C.33. 阵的积、倍加、倍乘

回想, 倍加是加一个阵的一列 (或一行) 的倍于另一列 (或另一行). 本节, 我们进一步地讨论阵的积与倍加的关系. 并且, 我们会讨论新的行为, 倍乘.

回想, 我们有如下结论.

定理 C.33.1. 设 $A$ 是一个 $m\times n$ 阵. 利用若干次 (列的) 倍加, 我们可变 $A$ 为一个 $m\times n$ 阵 $B$, 使当 $i<j$ 时, $[B{]}_{i,j}=0$.

通俗地, 对 $m\times n$ 阵, 我们总可作列的倍加, 以变一些元为 $0$.

若我们既作列的倍加, 且也作行的倍加, 则我们有

定理 C.33.2. 设 $A$ 是一个 $m\times n$ 阵. 利用若干次列的倍加与行的倍加, 我们可变 $A$ 为一个 $m\times n$ 阵 $B$, 使当 $i\ne j$ 时, $[B{]}_{i,j}=0$.

证. 我们用数学归纳法证明此事. 具体地, 设 $P(n)$ 为命题

对任何正整数 $m$, 对任何 $m\times n$ 阵 $A$, 利用若干次列的倍加与行的倍加, 我们可变 $A$ 为一个 $m\times n$ 阵 $B$, 使当 $i\ne j$ 时, $[B{]}_{i,j}=0$.

则, 我们的目标是, 对任何正整数 $n$, $P(n)$ 是对的.

我们先说明, $P(1)$ 是对的. 设 $A$ 是 $m\times 1$ 阵.

若 $A=0$, 我们不变, 取 $B$ 为 $A$.

若 $[A{]}_{1,1}\ne 0$, 加行 $1$ 的 $-[A{]}_{i,1}/[A{]}_{1,1}$ 倍于行 $i$ ($i=2$, $3$, $\dots$, $m$), 得 $m\times 1$ 阵 $C$. 则 $i\ne 1$ 时, $[C{]}_{i,1}=[A{]}_{i,1}+(-[A{]}_{i,1}/[A{]}_{1,1})[A{]}_{1,1}=0$. 取 $B$ 为 $C$ 即可.

若 $[A{]}_{1,1}=0$, 但某 $[A{]}_{k,1}\ne 0$ ($k\ne 1$), 加行 $k$ (的 $1$ 倍) 于行 $1$, 得 $m\times 1$ 阵 $D$. 则 $[D{]}_{1,1}=[A{]}_{k,1}\ne 0$. 问题被变为前面讨论过的情形.

综上, $P(1)$ 是对的.

假定 $P(n-1)$ 是对的. 我们由此证 $P(n)$ 也是对的.

任取正整数 $m$. 任取一个 $m\times n$ 阵 $A$.

我们先说明, 利用若干次倍加, 我们可变 $A$ 为一个 $m\times n$ 阵 $C$, 使当 $i\ne 1$ 时, $[C{]}_{i,1}=0$, 且当 $j\ne 1$ 时, $[C{]}_{1,j}=0$.

若 $A$ 的行 $1$ 的与列 $1$ 的元全为 $0$, 我们不变, 取 $C$ 为 $A$.

若 $[A{]}_{1,1}\ne 0$, 对 $A$, 加列 $1$ 的 $-[A{]}_{1,j}/[A{]}_{1,1}$ 倍于列 $j$ ($j=2$, $3$, $\dots$, $n$), 得 $m\times n$ 阵 $A_1$. 则 $j\ne 1$ 时, $[A_1{]}_{1,j}=[A{]}_{1,j}+(-[A{]}_{1,j}/[A{]}_{1,1})[A{]}_{1,1}=0$. 注意, $[A_1{]}_{1,1}=[A{]}_{1,1}\ne 0$. 然后, 对 $A_1$, 加行 $1$ 的 $-[A_1{]}_{i,1}/[A_1{]}_{1,1}$ 倍于行 $i$ ($i=2$, $3$, $\dots$, $m$), 得 $m\times n$ 阵 $A_2$. 则 $i\ne 1$ 时, $[A_2{]}_{i,1}=[A_1{]}_{i,1}+(-[A_1{]}_{i,1}/[A_1{]}_{1,1})[A_1{]}_{1,1}=0$. 我们取 $C$ 为 $A_2$.

若 $[A{]}_{1,1}=0$, 但某 $[A{]}_{1,\ell }\ne 0$ ($\ell \ne 1$), 加列 $\ell$ (的 $1$ 倍) 于列 $1$, 得 $m\times n$ 阵 $D_1$. 则 $[D_1{]}_{1,1}=[A{]}_{1,\ell }\ne 0$. 问题被变为前面讨论过的情形.

若 $[A{]}_{1,1}=0$, 但某 $[A{]}_{k,1}\ne 0$ ($k\ne 1$), 加行 $k$ (的 $1$ 倍) 于行 $1$, 得 $m\times n$ 阵 $D_2$. 则 $[D_2{]}_{1,1}=[A{]}_{k,1}\ne 0$. 问题被变为前面讨论过的情形.

综上, 作若干次倍加, 我们可变 $A$ 为一个 $m\times n$ 阵 $C$, 使当 $i\ne 1$ 时, $[C{]}_{i,1}=0$, 且当 $j\ne 1$ 时, $[C{]}_{1,j}=0$.

考虑 $C$ 的右下角的 $(m-1)\times (n-1)$ 子阵 $C(1|1)$. 由假定, 作若干次倍加, 我们可变 $C(1|1)$ 为一个 $(m-1)\times (n-1)$ 阵 $G$, 使当 $i\ne j$ 时, $[G{]}_{i,j}=0$.

注意, 既然当 $i\ne 1$ 时, $[C{]}_{i,1}=0$, 且当 $j\ne 1$ 时, $[C{]}_{1,j}=0$, 那么, 无论如何对 $C$ 的不是列 $1$ 的列作倍加, 且无论如何对 $C$ 的不是行 $1$ 的行作倍加, 得到的阵的 $(i,1)$-元与 $(1,j)$-元都是 $0$ ($i$, $j\ne 1$). 那么, 作若干次倍加后, 我们可变 $C$ 为一个 $m\times n$ 阵 $B$, 使当 $i=1$ 或 $j=1$ 时, $[B{]}_{i,j}=[C{]}_{i,j}$, 且当 $i\ne 1$ 且 $j\ne 1$ 时, $[B{]}_{i,j}=[G{]}_{i-1,j-1}$. 所以, 当 $i\ne j$ 时, $[B{]}_{i,j}=0$.

所以, $P(n)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证完.

注意, 一次列的倍加可被认为是先作这个列的倍加, 再作一次 “什么也不作” 的行的倍加 (加一行的 $0$ 倍于另一行), 且一次行的倍加可被认为是先作一次 “什么也不作” 的列的倍加 (加一列的 $0$ 倍于另一列), 再作这个行的倍加. 若我们用阵的积写此事, 则它是明显的:$$\begin{array}{rl}AE(n;p_1,q_1;s_1)& =I_m(AE(n;p_1,q_1;s_1))=E(m;u,v;0)(AE(n;p_1,q_1;s_1)),\\ E(m;p_2,q_2;s_2)A& =E(m;p_2,q_2;s_2)(A{I}_n)=E(m;p_2,q_2;s_2)(AE(n;u,v;0)),\end{array}$$其中, $A$ 是 $m\times n$ 阵. 并且,$$\begin{array}{r}(E(m;p_4,q_4;s_4)A)E(n;p_3,q_3;s_3)=E(m;p_4,q_4;s_4)(AE(n;p_3,q_3;s_3)).\end{array}$$于是, 作倍加时, 我们可使列的倍加的次数与行的倍加的次数相等, 且我们可先列后行, 交替地作 (先作一次列的倍加, 且再作一次行的倍加; 然后, 又先作一次列的倍加, 且再作一次行的倍加, 若还有).

定理 C.33.3. 设 $A$ 是一个 $m\times n$ 阵. 则存在若干个形如 $E(n;p,q;s)$ ($s$ 是一个数, $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$) 的阵 $G_1$, $G_2$, $\dots$, $G_u$, 与若干个形如 $E(m;p^{\prime },q^{\prime };s^{\prime })$ ($s^{\prime }$ 是一个数, $p^{\prime }$, $q^{\prime }$ 是不超过 $m$ 的正整数, 且 $p^{\prime }\ne q^{\prime }$) 的阵 $H_1$, $H_2$, $\dots$, $H_u$, 使当 $i\ne j$ 时, $[(H_u\dots H_2{H}_1)A(G_1{G}_2\dots G_u){]}_{i,j}=0$.

证. 由上个定理, 存在若干个形如 $E(n;p,q;s)$ ($s$ 是一个数, $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$) 的阵 $G_1$, $G_2$, $\dots$, $G_u$, 与若干个形如 $E(m;p^{\prime },q^{\prime };s^{\prime })$ ($s^{\prime }$ 是一个数, $p^{\prime }$, $q^{\prime }$ 是不超过 $m$ 的正整数, 且 $p^{\prime }\ne q^{\prime }$) 的阵 $H_1$, $H_2$, $\dots$, $H_u$, 使$$\begin{array}{r}{H}_u(\dots (H_2(H_{1}A{G}_1)G_2)\dots )G_u\end{array}$$的 $(i,j)$-元为 $0$, 若 $i\ne j$. 由结合律, 上式相当于$$(H_u\dots H_2{H}_1)A(G_1{G}_2\dots G_u).$$证完.

定理 C.33.4. 设 $n$ 是正整数. 设 $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$. 设 $s$ 是数. 则$$\begin{array}{r}E(n;p,q;s)E(n;p,q;-s)=I_n=E(n;p,q;-s)E(n;p,q;s).\end{array}$$

证. 注意, $E(n;p,q;s)E(n;p,q;-s)$ 可被认为是由加 $E(n;p,q;s)$ 的列 $p$ 的 $-s$ 于列 $q$ 得到的 $n$ 级阵. 当 $j\ne q$ 时, $E(n;p,q;s)$ 的列 $j$ 是 $I_n$ 的列 $j$; 当 $j=q$ 时, $E(n;p,q;s)$ 的列 $j$ 是 $I_n$ 的列 $q$ 加 $I_n$ 的列 $p$ 的 $s$ 倍. 所以, 当 $j\ne q$ 时, $E(n;p,q;s)E(n;p,q;-s)$ 的列 $j$ 是 $E(n;p,q;s)$ 的列 $j$, 即 $I_n$ 的列 $j$; 当 $j=q$ 时, $E(n;p,q;s)E(n;p,q;-s)$ 的列 $j$ 是 $E(n;p,q;s)$ 的列 $q$ 加 $E(n;p,q;s)$ 的列 $p$ 的 $-s$ 倍, 即 $I_n$ 的列 $q$ 加 $I_n$ 的列 $p$ 的 $s$ 倍, 再加 $I_n$ 的列 $p$ 的 $-s$ 倍, 即 $I_n$ 的列 $q$. 则 $E(n;p,q;s)E(n;p,q;-s)=I_n$.

若我们代 $s$ 以 $-s$, 则 $-s$ 被代以 $-(-s)=s$. 则 $E(n;p,q;-s)E(n;p,q;s)=I_n$.

证完.

由此, 我们有

定理 C.33.5. 设 $A$ 是一个 $m\times n$ 阵. 则存在若干个形如 $E(n;p,q;s)$ ($s$ 是一个数, $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$) 的阵 $E_1$, $E_2$, $\dots$, $E_u$, 与若干个形如 $E(m;p^{\prime },q^{\prime };s^{\prime })$ ($s^{\prime }$ 是一个数, $p^{\prime }$, $q^{\prime }$ 是不超过 $m$ 的正整数, 且 $p^{\prime }\ne q^{\prime }$) 的阵 $F_1$, $F_2$, $\dots$, $F_u$, 与 $m\times n$ 阵 $D$, 使 $A=(F_1{F}_2\dots F_u)D(E_u\dots E_2{E}_1)$, 且当 $i\ne j$ 时, $[D{]}_{i,j}=0$.

证. 我们知道, 存在若干个形如 $E(n;p,q;s)$ ($s$ 是一个数, $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$) 的阵 $G_1$, $G_2$, $\dots$, $G_u$, 与若干个形如 $E(m;p^{\prime },q^{\prime };s^{\prime })$ ($s^{\prime }$ 是一个数, $p^{\prime }$, $q^{\prime }$ 是不超过 $m$ 的正整数, 且 $p^{\prime }\ne q^{\prime }$) 的阵 $H_1$, $H_2$, $\dots$, $H_u$, 使 $[D{]}_{i,j}=0$, 若 $i\ne j$, 其中, $D=(H_u\dots H_2{H}_1)A(G_1{G}_2\dots G_u)$.

我们知道, 存在形如 $E(n;p,q;s)$ 的阵 $E_k$, 使 $G_k{E}_k=I_n$, 且存在形如 $E(m;p^{\prime },q^{\prime };s^{\prime })$ 的阵 $F_k$, 使 $F_k{H}_k=I_m$ ($k=1$, $2$, $\dots$, $u$). 则$$\begin{array}{rl}(F_1{F}_2\dots F_u)(H_u\dots H_2{H}_1)=& F_1(F_2\dots (F_{u-1}(F_u{H}_u)H_{u-1})\dots H_2)H_1\\ =& F_1(F_2\dots (F_{u-1}{I}_m{H}_{u-1})\dots H_2)H_1\\ =& F_1(F_2\dots (F_{u-1}{H}_{u-1})\dots H_2)H_1\\ =& \dots \\ =& F_1{H}_1\\ =& I_m.\end{array}$$类似地, $(G_1{G}_2\dots G_u)(E_u\dots E_2{E}_1)=I_n$. 则$$\begin{array}{rl}A=& I_{m}A{I}_n\\ =& ((F_1{F}_2\dots F_u)(H_u\dots H_2{H}_1))A((G_1{G}_2\dots G_u)(E_u\dots E_2{E}_1))\\ =& (F_1{F}_2\dots F_u)((H_u\dots H_2{H}_1)A(G_1{G}_2\dots G_u))(E_u\dots E_2{E}_1)\\ =& (F_1{F}_2\dots F_u)D(E_u\dots E_2{E}_1).\end{array}$$

证完.

由此可见, 我们可写一个 $m\times n$ 阵为一些形如 $E(m;p^{\prime },q^{\prime };s^{\prime })$, 与 $m\times n$ 阵 $D$, 与一些形如 $E(n;p,q;s)$ 的阵的积, 其中, 当 $i\ne j$ 时, $[D{]}_{i,j}=0$. 我们知道, 若 $B$ 的列数为 $n$, 则 $BE(n;p,q;s)$ 是加 $B$ 的列 $p$ 的 $s$ 倍于列 $q$ 得到的阵. 那么, 若 $C$ 的列数为 $m$, 则 $CD$ 是什么?

定理 C.33.6. 设 $C$ 是 $t\times m$ 阵. 设 $D$ 是 $m\times n$ 阵, 且当 $i\ne j$ 时, $[D{]}_{i,j}=0$. 则 $CD$ 是这样的 $t\times n$ 阵: $CD$ 的列 $j$ 是 $C$ 的列 $j$ 的 $d_j$ 倍 ($j=1$, $2$, $\dots$, $n$), 其中, $$\begin{array}{r}{d}_j=\{\begin{array}{ll}[D{]}_{j,j},& \text{j⩽m, 且 j⩽n};\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$

证. 注意, $$\begin{array}{r}[CD{]}_{i,j}=\sum _{\ell =1}^m[C{]}_{i,\ell }[D{]}_{\ell ,j}.\end{array}$$

若 $j>m$, 则 $j>m⩾\ell$. 从而 $[D{]}_{\ell ,j}=0$. 另一方面, $d_j=0$. 则 $[CD{]}_{i,j}=0=[C{]}_{i,j}{d}_j$.

若 $j⩽m$, 且 $j⩽n$, $$\begin{array}{rl}[CD{]}_{i,j}=& \sum _{\ell =1}^m[C{]}_{i,\ell }[D{]}_{\ell ,j}\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽m\\ \ell =j\end{array}}[C{]}_{i,\ell }[D{]}_{\ell ,j}+\sum _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽m\\ \ell \ne j\end{array}}[C{]}_{i,\ell }[D{]}_{\ell ,j}\\ =& [C{]}_{i,j}[D{]}_{j,j}+\sum _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽m\\ \ell \ne j\end{array}}[C{]}_{i,\ell }0\\ =& [C{]}_{i,j}{d}_j.\end{array}$$

证完.

由此, 我们定义

定义 C.33.7. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $q$ 是不超过 $n$ 的正整数. 设 $s$ 是数. 作 $m\times n$ 阵 $B$, 其中, $$\begin{array}{r}[B{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& j\ne q;\\ s[A{]}_{i,q},& j=q.\end{array}\end{array}$$(通俗地, 以 $s$ 乘 $A$ 的列 $q$, 且不改变其他的列, 得阵 $B$.) 我们说, 变 $A$ 为 $B$ 的行为是一次倍乘.

由上个定理, 我们有

定理 C.33.8. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $q$ 是不超过 $n$ 的正整数. 设 $s$ 是数. 作 $n$ 级阵 $M(n;q;s)$, 其中, $$\begin{array}{r}[M(n;q;s){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[I_n{]}_{i,j},& j\ne q;\\ s[I_n{]}_{i,q},& j=q.\end{array}\end{array}$$(通俗地, 以 $s$ 乘 $I_n$ 的列 $q$, 且不改变其他的列, 得阵 $M(n;q;s)$.) 则$$\begin{array}{r}[AM(n;q;s){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& j\ne q;\\ s[A{]}_{i,q},& j=q.\end{array}\end{array}$$

证. 注意, 以 $1$ 乘一个数 (或一个阵) 不改变此数 (或此阵). 再注意, 当 $i\ne j$ 时, $[M(n;q;s){]}_{i,j}=0$. 取上个定理的 $C$, $D$ 为 $A$, $M(n;q;s)$ 即可.

证完.

由此, 我们有

定理 C.33.9. 设 $D$ 是 $n$ 级阵, 且当 $i\ne j$ 时, $[D{]}_{i,j}=0$. 则$$\begin{array}{r}D=M(n;1;[D{]}_{1,1})M(n;2;[D{]}_{2,2})\dots M(n;n;[D{]}_{n,n}).\end{array}$$

证. 注意, $D$ 可被认为是分别以 $[D{]}_{1,1}$, $[D{]}_{2,2}$, $\dots$, $[D{]}_{n,n}$ 乘 $I_n$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 得到的阵. 则$$\begin{array}{rl}D=& (((I_{n}M(n;1;[D{]}_{1,1}))M(n;2;[D{]}_{2,2}))\dots )M(n;n;[D{]}_{n,n})\\ =& I_n(M(n;1;[D{]}_{1,1})M(n;2;[D{]}_{2,2})\dots M(n;n;[D{]}_{n,n}))\\ =& M(n;1;[D{]}_{1,1})M(n;2;[D{]}_{2,2})\dots M(n;n;[D{]}_{n,n}).\end{array}$$

证完.

定理 C.33.10. 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵. 则存在若干个形如 $E(n;p,q;s)$ ($s$ 是一个数, $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$) 的阵 $E_1$, $F_1$, $E_2$, $F_2$, $\dots$, $E_u$, $F_u$, 与若干个形如 $M(n;q^{\prime };s^{\prime })$ 的阵 $M_1$, $M_2$, $\dots$, $M_n$, 使$$\begin{array}{r}A=F_1{F}_2\dots F_u{M}_1{M}_2\dots M_n{E}_u\dots E_2{E}_1.\end{array}$$

证. 我们知道, 对 $n$ 级阵 $A$, 存在若干个形如 $E(n;p,q;s)$ ($s$ 是一个数, $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$) 的阵 $E_1$, $E_2$, $\dots$, $E_u$, 与若干个形如 $E(n;p^{\prime },q^{\prime };s^{\prime })$ ($s^{\prime }$ 是一个数, $p^{\prime }$, $q^{\prime }$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p^{\prime }\ne q^{\prime }$) 的阵 $F_1$, $F_2$, $\dots$, $F_u$, 与 $n$ 级阵 $D$, 使 $A=(F_1{F}_2\dots F_u)D(E_u\dots E_2{E}_1)$, 且当 $i\ne j$ 时, $[D{]}_{i,j}=0$. 我们也知道, 对 $D$, 存在若干个形如 $M(n;q^{\prime \prime };s^{\prime \prime })$ 的阵 $M_1$, $M_2$, $\dots$, $M_n$, 使 $D=M_1{M}_2\dots M_n$. 则$$\begin{array}{rl}A=& (F_1{F}_2\dots F_u)D(E_u\dots E_2{E}_1)\\ =& (F_1{F}_2\dots F_u)(M_1{M}_2\dots M_n)(E_u\dots E_2{E}_1)\\ =& F_1{F}_2\dots F_u{M}_1{M}_2\dots M_n{E}_u\dots E_2{E}_1.\end{array}$$

证完.

我们以一个例结束本节.

例 C.33.11. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $p$, $q$ 是不超过 $n$, 且不等的正整数.

对 $A$, 加列 $q$ 到列 $p$, 得 $m\times n$ 阵 $A_1$. 则当 $j\ne p$ 且 $j\ne q$ 时, $A_1$ 的列 $j$ 是 $A$ 的列 $j$; 当 $j=p$ 时, $A_1$ 的列 $j$ 是 $A$ 的列 $p$ 加 $A$ 的列 $q$; 当 $j=q$ 时, $A_1$ 的列 $j$ 是 $A$ 的列 $q$.

对 $A_1$, 加列 $p$ 的 $-1$ 倍到列 $q$, 得 $m\times n$ 阵 $A_2$. 则当 $j\ne p$ 且 $j\ne q$ 时, $A_2$ 的列 $j$ 是 $A_1$ 的列 $j$, 即 $A$ 的列 $j$; 当 $j=p$ 时, $A_2$ 的列 $j$ 是 $A_1$ 的列 $p$, 即 $A$ 的列 $p$ 加 $A$ 的列 $q$; 当 $j=q$ 时, $A_2$ 的列 $j$ 是 $A_1$ 的列 $q$ 加 $A_1$ 的列 $p$ 的 $-1$ 倍, 即 $A$ 的列 $p$ 的 $-1$ 倍.

对 $A_2$, 加列 $q$ 到列 $p$, 得 $m\times n$ 阵 $A_3$. 则当 $j\ne p$ 且 $j\ne q$ 时, $A_3$ 的列 $j$ 是 $A_2$ 的列 $j$, 即 $A$ 的列 $j$; 当 $j=p$ 时, $A_3$ 的列 $j$ 是 $A_2$ 的列 $p$ 加 $A_2$ 的列 $q$, 即 $A$ 的列 $p$ 加 $A$ 的列 $q$, 再加 $A$ 的列 $p$ 的 $-1$ 倍, 即 $A$ 的列 $q$; 当 $j=q$ 时, $A_3$ 的列 $q$ 是 $A_2$ 的列 $q$, 即 $A$ 的列 $p$ 的 $-1$ 倍.

由此可见, 三次列的倍加 “几乎” 可交换阵的二列. 具体地, $$\begin{array}{r}[AE(n;q,p;1)E(n;p,q;-1)E(n;q,p;1){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,q},& \text{j=p};\\ -[A{]}_{i,p},& \text{j=q};\\ [A{]}_{i,j},& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$

进一步地, 对 $A_3$, 若我们以 $-1$ 乘列 $q$, 得 $m\times n$ 阵 $A_4$, 则当 $j\ne p$ 且 $j\ne q$ 时, $A_4$ 的列 $j$ 是 $A$ 的列 $j$; 当 $j=p$ 时, $A_4$ 的列 $j$ 是 $A$ 的列 $q$; 当 $j=q$ 时, $A_4$ 的列 $j$ 是 $A$ 的列 $p$.

由此可见, 三次列的倍加与一次列的倍乘可交换阵的二列. 具体地, $$\begin{array}{r}[AE(n;q,p;1)E(n;p,q;-1)E(n;q,p;1)M(n;q;-1){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,q},& \text{j=p};\\ [A{]}_{i,p},& \text{j=q};\\ [A{]}_{i,j},& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$