4.1. 拓扑空间的构造

本节谈论最基础的拓扑空间的概念.

定义 4.1.0.1 (拓扑空间). 一个拓扑空间是一个集合 $X$ 与 $℘ X$ 的一个子集 $T$ 组成的有序对 $(X, T)$ , 其中 $T$ 中的元素称作开集, 满足以下开集公理:

1.	${\emptyset, X} \subseteq T$
2.	$U \in τ \land V \in T \to (U \cap V) \in T$
3.	${U_{i} ∣ i \in I} \subseteq T \to ⋃_{i \in I} U_{i} \in T$

在不引发歧义的时候, 我们总是称 $X$ 是一个拓扑空间, 避而不谈其上的结构, 而是通过声称 $X$ 的某某子集是开集来间接指定这个结构.

如果 $U$ 是开集, 则称 $X - U$ 是一个闭集. 同样的, 我们也可以说拓扑空间是 $(X, C)$ , 其中 $C$ 中的元素称为闭集, 满足以下闭集公理:

1.	${\emptyset, X} \subseteq C$
2.	$U \in T \land V \in C \to (U \cup V) \in C$
3.	${U_{i} ∣ i \in I} \subseteq C \to \cap_{i \in I} U_{i} \in C$

首先我们来考虑能不能给出一部分的开集, 让别的开集能据此生成出来.

定义 4.1.0.2 (基与子基). $℘ X$ 的子集 $B$ 将称为拓扑空间 $(X, T)$ 的一组基, 若

$\forall U \in T \exists {B_{i} ∣ i \in I} \subseteq B (U = ⋃_{i \in I} B_{i})$

$℘ X$ 的子集 $S$ 将称为拓扑空间 $(X, T)$ 的一组子基, 若

$B = {\cap_{i = 1}^{n} S_{i} ∣ S_{i} \in S, n \in N}$ 是这拓扑空间的一组基.

换言之, 我们把开集公理减弱两次, 第一次减弱取消掉并而用并来产生, 产生基的概念; 第二次减弱取消有限交而用有限交来产生, 产生子基的概念.

我们有一些很重要的对基和子基的描述.

命题 4.1.0.3. 以下对基的描述等价.

1.	$B$ 是某个 $(X, T)$ 的基.
2.	$\forall x \in X \exists B \in B (x \in B)$ 且 $\forall x \in X \forall B_{1}, B_{2} \in B (x \in B_{1} \cap B_{2} \to \exists B_{3} \in B (x \in B_{3} \subseteq B_{1} \cap B_{2}))$

证明. (1)->(2): (i) 由于 $X \in T$ , 我们一定有一组 ${B_{i} ∣ i \in I} \subseteq B$ 使得 $⋃_{i \in I} B_{i} = X$ . 于是 $x \in X \to \exists i \in I (x \in B_{i})$ . (ii) 显见 $B \subseteq T$ , 故 $B_{1} \cap B_{2}$ 是个开集, 于是又有 ${B_{i} ∣ i \in I} \subseteq B$ 使得 $B_{1} \cap B_{2} = ⋃_{i \in I} B_{i}$ , 而 $x \in B_{1} \cap B_{2} \to \exists i \in I (x \in B_{i})$ , 取所要的 $B_{3}$ 为这个 $B_{i}$ 即可.

(2)->(1): 我们肯定令

T = {⋃_{i \in I} B_{i} ∣ B_{i} \in B}

, 然后验证它们满足开集公理. (i) 取

I = \emptyset

得到

\emptyset \in T

; 取

I = X

, 每个

B_{x}

都是第一个性质保证的那个

B_{x} ∋ x

, 就得到

X \in T

. (ii) 注意证明

X \in T

的技巧同样可以证明

B_{1} \cap B_{2} \in T

, 于是只要注意

(⋃_{i \in I} B_{i}) \cap (⋃_{j \in J} B_{j}) = ⋃_{i \in I, j \in J} (B_{i} \cap B_{j})

即可. (iii) 由定义显然.

$□$

我们也因此会说上面的 $(X, T)$ 是由 $B$ 生成的拓扑.

命题 4.1.0.4. 以下对基的描述等价.

1.	$B$ 是 $(X, T)$ 的基.
2.	$\forall U \in T \forall x \in U \exists B \in B (x \in B \subseteq U)$

证明. (1)->(2): 由基的定义显然.

(2)->(1): 同样的技巧,

U = ⋃_{x \in U} B_{x}

.

$□$

命题 4.1.0.5. 以下对子基的描述等价.

1.	$S$ 是某个 $(X, T)$ 的子基.
2.	$⋃_{S \in S} S = X$

证明. (1)->(2): 反证. 如果 $\exists x \in X - ⋃_{S \in S} S$ , 则由基的性质有一个基里的开集包含 $x$ , 再由定义有有限个 $S_{i} \in S$ 它们交起来是这个基里的开集, 从而包含这个开集, 从而有 $x$ 为元素, 立即矛盾.

(2)->(1): 显然只要验证

B = {\cap_{i = 1}^{n} S_{i} ∣ S_{i} \in S, n \in N}

真的是一组基, 方法是引用基的性质 1.

$□$

接下来, 我们要考虑具有不同拓扑结构的同一个 $X$ 上各个拓扑之间的比较.

定义 4.1.0.6 (拓扑的粗细). 对两个拓扑空间 $(X, T_{1})$ 与 $(X, T_{2})$ , 我们通常称作 $X$ 上的两种拓扑, 定义 $T_{1}$ 细于 $T_{2}$ , 又称 $T_{2}$ 粗于 $T_{1}$ , 若 $T_{2} \subseteq T_{1}$ .

我们会发现, 基的粗细可以决定拓扑的粗细.

命题 4.1.0.7 (基的粗细). 设 $B_{1}$ 是 $T_{1}$ 的基, $B_{2}$ 是 $T_{2}$ 的基, 以下阐述等价:

1.	$T_{1}$ 细于 $T_{2}$
2.	$\forall x \in X \forall B_{2} \in B_{2} (x \in B_{2} \to \exists B_{1} \in B_{1} (x \in B_{1} \subseteq B_{2}))$

证明. (1)->(2): 此时 $B_{2}$ 是 $T_{1}$ 里的开集, 由基的性质 2 显然.

(2)->(1): 只要证明

T_{2}

里每一个元素都是

T_{1}

里一些元素的并. 这由 (2) 加上熟知的在每个

x \in B_{2}

上取

B_{1_{x}}

的技巧还是显然的.

$□$

接下来, 我们介绍最简单四种拓扑空间的构造.

定义 4.1.0.8 (子空间拓扑). 定义拓扑空间 $(X, T_{X})$ 在其任意子集 $Y \subseteq X$ 上的子空间拓扑为 $(Y, T_{Y})$ 为:

$T_{Y} = {Y \cap U ∣ U \in T_{X}}$

良定性是显然的. 此外, 基可以继承下来.

命题 4.1.0.9 (子空间基). 若 $B_{X}$ 是 $T_{X}$ 的基, 则 $B_{Y} = {Y \cap B ∣ B \in T_{X}}$ 是 $T_{Y}$ 的基.

证明. 运用基的性质 2 显然.

$□$

定义 4.1.0.10 (箱拓扑). 我们用一群拓扑空间 ${(X_{i}, T_{i}) ∣ i \in I}$ 构造一个拓扑空间 $(\prod_{i \in I} X_{i}, T_{b o x})$ 为基 ${\prod_{i \in I} U_{i} ∣ U_{i} \in T_{i}}$ 生成的拓扑.

定义 4.1.0.11 (积拓扑). 我们用一群拓扑空间 ${(X_{i}, T_{i}) ∣ i \in I}$ 构造一个拓扑空间 $(\prod_{i \in I} X_{i}, T_{p ro d})$ 为子基 ${\prod_{i \in I} U_{i} ∣\exists j \in I \forall i \in I ((i \neq = j \to U_{i} = x_{i}) \land (U_{j} \in T_{j}))}$ 生成的拓扑.

命题 4.1.0.12 (积拓扑与箱拓扑的比较). 一般情况下, 箱拓扑比积拓扑细.

如果 $I$ 是有限集, 则 ${(X_{i}, T_{i}) ∣ i \in I}$ 生成的 $T_{b o x}$ 与 $T_{p ro d}$ 是同一个拓扑.

证明. 只需要注意积拓扑的基是除了有限个

j

之外的

U_{i}

都等于

X_{i}

的那些积集, 由基的粗细显.

$□$

我们在不加特殊限制时, 总是默认赋积拓扑而非箱拓扑.

定义 4.1.0.13 (商拓扑). 在拓扑空间 $X$ 上若有等价关系 $\sim$ , 则可在商集 $X / \sim$ 上定义拓扑, $U \subseteq X / \sim$ 是开集当且仅当 ${x \in X ∣ [x]_{\sim} \in U}$ 是 $X$ 上的开集.

定义 4.1.0.14 (序拓扑). 我们现在随便考虑一个全序集 $(X, <)$ . 我们将在上面建立一个由序关系决定的拓扑.

首先我们定义这些 $X$ 的子集, 它们统一称作区间:

1.	$(a, b) = {x ∣ a < x < b}$ 称为开区间.
2.	$[a, b] = {x ∣ a \leq x \leq b}$ 称为闭区间.
3.	$[a, b) = {x ∣ a \leq x < b}$ 称为左闭右开区间.
4.	$(a, b] = {x ∣ a < x \leq b}$ 称为左开右闭区间.

注意这和有序对的记号是重复的, 读者应当联系上下文确定我们在谈论的究竟是哪一种对象.

我们做 $B$ 为以下三类区间形成的基:

1.	$(a, b)$ , 其中 $a, b$ 是随便两个元素.
2.	$[a_{0}, b)$ , 其中 $a_{0}$ 是最小元, 如果存在.
3.	$(a, b_{0}]$ , 其中 $B_{0}$ 是最大元, 如果存在.

验证这是基请读者自证. 我们称这个基生成的拓扑为 $X$ 上的序拓扑.

定义 4.1.0.15 (度量拓扑). 集合 $X$ 上, 满足如下要求的函数 $d : X \times X \to R^{+}$ 称为度量:

1.	$\forall x, y \in X (d (x, y) = 0 \leftrightarrow x = y)$
2.	$\forall x, y \in X (d (x, y) = d (y, x))$
3.	$\forall x, y, z \in X (d (x, y) + d (y, z) \geq d (x, z))$

此度量将在 $X$ 上以全体 $B_{r} (x) = {y \in X ∣ d (x, y) < r}$ 为基生成一个拓扑, 称为 $(X, d)$ 的度量拓扑.

评注. 这将是我们要将来讨论的主要拓扑.

现在, 我们来考虑拓扑空间之间的映射.

定义 4.1.0.16 (连续函数). 称函数 $f : X \to Y$ 是连续函数, 若对每个开集 $O \subseteq Y$ 其原像 $f^{- 1} (O) = {x \in X ∣ f (x) \in O}$ 也是 $X$ 的开集.

若 $f : X \to Y$ 是双射, 且它与它的逆都是连续函数, 则称 $f$ 是一个同胚. 若它是单射且在 $f (X)$ 上为同胚, 则称 $f$ 是一个嵌入.

最后, 我们来定义一些常见的缩写.

定义 4.1.0.17. 拓扑空间是几何空间的抽象化表述, 所以 $X$ 中的元素将被称为点.

在拓扑空间 $X$ 中, 包含一个点 $x$ 的开集 $U$ 又称为这个点的邻域.

在这拓扑的一组基中, 包含这个点的全部开集, 形成这个点的邻域基.

如果一些开集的并包含这空间的某个子集, 就称这些开集形成这个子集的一个开覆盖.

开覆盖作为集族, 其子集自然称作子开覆盖.

如果一个开覆盖里只有有限个开集, 就称之为有限开覆盖. 同样的, 有可数子覆盖的定义.

$Cl (A)$ 指的是包含 $A$ 的全体闭集的交, 它是包含 $A$ 的最小闭集, 称作 $A$ 的闭包.

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