5.3. 线性拓扑空间

定义 5.3.0.1 (线性拓扑空间).

对 $\mathbb{R}$ 上的线性空间 $V$ 而言, 考虑 $V$ 上具有以下性质的拓扑 $\tau$:

1.	$+:V\times V\to V$ 作为积拓扑空间到原空间的函数是连续的;
2.	$\cdot :\mathbb{R}\times V\to V$ 作为积拓扑空间到原空间的函数是连续的.

此时称 $V$ 是线性拓扑空间. 为了区分原点与零, 记 $V$ 的加法单位元为 $\Theta$.

评注. 对一般域 $F$, 如果能预先指定其上的拓扑, 也可以同理定义线性拓扑空间. 方便起见, 我们只讨论将要遇到的 $\mathbb{R}$ 的线性空间.

由于线性代数的结论很美观, 这里也随之产生了相应的美丽结果. 首先, 最基本的代数操作也都是拓扑性质良好的.

性质 5.3.0.2. 平移 $T_{x_0}:V\to V,x\mapsto x+x_0$ 与数乘 $D_{\lambda }:V\to V,x\mapsto \lambda \cdot x$ 都是连续函数, 从而除了 $D_0$ 外都是自同胚.

证明. 真的很显然.

$\square$

平移是连续函数, 而任意 $x\in V$ 都是 $T_x(\Theta )$, 于是 $\Theta$ 处的邻域基可以直接给出整个空间的基. 换言之, 这个空间任意一个局部的结构都可以给出整体的结构.

性质 5.3.0.3. 线性拓扑空间必在 $\Theta$ 处有一个对称基 ${\mathcal{B}}_{\Theta }$, 即由 $\forall x\in V(x\in B\leftrightarrow -x\in B)$ 这样的对称集构成的邻域基.

证明. 由于数乘是连续函数, 特别的 $D_{-1}$ 也是连续函数. 我们对每个 $\Theta$ 的邻域 $U$ 考虑 $U\cap D_{-1}U$, 全体这样的东西显然构成对称基.

$\square$

性质 5.3.0.4. 任给 $\Theta$ 的开邻域 $U$, 必有 $V={\bigcup }_{\lambda \in \mathbb{R}}\lambda U$, 这里 ${\lambda }_U$ 是 $D_{\lambda }(U)$ 的缩写.

证明. 对任何 $x\in V$, 由于 $D_0$ 当然连续, $0\cdot x=\Theta$ 指出存在 $\delta \in \mathbb{R}$ 使得 $x\in {\delta }^{-1}U$. (开球构成基的推论)

$\square$

性质 5.3.0.5. $V$ 是 $T_2$ 空间, 当且仅当每个单点集都是闭集, 当且仅当 $\Theta$ 处全体对称邻域的交是 $\{\Theta \}$.

证明. 显然 $T_2$ 推出单点集是闭集.

如果单点集都是闭集, 则任给 $x\ne \Theta \in V$, $\{v\in V|v\ne x\}$ 是 $\Theta$ 的开邻域, 作对称化后不包含 $x$, 因此 $\Theta$ 处全体对称邻域的交只能是 $\{\Theta \}$.

如果 $V$ 不是 $T_2$ 空间, 则存在两点 $x_1$ 与 $x_2$, 包含 $x_1$ 的开集与包含 $x_2$ 的开集必有交, 平移后得到存在 $x$, 包含 $\Theta$ 的开集与包含 $x$ 的开集必有交. 如果有一个 $\Theta$ 处的对称邻域不包括 $x$, 将它平移到 $x$ 处得到的开集与它自己必须有交, 而这个交集必是 $\Theta$ 处的另一个对称邻域平移到 $\frac{1}{2}x$ 处的开集. 将它平移到 $\Theta$ 与 $x$ 处将得到分离这两点的两个开集, 矛盾.

$\square$

性质 5.3.0.6. 任何 $f:V_1\to V_2$ 连续当且仅当在它 $V_1$ 的任意一点处连续.

证明. 平移可知一点连续则处处连续.

$\square$

对于比较好的有限维线性拓扑空间, 我们仍然可以断言它在各种意义上都和 ${\mathbb{R}}^n$ 看不出区别.

定理 5.3.0.7. $n$ 维 $T_2$ 线性拓扑空间必同胚于装配欧式拓扑的 ${\mathbb{R}}^n$.

证明. 对 $n$ 归纳, 随便选取一个基, 容易证明用这基从 ${\mathbb{R}}^n$ 表示出 $V$ 的函数恰好是同胚.

$\square$

当然, $T_2$ 也可以换成别的一些条件, 这里举一个简单的例子.

定理 5.3.0.8. 若 $V$ 是 LCH 的, 则 $V$ 是有限维的, 进而同胚于对应的 ${\mathbb{R}}^n$.

证明. 假定 $\Theta$ 处有邻域 $O$, 其闭包为紧集. 不妨假定 $O$ 对称, 且 $\forall \lambda \in [-1,1](\lambda O\subseteq O)$. 紧致性告诉我们存在某个 $n$ 个 $x_i$ 使得 $\mathrm{Cl}(O)\subseteq {\bigcup }_i(x_i+\frac{1}{2}O)$, 于是我们来考察子空间 $Y=\mathrm{span}\{x_i\}$.

显然此时 $\frac{1}{2}O\subseteq Y+\frac{1}{4}O$, 于是 $O\subseteq Y+\frac{1}{2}O\subseteq 2Y+\frac{1}{4}O=Y=\frac{1}{4}O$, 进而 $O\subseteq {\bigcap }_n(Y+\frac{1}{2^n}O)=\mathrm{Cl}(Y)=Y$, 于是 $X={\bigcup }_{\lambda \in \mathbb{R}}\lambda O\subseteq Y\subseteq X$, 这指出 $X$ 就是这个有限维空间 $Y$.

$\square$

对于任意线性拓扑空间的研究通常归于泛函分析, 不过我们也可以对其连续函数的性质稍作讨论. 值得注意的是, 无穷维空间的许多性质与有限维大不相同. 以下出现的空间皆默认是线性拓扑空间.

定义 5.3.0.9 (有界性). 称一个 $E\subseteq V$ 是有界的, 若对每个 $\Theta$ 的开邻域 $U$ 都存在 $\mu >0$ 使得 $\forall \lambda >\mu (E\subseteq \lambda U)$.

称函数 $T:X\to Y$ 是有界的, 若它将 $X$ 的有界子集映为 $Y$ 的有界子集.

有界性几乎是线性连续函数的本质特征. 然而, 在这里并不是.

定理 5.3.0.10. 连续线性函数 $T:X\to Y$ 必然有界. 然而, 逆命题不成立.

证明. 记 $X$ 的原点为 $\Theta$, $Y$ 的原点为 $\theta$. 对有界集 $E\subseteq X$, $\theta$ 的邻域 $U$ 的原像 $T^{-1}(U)$ 是 $\Theta$ 的邻域, 因此 $E\subseteq \delta T^{-1}(U)$ 给出 $T(E)\subseteq \delta U$, 这说明 $T(E)$ 有界.

为了给出逆命题的反例, 我们需要一个有界线性的不连续函数. 我们考察 $id:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, 但第一个 $\mathbb{R}$ 赋予正常的序拓扑 (开区间为基的拓扑) 而第二个赋予左闭右开拓扑 (左闭右开区间为基的拓扑).

$\square$

逆命题不成立是因为我们要求太少; 在线性度量空间中, 这个逆命题成立. 另一方面, 如果我们考虑的不是一般的函数而是特殊的泛函, 这个定理成立.

定理 5.3.0.11. 考虑线性泛函 $T:V\to \mathbb{R}$, 我们有 $T$ 连续当且仅当 $\ker (T)$ 是闭集当且仅当它在原点的一个邻域内有界.

证明. 若 $T$ 连续, 则 $\ker (T)=T^{-1}(\{0\})$ 是闭集的原像集, 显然必须是闭集.

若 $\ker (T)$ 是闭集, 则存在 $x\in V$ 和 $\Theta$ 的开邻域 $U$ 使得 $(x+U)\cap \ker (T)=\varnothing$, 我们不妨设 $U$ 是对称的, 且 $\forall \lambda \in [-1,1](\lambda U\subseteq U)$. 这时, $T(U)$ 一定是关于 $0$ 对称的区间; 若它恰好也有界我们就证毕了; 否则, 若 $T(U)=\mathbb{R}$, 那么 $\exists y\in U$ 使得 $T(y)=T(x)$, 进而 $x-y\in \ker (T)$, 这指出 $(x+U)\cap \ker (T)$ 不空, 矛盾.

若 $T$ 在 $\Theta$ 的邻域 $U$ 内有界, 即 $|T(U)|\le k$. 对每个 $ϵ\in (0,k)$ 显然 $T^{-1}((-ϵ,ϵ))$ 包含全体 $\lambda U$, 这里 $\lambda \in (0,\frac{ϵ}{k})$; 这指出 $T$ 在 $\Theta$ 处是连续的, 因而也处处连续.

$\square$

因此, 研究线性拓扑空间的对偶空间, 乃至于其二重对偶空间上的拓扑结构是极有意义的.