5.7. 零维空间

我们在上一节已经注意到, 树状空间是零维空间, 也就是说它存在一组开闭基. 不过, 零维这个词与它的定义初看起来并无关系, 我们来补全一些定义. 以下均假定所说的拓扑空间是可分度量空间.

定义 5.7.0.1 (维数). 我们递归地定义拓扑空间 $X$ 的维数 $dim (X) \in {a \in Z ∣ a \geq - 1} \cup {+ \infty}$ 如下:

1.	空空间 $\emptyset$ 的维数是 $- 1$ .
2.	非空空间 $X$ 的维数 $dim (X)$ 定义为 $sup_{p \in X} dim (X, p)$ .
3.	点 $p$ 在空间 $X$ 中的维数 $dim (X, p)$ 是最大的 $n + 1$ , 若 $p$ 有任意小的邻域, 其边界的维数不大于 $n$ .

评注. 所谓存在任意小的邻域满足某一性质, 指的是任给邻域均有其子邻域满足这一性质.

显然这个定义是同胚不变的, 所以我们现在可以在同胚意义下讨论任何拓扑空间的维数了. 首先, 我们来看子空间的维数. 我们默认写下的运算和开闭集均在空间

X

中而非其子空间

E

中.

定理 5.7.0.2. $p \in E \subseteq X$ , 则 $dim (E, p) \leq dim (X, p)$ .

证明. 考虑

p

的任意开邻域

U

, 它在

E

中的边界

E \cap Cl (E \cap U) \ U \subseteq Cl (U) \ U

, 归纳即得结论.

$□$

注意子空间中的边界形式相对复杂, 我们给出子空间维数更好的等价描述.

定理 5.7.0.3. $dim (E, p)$ 的维数是最大的 $n + 1$ , 若 $p$ 有任意小的邻域, 其在 $X$ 中的边界与 $E$ 的交维数不大于 $n$ .

证明. 也就是说, 我们要证明 $dim (E, p)$ 的原始定义与这个新的定义等价.

如果 $dim (E, p) \leq n + 1$ , 原始的定义指出存在 $E$ 中任意小的开集 $H \cap E$ 使得 $dim (E \cap \partial H) \leq n$ . 注意 $H$ 和 $E \ Cl (H)$ 显然与对方的闭包不交, $T_{5}$ 给出开集 $G \supseteq H$ 使得 $Cl (G) \cap E \ Cl (H) = \emptyset$ . 于是 $dim (E \cap \partial G) \leq dim (E \cap \partial E) \leq n$ .

倒过来, 如果

p

有任意小的邻域

G

,

dim (E \cap \partial G) \leq n

, 我们只要令

H = E \cap G

即得

dim (E \cap \partial H) \leq dim (E \cap \partial G) \leq n

.

$□$

现在, 我们来考察对于子空间 $E$ 维数不大于 $n$ 的那些点构成的空间.

定义 5.7.0.4. 将全体满足 $dim (E \cup {p}, p) \leq n$ 的点 $p \in X$ 收集起来得到点集 $E_{(n)}$ .

我们先给出对这些

E_{(n)}

的一些简单观察.

定理 5.7.0.5. 由以前的讨论, 以下结果是简单的.

1.	$E \subseteq E_{(n)}$ 等价于 $dim (E) \leq n$ .
2.	$E \subseteq F$ , 则 $F_{(n)} \subseteq E_{(n)}$ .
3.	$dim (E \cap E_{(n)}) \leq n$ .

评注. 注意, 我们并不能断言 $dim (E_{(n)}) \leq n$ , 例如 $E = {x}$ 是单点集时 $E_{(0)} = X$ , 其维数是不知道的.

然而, 这些

E_{(n)}

却有一个意想不到的简洁性质.

定理 5.7.0.6. $E_{(n)}$ 都是 $G_{δ}$ 集.

证明. 由定义,

p \in E_{(n)}

当且仅当

\forall k \exists U_{p}^{k} ∋ p (dim (E \cap \partial U_{p}^{k}) \leq n - 1 \land diam (U_{p}^{k}) \leq \frac{1}{k})

. 我们令

H_{k} = ⋃_{p} U_{p}^{k}

, 则

E_{(n)} = ⋂_{k} H_{k}

.

$□$

我们可以延续这个观察, 将这个定理做得更强.

定理 5.7.0.7. 任给 $E$ 与 $n$ , 存在一列开集 $D_{m}$ 满足以下全体性质:

1.	$dim (E \cap \partial D_{m}) \leq n - 1$
2.	$E_{(n)}$ 以 $E_{(n)} \cap D_{m}$ 为一组可列基.
3.	记 $S = ⋃_{m} \partial D_{m}$ , 则 $E_{(n)} \subseteq (E \ S)_{(0)}$ 且 $dim (E_{(n)} \ S) \leq 0$ .

证明. 我们继续同上做出 $U_{p}^{k}$ . 注意到全体 $U_{p}^{k}$ 给出一个 $E_{(n)}$ 的开覆盖, 由三个可数性等价我们可以取出一个可数开覆盖, 我们记为 $D_{m}^{k}$ . 注意 $(k, m)$ 只有可数个, 我们把全部 $D_{m}^{k}$ 重新排序就得到了所要的 $D_{m}$ .

显然前两条要求已经在定义中满足过了. 只要再发现

E \ S \cap \partial D_{m} = E_{(n)} \ S \cap \partial D_{m} = \emptyset

即可推出第三条要求.

$□$

作为其显然推论, 我们有以下命题.

推论 5.7.0.8. $n$ 维空间有一组边界不超过 $n - 1$ 维的可数基.

我们现在结束对一般维数论的探索, 而回到零维空间中来. 我们今后默认被讨论的零维空间是零维可分度量空间.

推论 5.7.0.9. 零维空间有一组可数开闭基, 且其直径可以均小于任意预先指定的数.

证明. 我们的

k

不从

1

开始取也是可以的.

$□$

于是, 零维空间中的闭集都是可列个开闭集的交, 从而都是 $G_{δ}$ 集 (虽然其实并不需要零维). 开集也是可列个开闭集的并, 而我们还可以作额外要求.

定理 5.7.0.10. 每个开集都是可列个两两不交的、直径小于任意预先指定的数的开闭集的并.

证明. 只要注意到开闭集去掉有限个开闭集还是开闭集, 我们先取基得到分解, 然后变成

U = ⋃_{n} F_{n} = ⋃_{n} (F_{n} \ ⋃_{m < n} F_{m})

即可.

$□$

现在, 我们来看零维空间中的两个重要定理.

定理 5.7.0.11 (归约定理). 零维空间 $X$ 中, 若有一列开集 $U_{n}$ , 则存在一列不交的开集 $V_{n} \subseteq U_{n}$ , 满足 $⋃_{n} U_{n} = ⋃_{n} V_{n}$ . 特别的, 如果 $⋃_{n} U_{n} = X$ , 我们可以要求每个 $V_{n}$ 都是开闭集.

证明. 把开集

U_{n}

拆成一列不交开闭集

F_{n, m}

, 考虑

N^{2}

上的典范良序

\leq

, 取

D_{n, m} = F_{n, m} \ ⋃_{(k, l) < (n, m)} F_{k, l}

, 最后令

V_{n} = ⋃_{m} D_{n, m}

.

$□$

定理 5.7.0.12 (分离定理). 零维空间 $X$ 中, 若有一列闭集 $F_{n}$ 使得 $⋂_{n} F_{n} = \emptyset$ , 则存在一列开闭集 $E_{n} \supseteq F_{n}$ , 且 $⋂_{n} E_{n} = \emptyset$ .

证明. 对归约定理的第二个陈述取补集.

$□$

评注. 特别的, 它指出任给不交闭集 $A$ 与 $B$ , 存在开闭集 $E$ 使得 $A \subseteq E$ 且 $B \subseteq (X \ E)$ , 这是比一般的完全不连通更强的要求. 我们还可以进一步加强这个观察.

推论 5.7.0.13. 给定有限个不交闭集 $F_{n}$ , 存在同样多个开闭集 $E_{n} \supseteq F_{n}$ 两两不交, 且这些开闭集的并为全空间 $X$ .

证明. 对

n

归纳.

$□$

现在, 我们来讨论上一节提到的关于连续收缩的定理. 我们现在来陈述并证明它.

定理 5.7.0.14 (Kuratowski). 可分度量空间 $X$ 的每个非空闭子集都是它的连续收缩核, 当且仅当它自己是零维空间.

证明. 我们需要两个引理.

引理 5.7.0.15. 可分度量空间均同胚于一个完全有界空间.

证明. 我们把它嵌进

[0, 1]^{ω}

, 后者显然是完全有界的. 这个嵌入请读者自行造出.

$□$

于是, 我们来看看零维空间中的完全有界开集.

引理 5.7.0.16. 零维空间 $X$ 中的完全有界开集 $G$ 均可写为一列两两不交的开闭集 $F_{n}$ 的并, 且 $F_{n}$ 的直径趋于 $0$ .

证明. 我们已知

G

可以写成一列不交的开闭集的并, 不妨设

G = ⋃_{n} F_{n}^{*}

. 由于完全有界, 我们可以将

F_{n}^{*}

分解为直径不超过

\frac{1}{n}

的有限个开集的并, 于是不妨假定

F_{n}^{*} = ⋃_{k < k_{n}} H_{n}^{k}

, 显然

H_{n}^{k}

们也都是开闭集, 于是进一步不妨设它们也两两不交. 显然

H_{0}^{0}, ..., H_{0}^{k_{0} - 1}, H_{1}^{0}, ..., H_{n}^{0}, ...

就是所要的开闭集列.

$□$

现在, 我们先来证明零维空间的非空闭子集是它的连续收缩核. 考察 $X$ 的非空闭子集 $F$ , 我们由第一个引理不妨设 $X$ 完全有界, 然后由第二个引理给出 $X \ F$ 的分解 $F_{n}$ . 对每个 $n$ , 我们从 $F$ 中选一个点 $p_{n}$ 使得 $d (p_{n}, F_{n}) < d (F, F_{n}) + \frac{1}{n}$ , 然后令 $f : X \to F$ 在 $F$ 上不变, 把 $F_{n}$ 全部丢到点 $p_{n}$ 上.

验证 $f$ 连续并不容易, 因为闭子空间的相对开集并不是开集, 我们要证明的是 $f$ 在每个点上连续. 对 $x \in X \ F$ 的论证相当简单, 这里只看 $x \in F$ 的情况. 运用 Heine-Borel 定理, 我们对每个序列 $x_{n} \to x$ 验证 $f (x_{n}) \to f (x) = x$ . 如果这个序列最终在 $F$ 中, 显然它最终有 $f (x_{n}) = f_{n}$ , 于是所证显然; 否则不妨设这序列不在 $F$ 中, 假定 $x_{n} \in F_{k_{n}}$ , 注意每个 $F_{m}$ 至多包括有限个 $x_{n}$ , 而 $d (F_{m}, p_{m}) \to 0$ , 于是仍有 $d (f (x_{n}), x_{n}) \to 0$ , 换言之仍有 $f (x_{n}) \to x$ .

另一方面, 如果非空闭子集都是连续收缩核, 我们来证明对任意开集

U

中的任意点

x

, 存在开闭集

F

包括

x

而包含于

U

. 考虑连续收缩

f : X \to (X \ U \cup {x})

, 它给出所要的

F = f^{- 1} ({x})

, 因为

{x}

是空间

X \ U \cup {x}

中的开闭集.

$□$

最后, 我们指出, 过小的空间必然零维.

定理 5.7.0.17. 开集族的基数 $∣ τ ∣ < ℶ_{1}$ 的度量空间必然零维; 空间的基数 $∣ X ∣ < ℶ_{1}$ 的度量空间必然零维.

证明. 上面两个条件均保证每点处的开球总有两个一样, 从而这开球是开闭球.

$□$

名字空间

视图

5.7. 零维空间