times n$ 阵. 设 $B$ 是 $m \times 1$ 阵. 设存在 $n \times 1$ 阵 $C$ 适合 $A C = B$ . 作一个 $m \times (n + 1)$ 阵 $G$ , 其中 $[G]_{i, j} = {[A]_{i, j}, [B]_{i, 1}, j ⩽ n; j = n + 1.$ (通俗地, 在 $A$ 的最后一列的右侧加入一列 $B$ , 得到尺寸较大的阵 $G$ .) 则存在一个非负整数 $r$ , 使 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵 (从而 $G$ 也有一个行列式非零的 $r$ 级子阵), 但 $G$ 没有行列式非零的 $r + 1$ 级子阵 (从而 $A$ 也没有行列式非零的 $r + 1$ 级子阵).

那么, 反过来, 若 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但 $G$ 没有行列式非零的 $r + 1$ 级子阵, 则 $A X = B$ 是否有解? 此事的回答是 “是”. 不过, 为了论证此事, 我们要作准备.

定理 27.2. 设 $A$ 是 $n$ 级阵. 设 $p$ , $q$ 是二个不超过 $n$ 的正整数, 且 $p \neq = q$ . 设 $x$ 是一个数. 作 $n$ 级阵 $L$ , 其中 $[L]_{i, j} = {[A]_{i, j}, [A]_{i, q} + x [A]_{i, p}, j \neq = q; j = q .$ (通俗地, 加 $A$ 的列 $p$ 的 $x$ 倍于列 $q$ , 且不改变其他的列, 得阵 $L$ .) 则 $det (L) = det (A)$ .

类似地, 若加 $A$ 的行 $p$ 的 $x$ 倍于行 $q$ , 且不改变其他的行, 得阵 $K$ , 则 $det (K) = det (A)$ .

证. 我证明关于列的事; 我们可用类似的方法证明关于行的事 (或者, 利用行列式与转置的关系).

作一个 $n$ 级阵 $S$ , 使 $S$ 的列 $j$ 等于 $A$ 的列 $j$ (若 $j \neq = q$ ), 且 $S$ 的列 $q$ 等于 $A$ 的列 $p$ . 则 $S$ 的列 $p$ 等于 $S$ 的列 $q$ , 且 $L$ 的列 $j$ , $A$ 的列 $j$ , 与 $S$ 的列 $j$ 相等 (若 $j \neq = q$ ), 但 $[L]_{i, q} = 1 [A]_{i, q} + x [S]_{i, q}$ . 由多线性与交错性, $det (L) = 1 det (A) + x det (S) = det (A) + x 0 = det (A) .$ 证毕.

定理 27.3. 设 $A$ 是 $m \times n$ 阵, 且 $A \neq = 0$ . 设 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵 $A_{r} = A (j _{1} , \dots , j _{r} i _{1} , \dots , i _{r})$ (其中 $1 ⩽ i_{1} < \dots < i_{r} ⩽ m$ , 且 $1 ⩽ j_{1} < \dots < j_{r} ⩽ n$ ), 但 $A$ 没有行列式非零的 $r + 1$ 级子阵. 那么, 对任何不超过 $m$ 的正整数 $p$ , 存在 $r$ 个数 $d_{p, 1}$ , $d_{p, 2}$ , $\dots$ , $d_{p, r}$ , 使对任何不超过 $n$ 的正整数 $q$ , $[A]_{p, q} = [A]_{i_{1}, q} d_{p, 1} + [A]_{i_{2}, q} d_{p, 2} + \dots + [A]_{i_{r}, q} d_{p, r} = s = 1 \sum r [A]_{i_{s}, q} d_{p, s} .$

我们也可如此说前面的结论:

定理 27.4. 设 $A$ 是 $m \times n$ 阵, 且 $A \neq = 0$ . 设 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵 $A_{r} = A (j _{1} , \dots , j _{r} i _{1} , \dots , i _{r})$ (其中 $1 ⩽ i_{1} < \dots < i_{r} ⩽ m$ , 且 $1 ⩽ j_{1} < \dots < j_{r} ⩽ n$ ), 但 $A$ 没有行列式非零的 $r + 1$ 级子阵. 设 $A$ 的行 $1$ , $2$ , $\dots$ , $m$ 为 $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{m}$ . 那么, 对任何不超过 $m$ 的正整数 $p$ , 存在 $r$ 个数 $d_{p, 1}$ , $d_{p, 2}$ , $\dots$ , $d_{p, r}$ , 使 $a_{p} = d_{p, 1} a_{i_{1}} + d_{p, 2} a_{i_{2}} + \dots + d_{p, r} a_{i_{r}} = s = 1 \sum r d_{p, s} a_{i_{s}} .$

通俗地, 这个定理说, 任给一个非零阵 $A$ , 我们总能找出它的某 $r$ 行 $a_{i_{1}}$ , $a_{i_{2}}$ , $\dots$ , $a_{i_{r}}$ , 使 $A$ 的每一行都可被写为这 $r$ 行的数乘的和, 且由这 $r$ 行作成的子阵有一个行列式非零的 $r$ 级子阵.

例 27.5. 设 $A = ⎣ ⎡ 10000101001100000000 - 1 101 ⎦ ⎤ .$ 不难看出, $A$ 有一个 $3$ 级子阵, 其行列式非零: $det (A (1 , 2 , 3 1 , 2 , 3)) = 1.$ 不过, $A$ 没有行列式非零的 $4$ 级子阵. 我们考虑 $A$ 的列 $4$ , $5$ . 任取 $A$ 的一个 $4$ 级子阵. 若 $A$ 的列 $4$ 或列 $5$ 被选中, 那么其行列式显然为 $0$ . 若 $A$ 的列 $4$ 与列 $5$ 都不被选中, 则这个子阵是 $A (1 , 2 , 3 , 6 1 , 2 , 3 , 4) = ⎣ ⎡ 100001010011 - 1 101 ⎦ ⎤ .$ 不难算出, 它的行列式为 $0$ .

我们说, $A$ 的每一行可被写为 $A$ 的前 $3$ 行的数乘的和. 设 $A$ 的行 $1$ , $2$ , $3$ , $4$ 为 $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ . 则 $a_{1} = 1 a_{1} + 0 a_{2} + 0 a_{3}, a_{2} = 0 a_{1} + 1 a_{2} + 0 a_{3}, a_{3} = 0 a_{1} + 0 a_{2} + 1 a_{3}, a_{4} = 0 a_{1} + 1 a_{2} + 1 a_{3} .$ 并且, 由这 $3$ 行作成的子阵有一个行列式非零的 $3$ 级子阵: $3$ 级单位阵就是一个.

当然, $A$ 的每一行可被写为 $A$ 的前 $4$ 行的数乘的和: $a_{1} = 1 a_{1} + 0 a_{2} + 0 a_{3} + 0 a_{4}, a_{2} = 0 a_{1} + 1 a_{2} + 0 a_{3} + 0 a_{4}, a_{3} = 0 a_{1} + 0 a_{2} + 1 a_{3} + 0 a_{4}, a_{4} = 0 a_{1} + 0 a_{2} + 0 a_{3} + 1 a_{4} .$ 可是, 由这 $4$ 行作成的子阵没有行列式非零的 $4$ 级子阵.

证. 任取不超过 $m$ 的正整数 $p$ .

若 $p$ 等于某个 $i_{s}$ ( $s = 1$ , $2$ , $\dots$ , $r$ ), 我们取 $d_{p, v} = {1, 0, v = s; v \neq = s .$ 于是, 对任何不超过 $n$ 的正整数 $q$ , $[A]_{i_{1}, q} d_{p, 1} + [A]_{i_{2}, q} d_{p, 2} + \dots + [A]_{i_{r}, q} d_{p, r} = [A]_{i_{s}, q} 1 = [A]_{p, q} .$

下设 $p$ 不等于任何 $i_{s}$ .

考虑由 $r$ 个 $r$ 元 $⩽ 1$ 次方程作成的方程组 $⎩ ⎨ ⎧ [A]_{i_{1}, j_{1}} x_{1} + [A]_{i_{2}, j_{1}} x_{2} + \dots + [A]_{i_{r}, j_{1}} x_{r} = [A]_{p, j_{1}}, [A]_{i_{1}, j_{2}} x_{1} + [A]_{i_{2}, j_{2}} x_{2} + \dots + [A]_{i_{r}, j_{2}} x_{r} = [A]_{p, j_{2}}, \dots, [A]_{i_{1}, j_{r}} x_{1} + [A]_{i_{2}, j_{r}} x_{2} + \dots + [A]_{i_{r}, j_{r}} x_{r} = [A]_{p, j_{r}},$ 即 $A_{r}^{T} ⎣ ⎡ x_{1} x_{2} ⋮ x_{r} ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ [A]_{p, j_{1}} [A]_{p, j_{2}} ⋮ [A]_{p, j_{r}} ⎦ ⎤ .$ 因为 $det (A_{r}^{T}) = det (A_{r}) \neq = 0$ , 故, 由 Cramer 公式, 存在 $r$ 个数 $d_{p, 1}$ , $d_{p, 2}$ , $\dots$ , $d_{p, r}$ , 使 $[A]_{i_{1}, j_{1}} d_{p, 1} + [A]_{i_{2}, j_{1}} d_{p, 2} + \dots + [A]_{i_{r}, j_{1}} d_{p, r} = [A]_{p, j_{1}}, [A]_{i_{1}, j_{2}} d_{p, 1} + [A]_{i_{2}, j_{2}} d_{p, 2} + \dots + [A]_{i_{r}, j_{2}} d_{p, r} = [A]_{p, j_{2}}, \dots, [A]_{i_{1}, j_{r}} d_{p, 1} + [A]_{i_{2}, j_{r}} d_{p, 2} + \dots + [A]_{i_{r}, j_{r}} d_{p, r} = [A]_{p, j_{r}} .$ 我们由此证明, 对任何不超过 $n$ 的正整数 $q$ , $[A]_{p, q} = [A]_{i_{1}, q} d_{p, 1} + [A]_{i_{2}, q} d_{p, 2} + \dots + [A]_{i_{r}, q} d_{p, r} .$

若 $q$ 等于某个 $j_{ℓ}$ , 显然. 下设 $q$ 不等于任何 $j_{ℓ}$ .

考虑 $A$ 的 $r + 1$ 级子阵 $K = A (j _{1} , \dots , j _{r} , q i _{1} , \dots , i _{r} , p) .$ 我们用重要思想, 算二次, 证我们想要的等式.

一方面, 我们知道, 既然 $A$ 没有行列式非零的 $r + 1$ 级子阵, 故 $det (K) = 0$ .

另一方面, 我们也可适当地作辅助阵, 其行列式等于 $K$ 的行列式. 从而, 计算这些辅助阵的行列式, 也就相当于计算 $K$ 的行列式. 为方便, 我们记 $i_{r + 1} = p$ , 且 $j_{r + 1} = q$ . 设 $i_{s}$ 在 $i_{1}$ , $\dots$ , $i_{r}$ , $i_{r + 1}$ 中是第 $f (i_{s})$ 小的数; 设 $j_{ℓ}$ 在 $j_{1}$ , $\dots$ , $j_{r}$ , $j_{r + 1}$ 中是第 $g (j_{ℓ})$ 小的数. 加 $K$ 的行 $f (i_{1})$ 的 $- d_{p, 1}$ 倍于行 $f (p)$ , 得阵 $K_{1}$ . 则 $det (K_{1}) = det (K)$ . 加 $K_{1}$ 的行 $f (i_{2})$ 的 $- d_{p, 2}$ 倍于行 $f (p)$ , 得阵 $K_{2}$ . 则 $det (K_{2}) = det (K_{1}) = det (K)$ . …… 加 $K_{r - 1}$ 的行 $f (i_{r})$ 的 $- d_{p, r}$ 倍于行 $f (p)$ , 得阵 $K_{r}$ . 则 $det (K_{r}) = det (K_{r - 1}) = det (K)$ . 注意, $K_{r}$ 的行 $f (i_{1})$ , $f (i_{2})$ , $\dots$ , $f (i_{r})$ 分别跟 $K$ 的行 $f (i_{1})$ , $f (i_{2})$ , $\dots$ , $f (i_{r})$ 相等; 不过, $[K_{r}]_{f (p), g (v)} = [A]_{p, v} - s = 1 \sum r [A]_{i_{s}, v} d_{p, s},$ 其中 $v = j_{1}$ , $\dots$ , $j_{r}$ , $q$ . 所以, 当 $g (v) \neq = g (q)$ 时, $[K_{r}]_{f (p), g (v)} = 0$ . 我们按行 $f (p)$ 展开 $K_{r}$ 的行列式, 有 $det (K_{r}) = = (- 1)^{f (p) + g (q)} [K_{r}]_{f (p), g (q)} det (K_{r} (f (p) ∣ g (q))) (- 1)^{f (p) + g (q)} det (A_{r}) ([A]_{p, q} - s = 1 \sum r [A]_{i_{s}, q} d_{p, s}) .$

回想, $0 = det (K)$ , 且 $det (K) = det (K_{r})$ . 比较二次计算的结果, 我们应有 $0 = (- 1)^{f (p) + g (q)} det (A_{r}) ([A]_{p, q} - s = 1 \sum r [A]_{i_{s}, q} d_{p, s}) .$ 注意, $(- 1)^{f (p) + g (q)} det (A_{r}) \neq = 0$ , 故 $[A]_{p, q} - s = 1 \sum r [A]_{i_{s}, q} d_{p, s} = 0.$ 证毕.

现在, 我们可以证明本节的重要结论了.

定理 27.6. 设 $A$ 是 $m \times n$ 阵. 设 $B$ 是 $m \times 1$ 阵. 作一个 $m \times (n + 1)$ 阵 $G$ , 其中 $[G]_{i, j} = {[A]_{i, j}, [B]_{i, 1}, j ⩽ n; j = n + 1.$ (通俗地, 在 $A$ 的最后一列的右侧加入一列 $B$ , 得到尺寸较大的阵 $G$ .) 设 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵 (从而 $G$ 也有一个行列式非零的 $r$ 级子阵), 但 $G$ 没有行列式非零的 $r + 1$ 级子阵 (从而 $A$ 也没有行列式非零的 $r + 1$ 级子阵). 则存在一个 $n \times 1$ 阵 $C$ , 使 $A C = B$ .

证. 先设 $A = 0$ . 那么, $A$ 有一个行列式非零的 “ $0$ 级子阵”, 但 $G$ 没有行列式非零的 $1$ 级子阵. 所以 $G = 0$ . 所以 $B = 0$ . 那么, 任何 $n \times 1$ 阵 $C$ 都适合 $A C = B$ .

下设 $A \neq = 0$ . 设 $A$ 的 $r$ 级子阵 $A_{r} = A (j _{1} , \dots , j _{r} i _{1} , \dots , i _{r})$ (其中 $1 ⩽ i_{1} < \dots < i_{r} ⩽ m$ , 且 $1 ⩽ j_{1} < \dots < j_{r} ⩽ n$ ) 的行列式非零. $A_{r}$ 当然也是 $G$ 的子阵, 且 $A (j _{1} , \dots , j _{r} i _{1} , \dots , i _{r}) = G (j _{1} , \dots , j _{r} i _{1} , \dots , i _{r}) .$ 所以, 对任何不超过 $m$ 的正整数 $p$ , 存在 $r$ 个数 $d_{p, 1}$ , $d_{p, 2}$ , $\dots$ , $d_{p, r}$ , 使对任何不超过 $n + 1$ 的正整数 $q$ , $[G]_{p, q} = [G]_{i_{1}, q} d_{p, 1} + [G]_{i_{2}, q} d_{p, 2} + \dots + [G]_{i_{r}, q} d_{p, r} = s = 1 \sum r [G]_{i_{s}, q} d_{p, s} .$

考虑由 $r$ 个 $n$ 元 $⩽ 1$ 次方程作成的方程组 $⎩ ⎨ ⎧ [A]_{i_{1}, 1} x_{1} + [A]_{i_{1}, 2} x_{2} + \dots + [A]_{i_{1}, n} x_{n} = [B]_{i_{1}, 1}, [A]_{i_{2}, 1} x_{1} + [A]_{i_{2}, 2} x_{2} + \dots + [A]_{i_{2}, n} x_{n} = [B]_{i_{2}, 1}, \dots, [A]_{i_{r}, 1} x_{1} + [A]_{i_{r}, 2} x_{2} + \dots + [A]_{i_{r}, n} x_{n} = [B]_{i_{r}, 1} .$ 我们说, 这个方程组有解.

若 $r = n$ , 则这是一个由 $n$ 个 $n$ 元 $⩽ 1$ 次方程作成的方程组. 因为 $det (A_{r}) \neq = 0$ , 故, 由 Cramer 公式, 此方程组有一个 (唯一的) 解.

若 $r < n$ , 从 $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ 去除 $j_{1}$ , $j_{2}$ , $\dots$ , $j_{r}$ 后, 还剩 $n - r$ 个数. 我们从小到大地叫这 $n - r$ 个数为 $j_{r + 1}$ , $\dots$ , $j_{n}$ . 我们可改写此方程组为 $ℓ = 1 \sum r [A]_{p, j_{ℓ}} x_{j_{ℓ}} = [B]_{p, 1} - r < ℓ ⩽ n \sum [A]_{p, j_{ℓ}} x_{j_{ℓ}},$ 其中 $p = i_{1}$ , $i_{2}$ , $\dots$ , $i_{r}$ , 下同.

设 $f_{j_{r + 1}}$ , $\dots$ , $f_{j_{r}}$ 为任何的 $n - r$ 个数. 我们考虑由 $r$ 个 $r$ 元 $⩽ 1$ 次方程作成的方程组 $ℓ = 1 \sum r [A]_{p, j_{ℓ}} y_{ℓ} = [B]_{p, 1} - r < ℓ ⩽ n \sum [A]_{p, j_{ℓ}} f_{j_{ℓ}} .$ 利用阵等式, 我们可写 $A_{r} ⎣ ⎡ y_{1} y_{2} ⋮ y_{r} ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ z_{i_{1}} z_{i_{2}} ⋮ z_{i_{r}} ⎦ ⎤,$ 其中 $z_{p} = [B]_{p, 1} - r < ℓ ⩽ n \sum [A]_{p, j_{ℓ}} f_{j_{ℓ}} .$ 因为 $det (A_{r}) \neq = 0$ , 故, 由 Cramer 公式, 存在 $r$ 个数 $f_{j_{1}}$ , $f_{j_{2}}$ , $\dots$ , $f_{j_{r}}$ , 使 $ℓ = 1 \sum r [A]_{p, j_{ℓ}} f_{j_{ℓ}} = [B]_{p, 1} - r < ℓ ⩽ n \sum [A]_{p, j_{ℓ}} f_{j_{ℓ}} .$ 从而 $ℓ = 1 \sum n [A]_{p, j_{ℓ}} f_{j_{ℓ}} = [B]_{p, 1} .$

设 $n$ 个数 $c_{1}$ , $c_{2}$ , $\dots$ , $c_{n}$ 适合 $[A]_{i_{1}, 1} c_{1} + [A]_{i_{1}, 2} c_{2} + \dots + [A]_{i_{1}, n} c_{n} = [B]_{i_{1}, 1}, [A]_{i_{2}, 1} c_{1} + [A]_{i_{2}, 2} c_{2} + \dots + [A]_{i_{2}, n} c_{n} = [B]_{i_{2}, 1}, \dots, [A]_{i_{r}, 1} c_{1} + [A]_{i_{r}, 2} c_{2} + \dots + [A]_{i_{r}, n} c_{n} = [B]_{i_{r}, 1} .$ 作 $n \times 1$ 阵 $C$ , 其中 $[C]_{i, 1} = c_{i}$ . 我们证明, $A C = B$ .

若

i

等于某

i_{s}

, 则

[A C]_{i, 1} = = = ℓ = 1 \sum n [A]_{i, ℓ} [C]_{ℓ, 1} ℓ = 1 \sum n [A]_{i, ℓ} c_{ℓ} [B]_{i, 1} .

若

i

不等于任何

i_{s}

, 则

[A C]_{i, 1} = = = = = = = = = = = = ℓ = 1 \sum n [A]_{i, ℓ} [C]_{ℓ, 1} ℓ = 1 \sum n [G]_{i, ℓ} [C]_{ℓ, 1} ℓ = 1 \sum n (s = 1 \sum r [G]_{i_{s}, ℓ} d_{i, s}) [C]_{ℓ, 1} ℓ = 1 \sum n s = 1 \sum r [G]_{i_{s}, ℓ} d_{i, s} [C]_{ℓ, 1} s = 1 \sum r ℓ = 1 \sum n [G]_{i_{s}, ℓ} d_{i, s} [C]_{ℓ, 1} s = 1 \sum r ℓ = 1 \sum n [A]_{i_{s}, ℓ} d_{i, s} c_{ℓ} s = 1 \sum r ℓ = 1 \sum n [A]_{i_{s}, ℓ} c_{ℓ} d_{i, s} s = 1 \sum r (ℓ = 1 \sum n [A]_{i_{s}, ℓ} c_{ℓ}) d_{i, s} s = 1 \sum r [B]_{i_{s}, 1} d_{i, s} s = 1 \sum r [G]_{i_{s}, n + 1} d_{i, s} [G]_{i, n + 1} [B]_{i, 1} .

证毕.

结合前几节的讨论, 我们可以得到判断 $A X = B$ 是否有解, 与有解时其解是否唯一的方法 (定性的理论):

定理 27.7. 设 $A$ 是 $m \times n$ 阵. 设 $B$ 是 $m \times 1$ 阵. 作一个 $m \times (n + 1)$ 阵 $G$ , 其中 $[G]_{i, j} = {[A]_{i, j}, [B]_{i, 1}, j ⩽ n; j = n + 1.$ (通俗地, 在 $A$ 的最后一列的右侧加入一列 $B$ , 得到尺寸较大的阵 $G$ .) 设 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但没有行列式非零的 $r + 1$ 级子阵.

(1) 若 $G$ 也没有行列式非零的 $r + 1$ 级子阵, 则 $A X = B$ 有解. 进一步地, 若 $r < n$ , 则 $A X = B$ 的解不唯一; 若 $r = n$ , 则 $A X = B$ 的解唯一.

(2) 若 $G$ 有一个行列式非零的 $r + 1$ 级子阵, 则 $A X = B$ 无解.

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