6.5. 测度空间

测度与几何上直观的大小, 例如长度、面积、体积等有关. 它是可测空间结构的自然延伸.

定义 6.5.0.1 (测度空间). 给定可测空间 $(X,\mathcal{S})$, 我们定义其上的测度为 $\mu :\mathcal{S}\to \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$, 满足:

1.	$\forall S\in \mathcal{S}(\mu (S)\le 0\vee \mu (S)=+\infty )$
2.	$\mu (\varnothing )=0$
3.	$\forall \{S_n|n\in \omega \}\subseteq \mathcal{S}((i\ne j\to S_i\cap S_j=\varnothing )\to \mu ({\bigcup }_{n\in \omega }{S}_n)={\sum }_{n\in \omega }\mu (S_n))$

可测空间连同其上的一个测度构成一个测度空间.

测度的构造

我们先来看一般测度的结构与构造.

定义 6.5.0.2 (完备化). 对测度空间 $(X,\mathcal{S},\mu )$, 我们定义 $\sigma$ 理想 ${\mathrm{NULL}}_{\mu }=\{N\subseteq X|\exists S\supseteq N(S\in \mathcal{S}\wedge \mu (S)=0)\}$, 再定义 $\sigma$ 代数 ${\mathrm{MEAS}}_{\mu }=\{S\cup N|S\in \mathcal{S},N\in {\mathrm{NULL}}_{\mu }\}$. 我们有 ${\mathrm{MEAS}}_{\mu }$ 上的测度 $\bar{\mu }$, 满足 $\bar{\mu }(S\cup N)=\mu (S)$, 这个测度称作 $\mu$ 的完备化.

这个名字自然意味着以下定理.

定理 6.5.0.3. 完备化等于其自身的测度称作完备测度. 完备化后的测度均为完备测度.

证明. 随便验证一下.

$\square$

我们有另一个手段给出完备化, 这需要定义所谓的外测度.

定义 6.5.0.4 (外测度). 一个 ${\mu }^{\ast }:\wp \to \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$ 称作外测度, 若满足以下条件:

1.	${\mu }^{\ast }(\varnothing )=0$
2.	$A\subseteq B\to {\mu }^{\ast }(A)\le {\mu }^{\ast }(B)$
3.	$\{A_n|n\in \omega \}\subseteq \wp (X)\to {\mu }^{\ast }({\bigcup }_n{A}_n)\le {\sum }_n{\mu }^{\ast }(A_n)$

定理 6.5.0.5. 测度空间 $(X,\mathcal{S},\mu )$ 恰给出一个外测度 ${\mu }^{\ast }$, 其定义为 ${\mu }^{\ast }(A)={\sup }_{S\in \mathcal{S},A\subseteq S}\mu (S)$.

给定外测度 ${\mu }^{\ast }$, 它给出一个 $\sigma$ 理想 ${\mathrm{NULL}}_{{\mu }^{\ast }}=\{N\subseteq X|{\mu }^{\ast }(N)=0\}$ 和一个 $\sigma$ 代数 ${\mathrm{MEAS}}_{{\mu }^{\ast }}=\{M\subseteq X|\forall E\subseteq X({\mu }^{\ast }(E)={\mu }^{\ast }(E\cap M)+{\mu }^{\ast }(E\backslash M))\}$, ${\mu }^{\ast }$ 限制到 ${\mathrm{MEAS}}_{{\mu }^{\ast }}$ 上形成一个完备测度空间.

特别的, 测度 $\mu$ 得到的外测度 ${\mu }^{\ast }$ 生成的测度恰好是其完备化 $\bar{\mu }$.

证明. 随便验证一下.

$\square$

测度可以通过可测函数自然地在可测空间之间转移.

定义 6.5.0.6. 给定测度空间 $(X,\mathcal{S},\nu )$ 到可测空间 $(Y,\mathcal{A})$ 的可测函数 $f:X\to Y$, 则 $(Y,\mathcal{A},f\mu )$ 亦为测度空间, 这里 $f\mu (B)=\mu (f^{-1}(B))$. 这整个空间称作像测度空间.

一般的测度不能乱乘, 因为很容易把所有集的测度都乘成无穷. 我们得先限制一下空间的测度.

定义 6.5.0.7. 给定测度空间 $(X,\mathcal{S},\mu )$.

1.	若存在一列 $S_n\in \mathcal{S}$, 满足 $\forall n(\mu (S_n)<+\infty )$ 且 $X={\bigcup }_n{S}_n$, 则称这测度空间是 $\sigma$ 有限的.
2.	若 $\mu (X)<+\infty$, 则称这测度空间是有限的.
3.	若 $\mu (X)=1$, 则称这测度空间是概率测度空间.

显然, 有限测度空间和概率测度空间只差着一个常数. 我们现在来做测度空间的乘法.

定义 6.5.0.8. 若有有限个 $\sigma$ 有限测度空间 $(X_i,{\mathcal{S}}_i,{\mu }_i)$, 则可在积可测空间 $(X,\mathcal{S})=({\prod }_i{X}_i,{\prod }_i{\mathcal{S}}_i)$ 上定义唯一一个测度 $\mu ={\prod }_i{\mu }_i$, 满足任意指定一组 $A_i\in {\mathcal{S}}_i$ 均有 $\mu ({\prod }_i{A}_i)={\prod }_i{\mu }_i(A_i)$. 此时, 这个积测度空间恰好也是 $\sigma$ 有限的.

定义 6.5.0.9. 若有可列个概率测度空间 $(X_i,{\mathcal{S}}_i,{\mu }_i)$, 指标 $i\in \omega$, 则可在积可测空间 $(X,\mathcal{S})$ 上定义唯一一个测度 $\mu$, 仍然满足对有限集 $I\subseteq \omega$ 有 $\mu ({\prod }_{i\in I}{A}_i)={\prod }_{i\in I}{\mu }_i(A_i)$, 这里这些 $A_i$ 均是 ${\mathcal{S}}_i$ 中的集, 这个有限积就是将略去的无穷个分量均默认为 $X_j$ 或 ${\mu }_j(X_j)=1$.

接下来我们类比纲代数, 介绍一个测度空间结构给出的 $\sigma$ 布尔代数.

定义 6.5.0.10. 给定 $\mu$, 我们记 ${\mathrm{MALG}}_{\mu }={\mathrm{MEAS}}_{\mu }/{\mathrm{NULL}}_{\mu }$ 为测度代数.

定理 6.5.0.11. 测度代数是完备布尔代数.

证明.

$\square$

测度代数自然给出一种测度等价的定义.

定理 6.5.0.12. 给定可测空间 $(X,\mathcal{S})$ 上的两个测度 $\mu ,\nu$, 以下条件等价:

1.	${\mathrm{NULL}}_{\mu }={\mathrm{NULL}}_{\nu }$
2.	${\mathrm{MEAS}}_{\mu }={\mathrm{MEAS}}_{\nu }$
3.	${\mathrm{MALG}}_{\mu }={\mathrm{MALG}}_{\nu }$

此时, 我们称这两个测度等价, 记为 $\mu \sim \nu$.

证明.

$\square$

评注. 一般我们把 ${\mathrm{NULL}}_{\mu }\subseteq {\mathrm{NULL}}_{\nu }$ 记为 $\nu \ll \mu$, 读作 $\nu$ 相对于 $\mu$ 绝对连续.

定理 6.5.0.13. $\sigma$ 有限测度等价于一个概率测度.

证明.

$\square$

评注. 因此, 三种有限性之间都是等价的.

同时, 测度也可以做分解, 变成连续部分与离散部分.

定义 6.5.0.14. 如果 $\forall x\in X(\mu (\{x\})=0)$, 则称 $\mu$ 是连续测度; 如果 $\exists A\subseteq X(|A|={\aleph }_0\wedge \mu (X\backslash A)=0)$, 则称 $\mu$ 是离散测度.

我们来考察比较简单的离散测度的结构.

定义 6.5.0.15. 对可测空间 $(X,\mathcal{S})$ 中的一个点 $x\in X$, 它给出一个测度 ${\delta }_x$, 称作在此点处的 Dirac 测度. 定义为 ${\delta }_x(S)={\chi }_S(x)$.

定理 6.5.0.16. 离散测度 $\mu$ 若有可列集 $A=\{a_n|n\in \omega \}$ 满足所述条件, 则 $\mu ={\sum }_{n\in \omega }\mu (\{a_n\}){\delta }_{a_n}$.

证明.

$\square$

定理 6.5.0.17. 如果 $\mu$ 是 $\sigma$ 有限测度, 则存在连续测度 ${\mu }_c$ 和离散测度 ${\mu }_d$, 满足 $\mu ={\mu }_c+{\mu }_d$.

证明.

$\square$

我们现在在 $\mathbb{R}$ 上面造出一个 $\sigma$ 有限测度, 它被称作 Lebesgue 测度.

定义 6.5.0.18 (Lebesgue 测度). 我们定义 $\mathbb{R}$ 上的 Lebesgue 外测度为 ${\mathrm{m}}^{\ast }(A)=\inf {\sum }_{n\in \omega }(b_n-a_n)$, 这里 ${\bigcup }_n(a_n,b_n)\supseteq A$ 取遍 $A$ 的可列开区间构成的开覆盖.

这个外测度形成的完备测度称作 $\mathbb{R}$ 上的 Lebesgue 测度, 记作 $\mathrm{m}$. 乘积空间 ${\mathbb{R}}^n$ 上的对应积测度也一并称作 Lebesgue 测度.

我们来证明它的两个重要性质.

定义 6.5.0.19 (Borel 测度). 称测度 $\mu$ 是一个 Borel 测度, 若它定义在一个标准 Borel 空间上, 且让每个开集 (从而每个 Borel 集) 都可测.

称 Borel 测度 $\mu$ 是正则的, 若 $A\in {\mathrm{MEAS}}_{\mu }\to \mu (A)={\sup }_{F\subseteq A}\mu (F)={\inf }_{U\supseteq A}\mu (U)$, 这里 $F$ 是闭集, $U$ 是开集.

称 Borel 测度 $\mu$ 是紧绷的, 若 $A\in {\mathrm{MEAS}}_{\mu }\to \mu (A)={\sup }_{K\subseteq A}\mu (K)$, 这里 $K$ 是紧集.

定理 6.5.0.20. Lebesgue 测度是正则且紧绷的.

证明.

$\square$

它还有一些特别的性质.

定理 6.5.0.21. 固定 $\mathbb{R}$ 上的 Lebesgue 可测集 $X$, 则:

1.	$\forall a,b\in \mathbb{R}(\mathrm{m}(aX+b)=|a|\mathrm{m}(X))$
2.	$\{x\in \mathbb{R}|{\lim }_{x\in (a,b),b-a\to 0}\frac{\mathrm{m}(A\cap (a,b))}{b-a}=1\}$ 与 $A$ 相差一个零测集.

测度同构定理

我们现在对连续的 Borel 测度证明一个神奇的定理, 它指出这基本就是 Lebesgue 测度.