5.2. 度量空间

首先, 我们回顾一下度量拓扑的定义.

定义 5.2.0.1 (度量拓扑). 集合 $X$ 上, 满足如下要求的函数 $d : X \times X \to R^{+}$ 称为度量:

1.	$\forall x, y \in X (d (x, y) = 0 \leftrightarrow x = y)$
2.	$\forall x, y \in X (d (x, y) = d (y, x))$
3.	$\forall x, y, z \in X (d (x, y) + d (y, z) \geq d (x, z))$

此度量将在 $X$ 上以全体 $B_{r} (x) = {y \in X ∣ d (x, y) < r}$ 为基生成一个拓扑, 称为 $(X, d)$ 的度量拓扑.

度量空间是抽象出一般拓扑空间之前人们对于空间的直观. 它的各种性质都相对良好. 按照数学分析中常见的方式, 我们叙述以下显而易见的命题.

定理 5.2.0.2. 若有度量空间之间的函数 $f : X \to Y$ , 则 $f$ 在点 $x_{0} \in X$ 处连续当且仅当 $\forall ϵ > 0\exists δ > 0\forall x \in X (d (x, x_{0}) < δ \to d (f (x), f (x_{0})) < ϵ)$

评注. 这是度量空间中连续函数一开始为人所知时的定义.

度量空间之间的连续映射并不能保持度量, 我们可以定义更强的映射要求.

定义 5.2.0.3 (等距嵌入). 若度量函数之间的连续函数 $f : X \to Y$ 满足 $\forall x, y \in X (d_{X} (x, y) = d_{Y} (f (x), f (y)))$ , 则称 $f$ 是一个等距嵌入.

在度量空间中, 我们有完备性的概念可以讨论.

定义 5.2.0.4 (Cauchy 列与完备性). 度量空间 $X$ 上的一个点列 $x_{n}$ 称作 Cauchy 列, 若 $\forall ϵ > 0\exists N \forall n, m > N (d (x_{m}, x_{n}) < ϵ)$ .

如果 $X$ 上的每个 Cauchy 列都收敛到某个点, 则称这空间是完备的.

更一般的, 若拓扑空间 $X$ 上存在完备的度量化, 则称 $X$ 拓扑完备.

我们可以像讨论域的代数闭包一样, 讨论度量空间的完备化.

定义 5.2.0.5 (完备化). 如果度量空间 $X$ 有一个到完备度量空间 $Y$ 的等距嵌入 $f$ , 则称像空间 $f (X)$ 的闭包 $Cl_{Y} (f (X))$ 装备 $Y$ 的子空间拓扑形成的完备度量空间为 $X$ 的一个完备化.

定理 5.2.0.6 (完备化的存在唯一性). 任给度量空间 $X$ , 均存在其完备化. 同时, 若给定两个均给出完备化的等距嵌入 $h_{1} : X \to Y_{1}$ 和 $h_{2} : X \to Y_{2}$ , 则必存在完备化之间的等距同构 $h : Cl_{Y_{1}} (h_{1} (X)) \to Cl_{Y_{2}} (h_{2} (X))$ , 它限制在 $h_{1} (X)$ 上恰好是 $h_{2} \circ h_{1}^{- 1}$ .

证明. 首先, 我们用 Cauchy 列来造一个 $X$ 的完备化. 记全体 Cauchy 列构成的集合为 $\tilde{X}$ , 我们考虑其上的等价关系 $x \sim y \leftrightarrow lim_{n \to + \infty} d (x_{n}, y_{n}) = 0$ 给出的商集 $Y = \tilde{X} / \sim$ , 我们定义其上的度量 $D ([x], [y]) = lim_{n \to + \infty} d (x_{n}, y_{n})$ .

我们有显然的等距嵌入 $f : x \mapsto [x, x, x, \dots]$ , 且像集 $h (X)$ 由 $lim_{n \to + \infty} h (x_{n}) = [x_{n}]$ 显然稠密, 我们只需证明 $Y$ 是完备度量空间即可.

最后, 完备化的等价性可以通过对任意完备化

Cl_{Z} g (X)

在

Z

中作同上的构造, 不难得知这个

Z

里的完备化必然和上面构造的完备化等距同构.

$□$

评注. 值得注意的是, 度量空间与可度量化的拓扑空间有区别, 完备性是度量的性质, 却不是拓扑空间的性质.

接下来, 我们关心紧致性在度量空间中的等价表述.

定理 5.2.0.7. 度量空间紧致当且仅当完备且完全有界.

证明. 紧致则完全有界是显然的, 注意度量空间紧致则列紧, 进而 Cauchy 列必有收敛子列, 进而 Cauchy 列必收敛, 因此紧致也推出完备.

反过来, 我们也来证明完备与完全有界推出列紧. 考虑一个任意的点列 $x_{n}$ , 我们来选取它的一个 Cauchy 子列.

在第 $n$ 步, 我们用有限个半径 $\frac{1}{n}$ 的开球覆盖整个 $X$ , 然后设 $B_{n}$ 是其中一个包含了无穷多个 $x_{n}$ 的开球, 我们把全体 $x_{k} \in B_{n}$ 的下标 $k$ 收集起来得到集合 $K_{n} \subseteq N$ .

现在, 由于每个

K_{n}

都是无穷集, 我们任取

n_{1} \in K_{1}

, 然后依次取

n_{k + 1} \in K_{k}

使得

n_{k + 1} > n_{k}

. 这样,

x_{n_{k}}

就是一个 Cauchy 列, 从而必须收敛.

$□$

对于普通的连续函数, 我们有更强的一致连续性的要求.

定义 5.2.0.8 (一致连续). 称度量空间之间的连续函数 $f : X \to Y$ 一致连续, 若 $\forall ϵ \exists δ \forall x, y \in X (d_{X} (x, y) < δ \to d_{Y} (f (x), f (y)) < ϵ)$ .

紧致度量空间中, 一致连续性自动成立.

定理 5.2.0.9. 若 $X$ 是紧致度量空间, 则一切从 $X$ 出发到度量空间 $Y$ 的连续函数 $f$ 都是一致连续的.

证明. 这是完全有界性的显然推论.

$□$

接下来我们将要关心的是度量空间做成的积空间, 以及更特殊的映到度量空间的各种函数构成的空间.

定义 5.2.0.10 (连续函数空间与有界函数空间). 给定拓扑空间 $X$ 与度量空间 $Y$ , 全体连续函数构成的集合记为连续函数空间 $C (X, Y)$ , 全体有界函数 (像集被一个开球覆盖住的函数) 构成的集合记为有界函数空间 $B (X, Y)$ .

定义 5.2.0.11 (一致拓扑). 给定度量空间 $X$ 与一个指标集 $J$ , 在 $X^{J}$ 上由一致度量 $ρ (x, y) = sup_{j \in J} {\frac{d ( x ( j ) , y ( j ))}{1 + d ( x ( j ) , y ( j ))}}$ 给出的拓扑称为一致拓扑.

定理 5.2.0.12. 如果 $X$ 对于 $d$ 完备, 则 $X^{J}$ 对于 $ρ$ 完备.

证明. 显然, 若 $X$ 对于 $d$ 完备, 则 $X$ 对于 $\frac{d}{1 + d}$ 也是完备的. 我们假定有 $X^{J}$ 中的一个 Cauchy 列 $f_{n}$ , 则 $\forall j \in J \forall m, n (\frac{d _{j}}{1 + d _{j}} (f_{n} (j), f_{m} (j)) \leq ρ (f_{n}, f_{m}))$ , 这指出 $f_{n} (j)$ 一定是 $X$ 中的 Cauchy 列, 不妨设它收敛于 $x_{j}$ . 我们断言 $f_{n}$ 收敛于 $f : j \mapsto x_{j}$ .

任给

ϵ > 0

, 根据 Cauchy 列的定义存在

N

使得

\forall n, m > N (ρ (f_{n}, f_{m}) < \frac{1}{2} ϵ)

, 自然继续有

\forall j \in J (\frac{d _{j}}{1 + d _{j}} (f_{n} (j), f_{m} (j)) < \frac{1}{2} ϵ)

. 令

m \to + \infty

, 这指出

\forall n > N \forall j \in J (\frac{d _{j}}{1 + d _{j}} (f_{n} (j), x_{j}) \leq \frac{1}{2} ϵ)

, 于是

n > N

时

ρ (f_{n}, f) \leq \frac{1}{2} ϵ < ϵ

.

$□$

定理 5.2.0.13 (函数空间的一致拓扑). $C (X, Y)$ 与 $B (X, Y)$ 是 $Y^{X}$ 在一致拓扑下的闭子空间.

证明. 连续函数空间的这个断言通常又称为一致极限定理.

引理 5.2.0.14 (一致极限定理). 一列一致收敛的连续函数收敛到一个连续函数. 注意, 不难验证通常定义的一致收敛恰好就是一致度量下的收敛.

证明. 假定 $f_{n} \to f : X \to Y$ 一致地收敛, 任给 $Y$ 中开集 $V$ 与 $X$ 中点 $x_{0} \in f^{- 1} (V)$ , 我们来找一个 $x_{0}$ 的邻域 $U$ 使得 $f (U) \subseteq V$ .

记 $y_{0} = f (x_{0})$ , 然后取一个开球 $B_{ϵ} (y_{0}) \subseteq V$ . 由一致收敛性, 存在 $N$ 使得 $\forall n \geq N \forall x \in X (d (f_{n} (x), f (x)) < \frac{1}{3} ϵ)$ ; 由 $f_{N}$ 的连续性, 存在 $x_{0}$ 的邻域 $U$ 使得 $f_{N} (U) \subseteq B_{\frac{1}{3}} (f_{N} (x_{0}))$ .

现在, 任给

x \in U

, 总有

d (f (x), y_{0}) \leq d (f (x), f_{N} (x)) + d (f_{N} (x), f_{N} (x_{0})) + d (f_{N} (x_{0}), y_{0}) < \frac{1}{3} ϵ + \frac{1}{3} ϵ + \frac{1}{3} ϵ = ϵ

, 证毕.

$□$

有界函数空间的这个断言则更简单, 只要选一个离

f

距离不超过

\frac{1}{2}

的

f_{N}

即可保证

f

像集的直径不超过

f_{N}

像集的直径加一.

$□$

推论 5.2.0.15. 若 $Y$ 完备, $C (X, Y)$ 与 $B (X, Y)$ 在一致度量下也一样完备.

证明. 闭包就是原集并上导集, 因此闭子空间保持继承的度量的完备性.

$□$

评注. 在有界函数空间上定义 $s u p (f, g) = sup_{x \in X} {d (f (x), g (x))}$ 为上确界度量, 它恰好和一致度量生成同一个拓扑.

除了一致度量拓扑之外, 也有别的拓扑结构, 正如除了函数列除了一致收敛之外, 也有别的收敛方式.

定义 5.2.0.16 (点开拓扑). 给定 $j \in J$ 与开集 $U \subseteq X$ , 定义全体 $S (j, U) = {f \in X^{J} ∣ f (j) \in U}$ 构成的子基生成的 $X^{J}$ 上的拓扑称作点开拓扑, 又称点态收敛拓扑.

定理 5.2.0.17. 一列函数 ${f_{n} \in X^{J} ∣ n \in ω}$ 在点开拓扑下收敛到 $f \in X^{J}$ , 当且仅当 $\forall j \in J (lim_{n \to + \infty} f_{n} (j) = f (j))$ .

证明. 这太显然啦, 因为我们有以下洞察.

$□$

定理 5.2.0.18. 点开拓扑就是积拓扑.

证明. 查验一下子基之间的包含关系.

$□$

点态收敛不保证连续函数, 因此这时 $C (X, Y)$ 并不是 $Y^{X}$ 的闭子集; 积拓扑不一定可度量化, 所以点开拓扑也没啥好性质. 我们另外找一个比它好点的拓扑吧.

定义 5.2.0.19 (紧收敛拓扑). 给定拓扑空间 $X$ 与度量空间 $Y$ , 我们对每个 $f \in Y^{X}$ 、正实数 $ϵ > 0$ 与 $X$ 的紧致子空间 $C$ 定义 $B_{C} (f, ϵ) = {g \in Y^{X} ∣ sup_{x \in C} d (f (x), g (x)) < ϵ}$ . 全体这些集为基给出的 $Y^{X}$ 上的拓扑称作紧收敛拓扑.

定理 5.2.0.20. 一列函数 ${f_{n} \in Y^{X} ∣ n \in ω}$ 在紧收敛拓扑下收敛到 $f \in Y^{X}$ , 当且仅当对每个 $X$ 的紧空间 $C$ , 这列函数在 $C$ 上一致收敛于 $f$ .

证明. 查一下定义.

$□$

这个拓扑的名字来自于这个定理. 有时, 它也被叫做紧集上的一致收敛拓扑; 在数学分析考虑

R^{R}

时, 这个紧致收敛又被称作内闭一致收敛.

如果想要 $C (X, Y)$ 在紧收敛拓扑下是闭集, 我们需要一点点额外条件.

定义 5.2.0.21 (紧致生成空间). 称空间 $X$ 是紧致生成空间, 如果其中的任何集 $A$ 是开集当且仅当对每个紧集 $C \subseteq X$ 都有 $A \cap C$ 是 $C$ 中的开集.

这是个很弱的条件.

定理 5.2.0.22. 局部紧致空间和第一可数空间均为紧致生成空间.

证明. 局部紧致可以给每个

x \in A

取紧致邻域, 第一可数则证明取补后闭集对应的命题, 即

B = X \ A

满足

B = Cl (B)

, 因为第一可数指出

x \in Cl (B) \to \exists {x_{n}} \subseteq B (x_{n} \to x)

, 而

{x} \cup {x_{n}}

显然是个紧集.

$□$

现在来看结论.

定理 5.2.0.23. 若 $X$ 紧生成, 则 $C (X, Y)$ 在紧收敛拓扑下是 $Y^{X}$ 的闭集.

证明. 事实上只需证明: 一个紧生成空间

X

出发的函数

f

连续, 当且仅当它在每个紧集

C \subseteq X

上的限制连续.

$□$

紧收敛拓扑有一个不依托

Y

上度量的等价物, 虽然只在一部分比较重要的对象上等价.

定义 5.2.0.24 (紧开拓扑). 给定拓扑空间 $X$ 与 $Y$ , 对每个 $X$ 的紧致子空间 $C$ 和 $Y$ 的开集 $U$ 定义 $S (C, U) = {f \in C (X, Y) ∣ f (C) \subseteq U}$ , 它们作为子基在 $C (X, Y)$ 上生成的拓扑称作紧开拓扑.

评注. 回去再看看点开拓扑的定义.

定理 5.2.0.25. 若 $Y$ 是度量空间, 则 $C (X, Y)$ 上的紧收敛拓扑与紧开拓扑一致.

证明. 我们证明它们相互更细, 从而一致.

首先引入一个记号. 设 $Y$ 有子集 $A$ , 我们令 $U (A, ϵ) = ⋃_{x \in A} B_{ϵ} (x)$ 为 $A$ 的 $ϵ$ 邻域. 显然, 若 $A \subseteq B$ , $A$ 紧致而 $B$ 开, 则存在 $ϵ$ 使得 $U (A, ϵ) \subseteq B$ , 因为我们可以任取全体半径 $δ_{i}$ 的开球构成的覆盖与 $B$ 交出的子覆盖, 然后取其有限子覆盖后取得最小半径 $δ_{i + 1}$ , 这样得到的递降正数列不能收敛到 $0$ .

一方面, 来证紧收敛比紧开细. 设有紧开拓扑的子基 $S (C, U)$ , 我们来找一个紧收敛拓扑的子基 $B_{C} (f, ϵ)$ 使得 $B_{C} (f, ϵ) \subseteq S (C, U)$ . 事实上, 任取 $f \in S (C, U)$ , 它的连续性与 $C$ 的紧致性指出 $f (C)$ 的紧致性, 进而 $f (C) \subseteq U$ 给出一个 $ϵ$ 使得 $B_{C} (f, ϵ) \subseteq S (C, U)$ .

另一方面, 来证紧开比紧收敛细. 设有紧收敛拓扑的子集

B_{C} (f, ϵ)

, 我们来找一个紧开拓扑的基包含于其中. 显然,

X

的每个点

x

处均有一个邻域

V_{x}

, 满足

f (Cl (V_{x}))

包含在

Y

的一个直径小于

ϵ

的开集

U_{x}

之中. 我们取

C

在这个覆盖下的有限子覆盖

V_{x_{k}}

, 则令

C_{x_{k}} = Cl (V_{x_{k}}) \cap C

, 我们有

⋂_{k} S (C_{x_{k}}, U_{x_{k}}) \subseteq B_{C} (f, ϵ)

.

$□$

关于紧收敛拓扑有一个非常重要的定理. 我们首先介绍一种一致连续性与一致收敛性结合出的新概念.

定义 5.2.0.26 (等度连续). 考虑一族拓扑空间 $X$ 到度量空间 $Y$ 的一族连续函数 $F$ . 如果 $\forall ϵ > 0\exists U ∋ x_{0} \forall x \in U \forall f \in F (d (f (x), f (x_{0})) < ϵ)$ 成立, 我们就称 $F$ 在点 $x_{0} \in X$ 处等度连续.

定理 5.2.0.27 (Arzela-Ascoli). 考虑 $C (X, Y)$ 上的紧收敛拓扑. 并设有一个子集 $F \subseteq C (X, Y)$ .

若 $F$ 是等度连续的, 且每个 $a \in X$ 都有 $F_{a} = {f (a) ∣ f \in F}$ 都有紧致闭包, 则 $F$ 包含在一个 $C (X, Y)$ 的紧致子空间中.

若 $X$ 是局部紧致 $T_{2}$ 空间 (LCH,LocallyCompactHausdorff), 则上面的逆命题也成立.

在数学分析中, 它长成一个和善的形式.

定理 5.2.0.28 (Arzela-Ascoli, 基础情况). 闭区间上的一族连续实函数, 每个序列都有一致收敛的子列当且仅当等度连续且一致有界.

现在我们来看一般情况下的定理证明, 而这个基础情况仿此亦不困难.

证明. 我们先证明前面的命题. 这要分四步进行. 我们预先赋 $Y^{X}$ 以积拓扑, 则它显然是 $T_{2}$ 的; 默认赋 $C (X, Y)$ 以紧收敛拓扑. 我们来考察 $F$ 在 $Y^{X}$ 中的闭包 $G$ .

Step 1: 我们证明 $G$ 是 $Y^{X}$ 的紧致子空间.

对每个 $a \in X$ , 我们考虑 $F_{a}$ 在 $Y$ 中的闭包 $C_{a}$ . 条件指出 $C_{a}$ 都是紧的, 因此 $C = \prod_{a \in X} C_{a}$ 也是紧的. 由于 $T_{2}$ 空间的紧子空间是闭的, $C \supseteq G$ 也就是闭的, 而 $G$ 自己是闭的, 所以它也是紧的.

Step 2: 我们证明作为集合 $G \subseteq C (X, Y)$ , 且 $G$ 也是等度连续的.

任给 $x_{0} \in X$ 和 $ϵ > 0$ , 我们当然可以选取 $U ∋ x$ 使得 $\forall f \in F \forall x \in U (d (f (x), f (x_{0})) < \frac{ϵ}{3})$ . 我们现在证明 $\forall g \in G \forall x \in U (d (g (x), g (x_{0})) < ϵ)$ , 从而 $g$ 是连续函数, 且 $G$ 等度连续.

我们考虑 $V_{x} = {h \in Y^{X} ∣ d (h (x), g (x)) < \frac{ϵ}{3} \land d (h (x_{0}), g (x_{0})) < \frac{ϵ}{3}}$ , 对每个 $x \in X$ 它都是 $g$ 的邻域. 由于 $g \in Cl (F)$ , 而这又是 $T_{2}$ 空间, 因此 $V_{x}$ 必须包含一个 $f \in F$ , 而三角不等式给出我们所需的不等式.

Step 3: 我们证明 $G$ 从 $Y^{X}$ 上继承的拓扑与从 $G$ 上继承的拓扑一致.

由于紧收敛一定比点开细, 我们只要证明反过来也细. 对 $g \in G$ 与 $B_{C} (g, ϵ)$ , 我们需要一个点开拓扑的基 $B ∋ g$ 使得 $B \cap G \subseteq B_{C} (g, ϵ) \cap G$ .

运用 $G$ 的等度连续性与 $C$ 的紧致性, 我们取 $X$ 中 $C$ 的有限开覆盖 $U_{i}$ , 这里每个 $U_{i}$ 都包括一个点 $x_{i}$ , 且满足 $\forall x \in U_{i} \forall g \in G (d (g (x), g (x_{i})) < \frac{ϵ}{3})$ .

现在, 我们定义 $B = {h \in Y^{X} ∣\forall i (d (h (x_{i}), g (x_{i})) < \frac{ϵ}{3})}$ , 则三角不等式给出 $h \in B \cap G \to \forall x \in C (d (h (x), g (x)) < ϵ) \to h \in B_{C} (g, ϵ)$ .

Step 4: 因此, $F$ 包含于 $C (X, Y)$ 的紧致子空间 $G$ 中. 前面的命题证毕.

现在, 我们再来考虑这个命题的逆命题. 如果 $F$ 包含于 $C (X, Y)$ 的紧致子空间 $H$ 中, 我们来证明 $H$ 自己也是等度连续的, 而且 $H_{a}$ 都是紧致的.

紧致性是这样的: 我们对每个 $a$ 都考虑 $a : C (X, Y) \to X \times C (X, Y), f \mapsto (a, f)$ 和 $e v : X \times C (X, Y) \to Y, (a, f) \mapsto f (a)$ . 复合映射 $e v \cdot a : H \to H_{a}$ 满, 因此 $H$ 紧致推出 $H_{a}$ 紧致.

引理 5.2.0.29. 若 $X$ 是 LCH 空间, 则 $C (X, Y)$ 考虑紧开拓扑时 $e v$ 是连续函数.

证明. 对每个

V ∋ f (x)

, 我们来找一个

(x, f)

的邻域, 它被

e v

映入

V

中. 事实上, LCH 保证我们可以取

x

的邻域

U

, 其闭包紧致且被

f

映入

V

中; 现在

U \times S (Cl (U), V)

就是我们所要的

(x, f)

的开邻域.

$□$

等度连续性是这样的: 我们设 $X$ 的紧致子空间 $A$ 包含 $a$ 的一个邻域, 只需要证明 $R = {f ∣_{A} ∣ f \in H} \subseteq C (A, Y)$ 在 $a$ 处等度连续即可.

我们也赋 $C (A, Y)$ 以紧收敛拓扑. 显然限制 $∣_{A} : C (X, Y) \to C (A, Y)$ 是连续的, 因此 $H$ 的紧致性这时也给出 $R$ 的紧致性. 它是 $C (A, Y)$ 的紧致子空间, 而 $A$ 紧致说 $C (A, Y)$ 上紧收敛拓扑与一致收敛拓扑是一致的, 一致收敛拓扑有一致度量, 所以 $R$ 有一致度量而且紧致, 所以它对一致度量完全有界.

现在任给 $x_{0} \in A$ 和 $ϵ < 1$ , 我们证明存在 $x_{0}$ 的邻域 $U \subseteq A$ 使得 $\forall f \in R \forall x \in U (d (f (x), f (x_{0})) < ϵ)$ . 记 $δ = \frac{ϵ}{3}$ .

紧致性允许我们用有限个

B_{δ} (f_{i})

覆盖

R

, 对每个

f_{i}

我们都选

U_{i} ∋ x_{0}

使得

\forall x \in U_{i} (d (f_{i} (x), f_{i} (x_{0})) < δ)

, 这样

U = ⋂_{i} U_{i} ∋ x_{0}

就满足

\forall x \in U \forall i (d (f_{i} (x), f_{i} (x_{0})) < δ)

. 现在, 对每个

f \in R

, 总有某个

f_{i}

能让

ρ (f, f_{i}) < δ

, 这样

\frac{d}{1 + d} (f (x), f_{i} (x)) < δ < 1

也指出

d (f (x), f_{i} (x)) < δ

, 特别的有

d (f (x_{0}), f_{i} (x_{0})) < δ

, 再结合

d (f_{i} (x), f_{i} (x_{0})) < δ

由三角不等式即得

d (f (x), f (x_{0})) < ϵ

.

$□$

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