49. (关于列的) 交错性

本节, 我想证明 (关于列的) 交错性.

其实, 在第一章, 节 13, 我已用按一列展开行列式的公式证明了它. 不过, 我想, 知道别的证明是好的.

以下, 设 $P(n)$ 为命题

对每一个有相同的二列的 $n$ 级阵 $A$, 其行列式必为 $0$.

则, 我们的目标是: 对任何正整数 $n$, $P(n)$ 是对的.

证. (用按一列展开) 见第一章, 节 13.

证毕.

在介绍其他的证明前, 我要介绍二个有用的事实.

定理 49.1. 设命题 I: 若一个方阵有相邻的二列相同, 则其行列式为 $0$. 设命题 II: 若交换方阵 $A$ 的相邻的二列, 得方阵 $B$, 则 $\det (B)=-\det (A)$. 则, 用行列式的 (关于列的) 多线性, 我们可由 I 推出 II.

证. 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵 ($n⩾2$). 设 $A$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 为 $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$. 设 $1⩽j<n$. 交换 $A$ 的列 $j$, $j+1$, 得 $B$. 记$$\begin{array}{r}{f}_j(x,y)=\det [\dots ,a_{j-1},x,y,a_{j+2},\dots ].\end{array}$$那么, $f_j(a_j,a_{j+1})=\det (A)$, $f_j(a_{j+1},a_j)=\det (B)$. 则$$\begin{array}{rl}0=& f_j(a_j+a_{j+1},a_j+a_{j+1})\\ =& f_j(a_j,a_j+a_{j+1})+f_j(a_{j+1},a_j+a_{j+1})\\ =& (f_j(a_j,a_j)+f_j(a_j,a_{j+1}))+(f_j(a_{j+1},a_j)+f_j(a_{j+1},a_{j+1}))\\ =& f_j(a_j,a_{j+1})+f_j(a_{j+1},a_j)\\ =& \det (A)+\det (B).\end{array}$$

证毕.

定理 49.2. 设命题 II: 若交换方阵 $A$ 的相邻的二列, 得方阵 $B$, 则 $\det (B)=-\det (A)$. 设命题 III: 若交换方阵 $A$ 的二列, 得方阵 $B$, 则 $\det (B)=-\det (A)$. 则, 我们可由 II 推出 III.

证. 设 $A$ 是 $n$ 级阵. 设交换 $A$ 的列 $p$, $q$ 后得到的阵为 $B$ ($p<q$). 我们证明, $\det (B)=-\det (A)$.

交换 $A$ 的列 $p$, $p+1$, 得阵 $B_1$. 则 $\det (B_1)=-\det (A)=(-1{)}^1\det (A)$. 交换 $B_1$ 的列 $p+1$, $p+2$, 得阵 $B_2$. 则 $\det (B_2)=-\det (B_1)=(-1{)}^2\det (A)$. …… 交换 $B_{q-p-1}$ 的列 $q-1$, $q$, 得阵 $B_{q-p}$. 则 $\det (B_{q-p})=-\det (B_{q-p-1})=(-1{)}^{q-p}\det (A)$.

记 $C_0=B_{q-p}$. 则 $\det (C_0)=(-1{)}^{q-p}\det (A)$. 交换 $C_0$ 的列 $q-2$, $q-1$, 得阵 $C_1$. 则 $\det (C_1)=-\det (C_0)=(-1{)}^{q-p+1}\det (A)$. 交换 $C_1$ 的列 $q-3$, $q-2$, 得阵 $C_2$. 则 $\det (C_2)=-\det (C_1)=(-1{)}^{q-p+2}\det (A)$. …… 交换 $C_{q-p-2}$ 的列 $p$, $p+1$, 得阵 $C_{q-p-1}$. 则 $\det (C_{q-p-1})=-\det (C_{q-p-2})=(-1{)}^{q-p+(q-p-1)}\det (A)$. 不难看出, $B=C_{q-p-1}$. 所以, $\det (B)=(-1{)}^{2(q-p)-1}\det (A)=-\det (A)$.

证毕.

好的. 现在, 我介绍交错性的其他的证明.

证. (同时用按列 $1$ 展开与按前二列展开) $P(1)$ 不证自明.

不难验证 $P(2)$ 是对的.

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是对的 ($m⩾3$). 我们要证 $P(m)$ 也是对的.

任取一个 $m$ 级阵 $A$.

设 $A$ 的列 $1$, $2$ 相同. 则$$\begin{array}{rl}\det (A)=& \sum _{1⩽i<k⩽m}\det \left[\begin{array}{cc}[A{]}_{i,1}& [A{]}_{i,2}\\ [A{]}_{k,1}& [A{]}_{k,2}\end{array}\right](-1{)}^{i+k+1+2}\det (A(i,k|1,2))\\ =& \sum _{1⩽i<k⩽m}\det \left[\begin{array}{cc}[A{]}_{i,1}& [A{]}_{i,1}\\ [A{]}_{k,1}& [A{]}_{k,1}\end{array}\right](-1{)}^{i+k+1+2}\det (A(i,k|1,2))\\ =& \sum _{1⩽i<k⩽m}0(-1{)}^{i+k+1+2}\det (A(i,k|1,2))\\ =& 0.\end{array}$$

设 $A$ 的列 $j$, $j+1$ 相同 ($1<j<m$). 则$$\begin{array}{r}\det (A)=\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|1)).\end{array}$$注意, $A(i|1)$ 的列 $j-1$, $j$ 相同. 由假定, $\det (A(i|1))=0$. 故 $\det (A)=0$.

综上, 若 $A$ 的相邻的二列相同, 则其行列式为 $0$.

现假定 $A$ 的列 $p$, $q$ 相同 ($1⩽p<q⩽m$). 若 $q-p=1$, 则这是相邻的二列, 故 $\det (A)=0$. 若 $q-p>1$, 则交换列 $p$, $q-1$, 得阵 $B$. $B$ 有相邻的二列相同, 故 $\det (B)=0$. 从而, 由有用的事实, $\det (A)=-\det (B)=0$.

所以, $P(m)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.

注意, 因为在按列 $1$ 展开行列式的公式里, 列 $1$ 与其他的列的地位不一样, 用它证明一个关于二列的性质对列 $1$ 与其他的列成立是难的. 不过, 若我们用按行 $1$ 展开行列式的公式, 则这是简单的.

证. (用按行 $1$ 展开) $P(1)$ 不证自明.

不难验证 $P(2)$ 是对的.

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是对的 ($m⩾3$). 我们要证 $P(m)$ 也是对的.

设 $A$ 的列 $j$, $j+1$ 相同 ($1⩽j<m$).

注意, $[A{]}_{1,j}=[A{]}_{1,j+1}$, 且 $A(1|j)=A(1|j+1)$. 再注意, 若 $k\ne j$, $j+1$, 则 $A(1|k)$ 有 (相邻的) 二列相同. 由假定, $\det (A(1|k))=0$. 从而$$\begin{array}{rl}& \det (A)\\ =& \sum _{k=1}^m(-1{)}^{1+k}[A{]}_{1,k}\det (A(1|k))\\ =& (-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j))+(-1{)}^{1+j+1}[A{]}_{1,j+1}\det (A(1|j+1))\\ & +\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne j,j+1\end{array}}(-1{)}^{1+k}[A{]}_{1,k}\det (A(1|k))\\ =& (-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j))+(-1{)}^{1+j+1}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j))\\ & +\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne j,j+1\end{array}}(-1{)}^{1+k}[A{]}_{1,k}0\\ =& (-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j))-(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j))\\ =& 0.\end{array}$$

综上, 若 $A$ 的相邻的二列相同, 则其行列式为 $0$.

现假定 $A$ 的列 $p$, $q$ 相同 ($1⩽p<q⩽m$). 若 $q-p=1$, 则这是相邻的二列, 故 $\det (A)=0$. 若 $q-p>1$, 则交换列 $p$, $q-1$, 得阵 $B$. $B$ 有相邻的二列相同, 故 $\det (B)=0$. 从而, 由有用的事实, $\det (A)=-\det (B)=0$.

所以, $P(m)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.