5.6. 树状空间

这一节, 我们来考虑一种有趣的空间, 它将给出两个极好的对象.

定义 5.6.0.1 (树). 我们来考虑 $A^{< ω} = ⋃_{n \in ω} A^{n}$ .

称 $T \subseteq A^{< ω}$ 为一棵树 (tree), 若 $t \in T \to \forall n < dom (t) (t ∣_{n} \in T)$ . 我们称一个 $t \in A^{< ω}$ 为序列, $s = t ∣_{n} (n < dom (t))$ 为它的真前段 (initial segment). 若两个序列互不为真前段, 则称它们不相容 (incompatible), 记为 $s ⊥ t$ .

对一棵树 $T$ , 其中的元素我们也称之为茎节 (node); 它的无穷枝条 (infinite branch) 是 $x \in A^{ω}$ , 满足 $\forall n \in ω (x ∣_{n} \in T)$ . 一棵树的全体无穷枝条构成它的主干 (body), 记为 $[T] \subseteq A^{ω}$ .

如果一棵树的每个茎节都是某个另一个茎节的真前段, 就称这棵树是棵剪枝树 (pruned tree).

我们引入树, 主要是为了讨论 $A^{ω}$ 上的拓扑.

定义 5.6.0.2 (树状空间). 赋 $A$ 以离散拓扑, 即所有 $A$ 的子集都是开集; 然后做积空间 $A^{ω}$ , 它自然成为可度量化空间, $d (t, s) = 2^{- n}$ , 这里 $n$ 是最大的使得 $t ∣_{n} = s ∣_{n}$ 的自然数.

今后, 我们谈论到任何 $A^{ω}$ 时, 若无关于集合 $A$ 的任何假定 (例如它是拓扑空间或者什么), 我们就默认以上的拓扑结构.

定理 5.6.0.3. $A^{ω}$ 以 ${N_{s} ∣ s \in A^{< ω}}$ 为一组开闭基, 我们称之为标准基, 这里 $N_{s} = {x \in A^{ω} ∣ s \subseteq x}$ . 因此, 树状空间均为零维空间.

证明. 显然. 我们事实上还有更强的结论: 任给开集

U \subseteq A^{ω}

, 都存在两两不相容的序列族

S \subseteq A^{< ω}

, 使得

U = ⋃_{s \in S} N_{s}

.

$□$

大家熟知 $ℶ (ω)^{ω} = ℶ (ω)$ , 而它们的拓扑结构其实也一样.

定理 5.6.0.4. $n \in ω$ , 则 $(A^{ω})^{n}$ 与 $A^{ω}$ 同胚; $(A^{ω})^{ω}$ 也与 $A^{ω}$ 同胚.

证明. 我们有

ω \times ω

与

ω

等势的函数构造, 用它来搬运标准基.

$□$

现在, 我们要指出 $A^{ω}$ 上的闭集和剪枝树之间存在一一对应.

定理 5.6.0.5. $T \to [T]$ 给出剪枝树与 $A^{ω}$ 上闭集之间的双射.

证明. 其逆映射

F \to T_{F} = {x ∣_{n} ∣ x \in F, n \in ω}

给出闭集

F

对应的剪枝树.

$□$

我们想让树状空间成为 Polish 空间, 就得考察其中的稠密性, 而与此对应的我们也要考察 $A^{< ω}$ 中的稠密性.

定义 5.6.0.6. 若一个 $D \subseteq A^{< ω}$ 满足任何序列都是 $D$ 中某个序列的真前段, 则称 $D$ 在 $A^{< ω}$ 中稠密.

定理 5.6.0.7. $U = ⋃_{d \in D} N_{d}$ 在 $A^{ω}$ 中稠密, 当且仅当 $D$ 在 $A^{< ω}$ 中稠密.

证明. 考虑到开集的不相容基分解, 这是显然的.

$□$

现在, 我们来看看树状空间的拓扑结构在其闭子空间上如何. 首先, 我们来考虑树的子树.

定义 5.6.0.8. 对树 $T \subseteq A^{< ω}$ , 我们用 $s \in T$ 给出它的一棵子树 $T_{[s]} = {t \in T ∣ t \neq ⊥ s}$ , 然后再把这棵子树的前面一节削掉, 得到另一棵树 $T_{s} = {t \in A^{< ω} ∣ s □ t \in T}$ , 这里 $s □ t$ 指的是将序列 $t$ 直接接在序列 $s$ 后面.

定理 5.6.0.9. ${[T_{[s]}] ∣ s \in T}$ 构成 $[T]$ 的一组基.

证明.

[T_{[s]}] = [T] \cap N_{s}

.

$□$

树状空间的紧致闭子空间有一个奇妙的描述.

定义 5.6.0.10 (有限分裂). 若树 $T$ 满足其中每个茎节 $t$ 都只有有限个 $a \in A$ 可以使得 $t □ a \in T$ , 这里 $□ a$ 指的是把 $a$ 作为序列的下一个值来将 $t$ 的定义域加一, 则称 $T$ 是有限分裂树.

定理 5.6.0.11. 对剪枝树 $T$ , $[T]$ 是 $A^{ω}$ 的紧致子空间当且仅当 $T$ 是有限分裂树.

证明. 考虑每个茎节处延长一节产生的标准基开覆盖.

$□$

此外, 由于空集自然紧致, 我们还可以限定一下.

引理 5.6.0.12 (Konig). 对有限分裂树 $T$ , $[T] \neq = \emptyset$ 当且仅当 $T$ 是无穷集.

证明.

T

无穷推出存在无穷枝条需要用选择公理把这枝条选出来.

$□$

评注. 柯尼希的这个引理在反推数学中被用来分离某两个证明系统的强度.

在做代数拓扑时, 我们喜欢考虑连续收缩与连续收缩核的概念.

定义 5.6.0.13 (连续收缩). 称连续满射 $s : X ↠ Y \subseteq X$ 为一个连续收缩, 若 $s ∣_{Y} = i d_{Y}$ . 这个非空的 $Y$ 称作 $X$ 的连续收缩核.

而树状空间的闭子空间非常奇妙, 它们可以随便收缩.

定理 5.6.0.14. 若 $A^{ω}$ 有两个非空闭子空间 $F \subseteq H$ , 则 $F$ 是 $H$ 的连续收缩核.

证明. 我们与其说是在处理闭子空间, 不如说是在处理剪枝树. 我们考虑剪枝树之间的一组一种重要映射.

定义 5.6.0.15 (单调函数). 集 $A$ 上的树 $S$ 到集 $B$ 上的树 $T$ 的函数 $φ$ 称为单调函数, 若 $s \subseteq t \to φ (s) \subseteq φ (t)$ .

对于单调函数 $φ$ , 我们收集全体 $S$ 的这样的无穷枝条 $x$ , 它的真前段们在 $φ$ 下的像在 $T$ 中也拼成一个无穷枝条, 得到集 $D (φ) \subseteq [S]$ . 若 $D (φ) = [S]$ , 就称 $φ$ 是恰当 (proper) 的.

$φ$ 可以提升为 $D (φ)$ 到 $[T]$ 的函数 $φ^{*}$ .

不难猜到, 我们正是要构造 $F$ 和 $H$ 对应的剪枝树 $A \subseteq T$ 之间的恰当单调函数 $φ : T \to S$ , 然后用它的提升 $φ^{*}$ 来见证连续收缩. 为了满足连续收缩的条件, 显然我们要要求 $φ ∣_{S} = i d_{S}$ .

我们对 $t \in T$ 的长度归纳. $φ (\emptyset) = \emptyset$ , 然后我们要在已经定义好 $φ (t)$ 时定义出 $φ (t □ a)$ , 这里 $a \in A$ 同样接在序列 $t$ 的后面.

显然, 若

t □ a \in S

, 我们就必须令

φ (t □ a) = t □ a

. 否则, 我们令

φ (t □ a)

为某一个

φ (t) □ b \in S

, 由于

S

是剪枝树, 这里必须存在一个可用的

b

.

$□$

我们有一个非常神妙的定理, 它指出单调函数几乎是闭子空间之间的连续函数, 而且恰当单调函数确实是.

定理 5.6.0.16. 给定单调函数 $φ : S \to T$ , 则 $D (φ)$ 是 $[S]$ 的 $G_{δ}$ 集, 且 $φ^{*} : D (φ) \to [T]$ 是连续函数.

如果存在 $f : G \to [T]$ 是连续函数, 这里 $G$ 是 $[S]$ 的 $G_{δ}$ 集, 则存在单调函数 $φ$ 使得 $f = φ^{*}$ .

证明. 前一个方向比较简单. 注意 $x \in D (φ) \leftrightarrow \forall n \exists m (dom (φ (x ∣_{m})) \geq n)$ , $D (φ)$ 显然就是 $⋂_{n} U_{n}$ , 这里 $x \in U_{n} \leftrightarrow \exists m (dom (φ (x ∣_{m})) \geq n)$ . 要说明 $φ^{*}$ 连续, 也只需要考虑 $[T]$ 上的标准基 $V_{t} = [T] \cap N_{t}$ , 它们的原像 $(φ^{*})^{- 1} (V_{t}) = ⋃_{s \in S, φ (s) \supseteq t} (N_{s} \cap D (φ))$ 显然是开集.

另一个方向要求我们用连续函数 $f : G \to [T]$ 和条件 $G = ⋂_{n} U_{n}$ 来构造 $φ$ , 我们不妨设 $U_{n + 1} \subseteq U_{n}$ , 且 $U_{0} = [S]$ . 对 $s \in S$ , 我们先定义 $k (s)$ 为最大的不超过 $dom (s)$ 的, 使得 $N_{s} \cap [S] \subseteq U_{k}$ 的自然数 $k$ . 现在, 若 $N_{s} \cap G \neq = \emptyset$ , 我们令 $φ (s)$ 为最长的一个长度不超过 $k (s)$ 的序列 $u \in T$ , 使得 $f (N_{s} \cap G) \subseteq N_{u}$ ; 否则, 我们找一个最大的自然数 $m$ , 满足 $N_{s ∣_{m}} \cap G \neq = \emptyset$ 且 $m \leq dom (s)$ , 然后令 $φ (s) = φ (s ∣_{m})$ .

φ

单调不难验证, 关键在证明

D (φ) = G

.

$□$

推论 5.6.0.17. $S$ 到 $T$ 的恰当单调函数与 $[S]$ 到 $[T]$ 的连续函数之间由提升给出一个双射.

这个奇妙的性质还可以得到更一般的保证, 我们放在下一节讨论.

最后, 我们要考虑 $A^{< ω}$ 中的序, 为此我们假定 $A$ 上有一个选取好的序 $<$ . 首先, 我们有一个最简单的序.

定义 5.6.0.18 (字典序). 称 $x <_{l e x} y$ , 若对最大的使得 $x ∣_{n} = y ∣_{n}$ 的 $n \in ω$ 有 $x (n) < y (n)$ .

显然, $<$ 是良序时 $<_{l e x}$ 也是良序, $<$ 是线序时 $<_{l e x}$ 也是线序. 然而, 对于良基树的研究却让我们发现另一种序.

定义 5.6.0.19 (良基树). 称一棵树 $T$ 是良基的, 若 $[T] = \emptyset$ . 换言之, $T$ 良基当且仅当 $⫌$ 在 $T$ 上是良基关系.

在良基树 $T$ 上, 我们同样有秩函数 $rank^{T}$ 递归地定义为 $rank^{T} (s) = sup_{t \in T, t ⫌ s} (rank^{T} (t) + 1)$ .

我们称 $rank^{T} = 0$ 的那些茎节为终点, 称最大的 $renk^{T} (t)$ 加一为整棵良基树的秩.

定义 5.6.0.20 (Kleene-Brouwer 序). 对于全序集 $(A, <)$ , 我们延拓 $A^{< ω}$ 上的偏序 $⫌$ 为全序 $<_{K B}$ , 令 $t <_{K B} s \leftrightarrow t ⫌ s \lor (\exists n (t ∣_{n} = s ∣_{n} \land t (n) < s (n)))$ .

定理 5.6.0.21. 对良序集 $(A, <)$ , 树 $T$ 是良基树当且仅当 $<_{K B} ∣_{T}$ 是 $T$ 上的良序.

证明. 显然无穷枝条给出无穷降链, 无穷降链也给出无穷枝条.

$□$

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