4.2. 拓扑空间的常见性质

本节用以介绍拓扑空间们可能具有的性质.

定义 4.2.0.1 (分离公理). 以下这些空间 $X$ 的性质有时又被称作拓扑空间满足的分离公理或分离性质. 我们默认出现的 $U$ 和 $V$ 都是开集, $C$ 和 $D$ 都是闭集, $f:X\to [0,1]$ 是连续函数.

$(T_1,Frechet)\forall x\in X\forall y\in X(x\ne y\to \exists U\ni x(y\notin U))$

$(T_2,Hausdorff)\forall x\in X\forall y\in X(x\ne y\to \exists U\ni x\exists V\ni y(U\cap V=\varnothing ))$

$(T_{2.5},Urysohn)\forall x\in X\forall y\in X(x\ne y\to \exists C\ni x\exists D\ni y(C\cap D=\varnothing ))$

$(R,Regular)\forall x\in X\forall C\subseteq X(x\notin C\to \exists U\in x\exists V\supseteq C(U\cap V=\varnothing ))$

$(CR,CompletelyRegular)\forall x\in X\forall C\subseteq X(x\notin C\to \exists f(f(x)=0\wedge f(C)=\{1\}))$

$(N,Normal)\forall C\subseteq X\forall D\subseteq X(C\cap D=\varnothing \to \exists U\supseteq C\exists V\supseteq D(U\cap V=\varnothing ))$

$(CN,CompletelyNormal)\forall A\subseteq X\forall B\subseteq X(A\cap \mathrm{Cl}(B)=\mathrm{Cl}(A)\cap B=\varnothing \to \exists U\supseteq A\exists V\supseteq B(U\cap V=\varnothing ))$

$(PN,PerfectlyNormal)\forall C\subseteq X\forall D\subseteq X(C\cap D=\varnothing \to \exists f(C=f^{-1}(\{0\})\wedge D=f^{-1}(\{1\})))$

$(T_3,RegularHausdorff)R+T_1$

$(T_{3.5},CompletelyRegularHausdorff,Tychonoff)CR+T_1$

$(T_4,NormalHausdorff)N+T_1$

$(T_5,CompletelyNormalHausdorff)CN+T_1$

$(T_6,PerfectlyNormalHausdorff)PN+T_1$

然后是可数性.

定义 4.2.0.2 (可数公理). 以下这些性质有时又被称作拓扑空间满足的可数公理或可数性质.

$(C_1)$: 空间的每个点都有可数的邻域基.

$(C_2)$: 空间有一个可数基.

$(S,Seperable)$: 空间有一个可数稠密子集.

$Lindelof$: 每个开覆盖都有可数子覆盖.

评注. 虽然 Lindelof 长得非常像紧致性, 但是可数紧致性另有其人.

最后是连通性和紧致性.

定义 4.2.0.3 (连通性). 以下这些性质是各种不同强弱和方向的拓扑空间连通性的描述.

连通 (connected): 不存在开集 $U,V$ 使得 $X=U\cup V$ 且 $\varnothing =U\cap V$.

不连通 (disconnected): 存在开集 $U,V$ 使得 $X=U\cup V$ 且 $\varnothing =U\cap V$.

道路连通 (path connected): 对任何 $x,y\in X$ 都有一条道路, 即连续函数 $f:[0,1]\to X$ 使得 $f(0)=x\wedge f(1)=y$.

完全不连通 (totally disconnected): 对任何 $x,y\in X$ 都有两个开集 $U\ni x,V\ni y$ 使得 $X=U\cup V$ 且 $\varnothing =U\cap V$.

零维 (zero dimentional): 存在一组开闭基.

局部连通 (locally connected): 在每点的每个邻域之内都存在此点的连通邻域.

局部道路连通 (locally path connected): 在每点的每个邻域之内都存在此点的道路连通邻域.

定义 4.2.0.4 (紧致性). 以下这些性质是各种不同表述下的拓扑空间紧致性.

紧致 (compactess): 每个开覆盖都有有限的子覆盖.

列紧致/预紧致 (sequential compactness/precompactness): 每个点列都有收敛的子列.

滤子紧致: 每个滤子所有元素的闭包之交非空.

极限点紧致 (limit point compactness,Frechet’s compactness,Bolzano-Weierstrass property): 每个无穷子集都有极限点.

仿紧致 (paracompactness): 每个开覆盖都有局部有限的开加细.

局部紧致 (local compactess): 每个点处都有紧致的子空间.

可数紧致/${\aleph }_0$-紧致: 每个可数开覆盖都有有限的子覆盖.

评注. 集合 $X$ 的滤子 $\mathcal{B}$ 指的是一个幂集 $\wp (X)$ 的真子集, 且 $X$ 的  包含 $\mathcal{B}$ 中任意有限个元素的交  的子集均亦在 $\mathcal{B}$ 中.

滤子紧致的名字是作者自己起的名字, 事实上它在任何时候都和紧致等价. 不难意识到, 滤子紧致就是闭区间套的广义形式.

定理 4.2.0.5. 任何空间紧致当且仅当滤子紧致.

证明. 紧致推滤子紧致: 对滤子 $\mathcal{B}$, 考察 $\mathcal{C}=\{X\backslash \mathrm{Cl}(B)|B\in \mathcal{B}\}$, 它是 $X$ 的开覆盖, 于是有有限子覆盖, 不妨设 $X\backslash \mathrm{Cl}(B_i)$ 们构成一个有限子覆盖, 则 ${\bigcap }_i\mathrm{Cl}(B_i)$ 就是 ${\bigcap }_{B\in \mathcal{B}}\mathrm{Cl}(B)$, 而滤子显然有有限交性质, 从而这东西不空.

滤子紧致推紧致: 对开覆盖 $\mathcal{C}$, 如果它不存在有限子覆盖, 考察这开覆盖的全体元素的补集构成的集合, 在这集合中通过加入全体 $X$ 中包含其中任意元素的子集使之成为一滤子, 这滤子的全体元素闭包的交不空, 然而它应当包含于全体开覆盖元素补集之交, 后者是个空集, 矛盾.

$\square$