5.8. Cantor 空间与 Baire 空间

这一节, 我们来考虑最美丽的两个树状空间.

定义 5.8.0.1. 我们命 $2^{ω} = C$ 为 Cantor 空间, $ω^{ω} = N$ 为 Baire 空间.

我们将很少使用 Baire 空间这个名字, 而是直接称呼

N

, 因为这个名字还用来称呼另一种对象, 见 5.5. 由于

C

作为符号以前经常被用在证明中, 我们将更多地使用 Cantor 空间的名字.

首先, 我们来看两个定理, 它们分别刻画了 $C$ 与 $N$ 的唯一性.

定理 5.8.0.2 (Brouwer). 非空完美零维紧致度量空间同胚于 $C$ .

证明. 显然 $C$ 已经具有以上所有性质, 所以我们假定有一个同样满足以上所有性质的空间 $X$ , 然后构造 $X$ 到 $C$ 的同胚.

定义 5.8.0.3. 我们称 $X$ 的一系列子集 ${A_{s} ∣ s \in 2^{< ω}}$ 为一个 Cantor 概型 (Cantor scheme), 若

1.	$\forall s \in 2^{< ω} (A_{s □ 0} \cap A_{s □ 1} = \emptyset)$
2.	$\forall s \in 2^{< ω} \forall i \in 2 (A_{s □ i} \subseteq A_{s})$

评注. 这并不是代数几何那个概型 (scheme), 但也不是分离或替换公理模式 (schema). 这俩似乎一个是英文一个是德文?

我们现在在 $X$ 上做一个 Cantor 概型, 使得 $A_{\emptyset} = X$ , 每个 $A_{s}$ 都是开闭集, 且 $A_{s} = A_{s □ 0} ∐ A_{s □ 1}$ . 我们还要求 $x \in C \to lim_{n} diam (A_{x ∣_{n}}) = 0$ . 如果我们能得到这样的构造, 令 $f : C \to X, x \to ⋂_{n} A_{x ∣_{n}}$ 即可得到我们想要的同胚.

零维给出开闭基, 紧致给出完备且完全有界. 由于开闭集有限交、并、去掉对方都仍然得到开闭集, 完全有界性指出我们可以作分解 $X = X_{1} ∐ ... ∐ X_{n}$ , 这里每个 $X_{n}$ 都是直径不超过 $\frac{1}{2}$ 的开闭集.

我们令

A_{1} = X_{1}

,

A_{01} = X_{2}

, ...,

A_{0...01} = X_{n - 1}

,

A_{0...0} = X_{n}

, 然后向上并出所有还未定义的

A_{0...01}

. 对每个

X_{i}

继续分解为直径不超过

\frac{1}{3}

的小开闭集, 然后继续生长, 归纳即可完成构造.

$□$

定理 5.8.0.4 (Alexandrov-Urysohn). 非空零维 Polish 空间, 若紧致子集均无内部, 则同胚于 $N$ .

证明. 注意紧致当且仅当有限分裂, $N$ 确实具有以上所有性质.

定义 5.8.0.5. 我们称 $X$ 的一系列子集 ${A_{s} ∣ s \in ω^{< ω}}$ 为一个鲁金概型 (Luzin scheme), 若

1.	$\forall s \in ω^{< ω} \forall i \neq = j \in ω (A_{s □ i} \cap A_{s □ j} = \emptyset)$
2.	$\forall s \in ω^{< ω} \forall i \in ω (A_{s □ i} \subseteq A_{s})$

我们同样对满足以上全部条件的空间 $X$ 作鲁金概型, 使得 $A_{\emptyset} = X$ , 每个 $A_{s}$ 都是开闭集, 且 $A_{s} = ∐_{n \in ω} A_{s □ n}$ . 我们还要求 $x \in N \to lim_{n} diam (A_{x ∣_{n}}) = 0$ , 然后同样取 $f$ 得到同胚.

这里甚至更简单, 因为每一层都可以放无穷个集, 我们只要证明

\forall ϵ > 0

我们都可以把任何非空开集

U \subseteq X

拆成可列个直径不超过

ϵ

的非空开闭集的不交并. 紧集无内部指出

U

的闭包不紧, 然而它显然完备, 于是它只能不完全有界. 因此存在

0 < δ < ϵ

使得不存在直径不大于

δ

的有限的

U

的开覆盖, 于是我们把

U

拆成直径不超过

δ

的可列个开闭集的不交并即可.

$□$

零维的 Polish 空间额外受到它们的重视.

定理 5.8.0.6. 零维 Polish 空间同胚于某个 $C$ 的 $G_{δ}$ 子空间, 某个 $N$ 的闭子空间.

证明. 我们把 $N$ 嵌入为 $C$ 的 $G_{δ}$ 子空间, 从而只需要把零维 Polish 空间 $X$ 嵌入为 $N$ 的闭子空间.

前者只要把 $x \in N$ 的各位数字变成 $0$ 的个数, 然后用 $1$ 把它们分开即可得到到 $C$ 的嵌入.

后者考虑与上一个定理一样的鲁金概型, 但这次我们不能保证每个

A_{s}

都不空, 我们做出来的同胚

f

现在只定义在

N

的一个闭子空间上.

$□$

这个命题可以变得更宽泛一点.

定理 5.8.0.7. 零维空间均可嵌入 Cantor 空间.

证明. 考虑零维空间的可数开闭基

F_{n}

, 我们直接令

f : X \to C = 2^{ω}

为

f (x) (n) = [x \in F_{n}]

, 右侧在

x \in F_{n}

时取

1

, 在

x \neq \in F_{n}

时取

0

.

$□$

最后, 我们指出它们都在 $R$ 上有其对应物.

定理 5.8.0.8. $C$ 同胚于 $R$ 上的 Cantor 三分集, $N$ 同胚于 $R \ Q$ .

证明. 第一个是因为 Cantor 三分集的构造过程显然是在取 Cantor 概型, 第二个直接考虑连分数分解.

$□$

这两个空间, 尤其是 Cantor 空间, 作为编码信息的有力工具, 将来还会多次出现.

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