5.2. 分层真与正确基数

之前形式化的 $\mathrm{Sat}$ 显然其实是全局的 ${\Delta }_0$ 真谓词 (因为 $\mathrm{Sat}(s,u)$ 也就是 $u\models s$ 也就是 $s$ 对 $u$ 的相对化, which 是 ${\Delta }_0$ 句子), 而我们的讨论说明它是 ${\Delta }_1$ 的; 接下来让我们考虑更高复杂度句子的真谓词. 我们首先指出一个简单的事实.

元定理 5.2.0.1. 对任何 $\mathfrak{n}$, 我们都有 ${\Delta }_0$ 谓词来判定一个公式是否是 ${\Delta }_0$, ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 或 ${\Pi }_{\mathfrak{n}}$ 公式, ${\Sigma }_1$ 谓词来判定某个集合论 $T$ 下一个公式是否是 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}^T$, ${\Pi }_{\mathfrak{n}}^T$ 或 ${\Delta }_{\mathfrak{n}}^T$ 公式.

证明. 前者只需要从前向后查: 是不是量词、变元符号、否定符号、量词、..., 然后把剩下的东西塞进 ${\Delta }_0$ 判别里面; 这个判别是先从前向后读串, 或者是 $\exists x\wedge \in xy$ 或者是 $\neg ...\neg$, 读到不是这两者之一的位置时查看后面有没有量词. 后者则是添加了 " 存在公式使得 $T$ 可证二者等价 ".

$\square$

评注. 这里的 $\mathfrak{n}$ 如果要改进为 $n$, 那么 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 和 ${\Pi }_{\mathfrak{n}}$ 公式的判定谓词也会变成 ${\Sigma }_1$ 的东西, 原理是声称存在从句子到 $\mathrm{Succ}(n)$ 的函数, 把每一节 $\exists x$ 或 $\neg \exists x\neg$ 放到一个 $i\in n$ 上面, 把后面余下的全部东西丢进 $n$, 并判定后面是 ${\Delta }_0$ 句子.

定义 5.2.0.2. ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 真谓词 ${\models }_{{\Sigma }_{\mathfrak{n}}}$ 指的是这样一个单变元谓词: 任何 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 句子真当且仅当其编码填入此谓词后被判定为真.

评注. 因此, 将 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 公式的判定谓词改进成 $n$ 没有意义, 因为这里的定义在元理论层次上枚举了全体 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 句子. 同时鉴于满足 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 句子的否定当且仅当满足这整个 ${\Pi }_{\mathfrak{n}}$ 句子, ${\models }_{{\Pi }_{\mathfrak{n}}}$(${\Pi }_{\mathfrak{n}}$ 真谓词) 的复杂度应该和 ${\models }_{{\Sigma }_{\mathfrak{n}}}$ 反着来.

我们立即有集合论版本的真不可定义定理.

元定理 5.2.0.3. 在强于 $T_{Ar}$ 的集合论中, 不存在全局真谓词. 换言之, 不存在单变元谓词 $\psi (x)$ 使得对任何句子 $\sigma$ 都有 $\sigma \leftrightarrow \psi (┌\sigma ┐)$.

证明. 基本上是在照抄第一不完备性定理的证明, 我们连可表示性都不需要考察, 因为 ${\mathrm{Sub}}_c(s,s^{\prime },v,t)$ 这个句子我们直接实打实地造出来了.

假定 $\psi (x)$ 是全局真谓词, 记 $\neg \psi (x)$ 为公式 $\phi (x)$, 我们来造其不动点, 也就是 $T_{Ar}⊢\sigma \leftrightarrow \phi (┌\sigma ┐)$ 的句子 $\sigma$, 这样因为我们又要求 $\sigma \leftrightarrow \psi (┌\sigma ┐)$ 就知道 $\psi \leftrightarrow \neg \psi$ 而矛盾.

对任意集合 $a$, 考虑句子 $\theta (s,s^{\prime },a)\leftrightarrow {\mathrm{Sub}}_c(s,s^{\prime },┌x┐,┌a┐)$, 定义句子 $\tau (x)$ 为 $\forall s^{\prime }(\theta (x,s^{\prime },x)\to \phi (s^{\prime }))$, 然后令 $\sigma$ 为 $\forall s^{\prime }(\theta (┌\tau ┐,s^{\prime },┌\tau ┐)\to \phi (s^{\prime }))$. 观察立即知道 ${\mathrm{Sub}}_c(┌\tau ┐,┌\sigma ┐,┌x┐,┌\tau ┐)$ 也就是 $\theta (┌\tau ┐,┌\sigma ┐,┌\tau ┐)$.

$\sigma \to \phi (┌\sigma ┐)$: 取 $\sigma$ 中的 $s^{\prime }=┌\sigma ┐$ 得到 $\theta (┌\tau ┐,┌\sigma ┐,┌\tau ┐)\to \phi (┌\sigma ┐)$.

$\phi (┌\sigma ┐)\to \sigma$: 因为 $s^{\prime }$ 只有一个, 而已经知道唯一的 $s^{\prime }$ 就是 $┌\sigma ┐$.

$\square$

评注. 本质上来说全局真谓词 $\models$ 就是解码函数: 把每个形式化句子都解码成元语言的句子, 换言之断言句子总是标准. 这个定理无非是说句子的标准性不可由一个句子所确认.

但这不妨碍分层真谓词的定义.

元定理 5.2.0.4. ${\models }_0$ 是 ${\Delta }_1^{T_{Sat}}$ 的, ${\models }_{{\Sigma }_{\mathfrak{n}}}$ 是 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 的 ($\mathfrak{n}\ge 1$).

证明. ${\models }_{0}s$ 当且仅当存在传递集 $c$, $s$ 中全体常元符号的解码都属于 $c$, 且 $\mathrm{Sat}(s,c)$; 这句话 ${\Sigma }_1$. 又鉴于 ${\models }_{0}s$ 当且仅当 $\neg {\models }_0\neg s$, 它立即 ${\Pi }_1$.

${\models }_1\exists x(s)$ 当且仅当 $\exists x({\models }_{0}s)$(注意我们可以通过元组编码来证明每个 ${\Sigma }_1$ 公式都等价于最外面只有一层 $\exists$ 的 ${\Sigma }_1$ 公式), 于是它 ${\Sigma }_1$. 归纳地, ${\models }_{n+1}\exists x(s)$ 当且仅当 $\exists x(\neg {\models }_n\neg s)$.

$\square$

评注. 这又一次说明不能有 ${\models }_n$, 否则定义 $\models$ 为 $\exists n({\models }_n)$ 就是全局真谓词了.

真不可定义定理的一个自然推论是初等子模型的不可定义性 (否则只需要把全局真判断变成初等子模型的真判断, 后者上文已说明是可定义的了). 然而, 分层真的可定义性提示我们可以考虑 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 子模型的可定义性. 根据完全相同的道理, ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 子模型也是 ${\Pi }_{\mathfrak{n}}$ 子模型, 因此我们将直接记这个关系为 ${\prec }_{\mathfrak{n}}$. 一个简单的事实是:

定理 5.2.0.5 ($T_{Ar}$). 任何传递集都是宇宙的 ${\Delta }_0$ 子模型.

证明. 因为它传递.

$\square$

但接下来的一件事就比较重要, 且不那么显然了.

定理 5.2.0.6 (Levy,$ZFC$). 任给不可数基数 $\kappa$, $H_{\kappa }{\prec }_1\mathbf{V}$.

证明. 只需证明: 若 $\exists x(\phi )$ 中常元均属于 $H_{\kappa }$, 则 $\exists x\in H_{\kappa }(\phi )$. 假定这个 $x\in H_{\gamma }$, 由 LS 定理, 存在 $H_{\gamma }$ 的初等子模型 $X$, $\phi$ 中全体参数的传递包括都是 $X$ 的子集, 且 $X$ 的基数不大于这些传递包括的基数. 鉴于参数们都属于 $H_{\kappa }$, 这些传递包括的基数都小于 $\kappa$, 因此 $|X|<\kappa$. 取 $X$ 的坍塌 $M$, 则传递集 $M\subseteq H_{\kappa }$. 鉴于 $H_{\gamma }\models \exists x(\phi )$, 我们也有 $M\models \exists x(\phi )$, 从而其扩张 $H_{\kappa }\models \exists x(\phi )$.

$\square$

这启示我们做如下定义.

定义 5.2.0.7. $\mathfrak{n}\ge 2$; 如果基数 $\kappa$ 满足 $H_{\kappa }{\prec }_{\mathfrak{n}}\mathbf{V}$, 则称 $\kappa$ 是 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 正确基数.

评注. $\kappa$ 是 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 正确基数这句话写开来是 $\forall s({\mathrm{isFml}}_{{\Sigma }_{\mathfrak{n}}}(s)\to s\in H_{\kappa }\to {\models }_{{\Sigma }_{\mathfrak{n}}}s\to \mathrm{Sat}(s,H_{\kappa }))$, 它 ${\Pi }_{\mathfrak{n}}$ 是因为 $\mathfrak{n}\ge 2$. 当然它不可能是 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 的, 否则 " 存在 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 正确基数 " 这句话也是 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 的, 这造出了基数无穷降链.

当然, 用 $V_{\kappa }$ 还是 $H_{\kappa }$ 并没有什么区别.

定理 5.2.0.8 ($ZFC$). 任给序数 $\alpha$, $V_{\alpha }{\prec }_1\mathbf{V}$ 则 $\alpha$ 是不可数强极限基数; 事实上 $V_{\kappa }{\prec }_1\mathbf{V}$ 当且仅当 $\kappa$ 不可数且 $V_{\kappa }=H_{\kappa }$, 也当且仅当 $\kappa$ 是 $\beth$ 不动点. 对 $\mathfrak{n}\ge 2$, $V_{\kappa }{\prec }_{\mathfrak{n}}\mathbf{V}$ 当且仅当 $\kappa$ 是 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 正确基数.

证明. $V_{\alpha }{\prec }_1\mathbf{V}$ 则 $\alpha$ 是不可数强极限基数是因为: 对 $\beta <\alpha$ 可以用参数 $V_{\beta }$ 考虑 ${\Sigma }_1$ 句子 $\exists \gamma \in \mathbf{Ord}\exists f(\mathrm{isSurjOn}(f,\gamma ,V_{\alpha }))$ 即得 ${\beth }_{\beta }=\gamma \in \alpha$. 我们证明: $V_{\kappa }{\prec }_1\mathbf{V}$ 推出 $\kappa ={\beth }_{\kappa }$, 又推出 $(V_{\kappa }=H_{\kappa }\wedge \omega \in \kappa )$, 又有 $V_{\kappa }{\prec }_1\mathbf{V}$.

第一次推断其实已经证出来了, 第三次推断是因为不可数 $\kappa$ 都让 $H_{\kappa }{\prec }_1\mathbf{V}$. 第二次推断是因为显然 $H_{\kappa }\subseteq V_{\kappa }$, 但我们从 $x\in V_{\kappa }$ 知道 $x\in V_{\alpha }(\alpha <\kappa )$, 而 $|V_{\alpha }|={\beth }_{\alpha }<{\beth }_{\kappa }=\kappa$.

$\square$

这提示我们, ${\Sigma }_2$ 是一个比较重要的分水岭. 事实上, $V_{\alpha }$ 和 $H_{\kappa }$ 都可以给我们一些 ${\Sigma }_2$ 句子的标准形式.

元定理 5.2.0.9. 任给 $\phi$, 以下三件事等价:

1.	存在 ${\Sigma }_2$ 句子 $\psi$ 使得 $ZFC⊢\phi \leftrightarrow \psi$.
2.	存在句子 $\psi$ 使得 $ZFC⊢\phi \leftrightarrow \exists \kappa \in \mathbf{Ord}(\mathrm{isCard}(\kappa )\wedge {\psi }^{H_{\kappa }})$.
3.	存在句子 $\psi$ 使得 $ZFC⊢\phi \leftrightarrow \exists \alpha \in \mathbf{Ord}({\psi }^{V_{\alpha }})$.

证明. 由于 $v=V_{\alpha }$ 是 ${\Pi }_1$ 句子, $\exists \alpha \in \mathbf{Ord}({\psi }^{V_{\alpha }})$ 本来就是个 ${\Sigma }_2$ 句子, 因此我们只要证明 $1\to 2$ 和 $2\to 3$.

$1\to 2$ 是这样的: 我们直接证明 $\exists x\forall y(\varphi )$ 当且仅当 $$\begin{gathered} \exists \kappa \in \mathbf{Ord}(\mathrm{isCard}(\kappa ) \\ \wedge \exists x\in H_{\kappa }\forall y\in H_{\kappa }(\varphi )) \end{gathered}$$, 此处 $\varphi$ 是 ${\Delta }_0$ 公式. 前推后是因为这个 $x$ 总属于某 $H_{\kappa }$ 而 ${\Pi }_1$ 句子向内绝对, 后推前是因为固定 $x$ 为常元后 $H_{\kappa }{\prec }_1\mathbf{V}$.

$2\to 3$ 是这样的: $H_{\kappa }$ 认为 $\psi$ 对, 当且仅当 $V_{\kappa +1}$ 认为 "$H_{\kappa }$ 认为 $\psi$ 对 ".

$\square$

推论 5.2.0.10 ($ZFC$). $\kappa$ 是 ${\Sigma }_2$ 正确基数, 当且仅当任给参数均属于 $V_{\kappa }$ 的句子 $\phi$, 若存在序数 $\alpha$ 让 $V_{\alpha }\models \phi$, 则存在 $\alpha \in \kappa$ 让 $V_{\alpha }\models \phi$.

证明. 这是因为上个元定理的 $1,3$ 等价.

$\square$

我们证明最后一个相当符合直觉的事实.

定理 5.2.0.11 ($ZFC$). ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 正确基数构成闭无界类, 记为 $C^{(\mathfrak{n})}$. 进一步, 任何以 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 公式定义的序数的闭无界类都包含所有的 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 正确基数.

证明. $C^{(\mathfrak{n})}$ 闭显然是因为一列模型升链的并仍然是模型, 重在验证其无界. 我们来对 $\mathfrak{n}$ 归纳, $C^{(1)}$ 当成全体 $\beth$ 不动点 (从而闭无界, 且让 $V_{\kappa }{\prec }_1\mathbf{V}$). 我们在 $\forall \alpha \exists \beta >\alpha (V_{\beta }{\prec }_{\mathfrak{n}}\mathbf{V})$ 下证明 $\forall \alpha \exists \beta >\alpha (V_{\beta }{\prec }_{\mathfrak{n}+1}\mathbf{V})$.

显然可以先拿一个 ${\beta }_0>\alpha$ 使得 $V_{{\beta }_0}{\prec }_{\mathfrak{n}}\mathbf{V}$. 我们枚举全体无常元 ${\Pi }_{\mathfrak{n}}$ 公式为 ${\phi }_k(k\in \omega )$, 则全体无常元 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}+1}$ 公式可枚举为 $\exists x_l({\phi }_k)(l,k\in \omega )$. 对每个这样的句子我们定义传入 ${\phi }_k$ 中除 $x_l$ 外一切变元符号的函数 $f_{l,k}$, 它对给它的输入收集让 $\exists x_l({\phi }_k)$ 为真的所有 $x_l$ 中秩最小的那个 $x_l$ 的秩 (如果没有就去 $\varnothing$). 现在我们定义序数函数 $F$, 它对传入的序数 $\beta$ 取出 $V_{\beta }$ 中元素传进全部 $f_{l;k}$ 后所得序数集的最小严格上界之上的最小 $C^{(\mathfrak{n})}$ 中的基数 $F(\beta )$. 我们把 $F$ 连续 $\omega$ 次作用在 ${\beta }_0$ 上得到 $\beta$, $V_{\beta }$ 就是 $\mathbf{V}$ 的 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}+1}$ 子模型.

后者则是因为如果 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 公式 $\phi (\alpha )$ 定义一序数的闭无界类, 则对 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 正确基数 $\kappa$ 中的每个 $\beta \in \kappa$ 我们都有 $\exists \gamma (\beta <\gamma \wedge \phi (\gamma ))$($\mathbf{V}$ 认为 $\phi$ 无界), 这个句子 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$, 于是 $V_{\kappa }$ 也认为 $\phi$ 无界, $\phi$ 在 $\kappa$ 里无界, 从而由 $\phi$ 闭知道 $\phi (\kappa )$.

$\square$

既然 $C^{(\mathfrak{n})}$ 都是闭无界的, 那把这 $\omega$ 个闭无界类交起来按道理也是闭无界类; 但这其实不对, 因为 $C^{(\mathfrak{n})}$ 并非 $C^{(n)}$. 不过, 我们可以这么做.

元定理 5.2.0.12. 如果在 ${\mathcal{L}}_{\in }$ 中再加常元符号 $K$, 然后做此语言中 $ZFC$ 的扩展理论, 要求 (利用公理模式) 对每个 $\mathfrak{n}$ 都有 $K$ 是 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 正确基数, 则此理论与 $ZFC$ 等一致性强度. 此时称 $K$ 是正确基数.

证明. 如果有 $ZFC$ 模型, 则这个理论有穷可满足.

$\square$