5.3. 反射原理

我们用 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 正确基数构成闭无界类这一事实可以简单地验证:

元定理 5.3.0.1. $ZFC$ 可证全反射公理模式.

证明. 这是因为我们可以取 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 公式 $\phi$ 所要的传递集 $u$ 为 $V_{\kappa }$, $\kappa$ 随便取一个 ${\Sigma }_{\mathfrak{n}}$ 正确基数.

$\square$

然而, 选择公理其实是完全不必要的. 我们可以证明:

元定理 5.3.0.2 (Levy). $Z$ 加上全反射公理模式等价于 $ZF$.

证明. 我们首先验证 $ZF$ 可证全反射公理模式. 事实上, 我们可以证明:

元定理 5.3.0.3. 如果 $\Psi (x,\alpha )$ 在 $\alpha \in \mathbf{Ord}$ 上定义出一个单增连续的传递集层级 $W_{\alpha }=\{x|\Psi \}$, 则考虑 $\exists \alpha \in \mathbf{Ord}(\Psi )$ 定义出的类 $W={\bigcup }_{\alpha \in \mathbf{Ord}}{W}_{\alpha }$, 任给句子 $\phi (x_0,...,x_{\mathfrak{n}})$, 我们都有$$ZF⊢\forall \alpha \exists \beta >\alpha (\mathrm{isLimOrd}(\beta )\wedge \forall x_0\in W_{\beta }...\forall x_{\mathfrak{n}}\in W_{\beta }({\phi }^W\leftrightarrow {\phi }^{W_{\beta }}))$$

证明. 考虑 $\phi$ 的构造序列 ${\phi }_0,...,{\phi }_{\mathfrak{m}}=\phi$. 我们递归地构造一系列传入 ${\phi }_{\mathfrak{i}}$ 中的所有自由变元的函数 $f_{\mathfrak{i}}(\mathfrak{i}=0,...,\mathfrak{m})$ 如下: 如果 ${\phi }_{\mathfrak{i}}$ 是原子公式, 或者是之前的东西用逻辑连接词拼起来的, 那么 $f_{\mathfrak{i}}$ 就恒为 $┌0┐$; 如果 ${\phi }_{\mathfrak{i}}$ 是 $\exists y({\phi }_{\mathfrak{j}})$, 我们取 $f_{\mathfrak{i}}$ 是最小的满足以下条件的序数 $\gamma$: $\exists y\in W({\phi }_{\mathfrak{j}})\to \exists y\in W_{\gamma }({\phi }_{\mathfrak{j}})$. 进一步, 我们取 $F(\gamma )$ 为 $f_{\mathfrak{i}}$ 取遍 $V_{\gamma }$ 中所有元素的值所得序数集的上确界加一, 然后从 $\alpha$ 开始迭代地作用 $\omega$ 次 $F$ 得到 $\beta$. 现在 $W_{\beta }$ 中的元素塞进 $f_{\mathfrak{i}}$ 后的值一定比 $\beta$ 小, 不难归纳地验证 $W_{\beta }$ 和 $W$ 对所有 ${\phi }_{\mathfrak{i}}$ 意见一致.

$\square$

特别取层级 $W_{\alpha }=V_{\alpha }$ 即得 $ZF$ 可证全反射公理模式.

下验 $Z$ 加上全反射公理模式推出替代公理模式. 我们首先指出全反射公理模式对自己的一个增强.

元定理 5.3.0.4. $Z$ 加上全反射公理模式可对任何有穷多个共享自由变元 $v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1}$ 的公式 ${\phi }_0,...,{\phi }_{\mathfrak{m}}$ 证明:$$\forall z\exists c(z\in c\wedge \mathrm{isSTrans}(c)\wedge \forall v_0\in c...\forall v_{\mathfrak{n}-1}\in c(\underset{\mathfrak{i}=0,...,\mathfrak{m}}{\bigwedge }{\phi }_{\mathfrak{i}}\leftrightarrow {\phi }_{\mathfrak{i}}^c))$$

证明. 我们先来证明没有要求某个特定的 $z\in u$ 的特例. 我们考察公式 $\chi (t,v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1})$, 它是 $(t=┌\mathfrak{i}┐\wedge {\phi }_{\mathfrak{i}})$ 的析取 ($\mathfrak{i}$ 从 $0$ 跑到 $\mathfrak{m}$). 对此句子使用全反射得到超传递集 $c$, 它让 $\forall t\in c\forall v_0\in c...\forall v_{\mathfrak{n}-1}\in c(\chi \leftrightarrow {\chi }^c)$. 现在鉴于 $c$ 超传递, 诸 $┌\mathfrak{i}┐$ 必均属于 $c$, 从而我们只需要在此公理上把 $t$ 真的从 $┌0┐$ 到 $┌\mathfrak{m}┐$ 全部取一遍.

现在把 $z$ 塞进去. 在这一系列 ${\phi }_{\mathfrak{i}}$ 之外, 我们再添加两个公式: 第一个是我们要证明的句子不曾全称量化 $z$ 的那一部分, 它记为 ${\phi }_{\mathfrak{m}+1}(z)$; 第二个是我们要证明的句子, 也就是 $\exists z({\phi }_{\mathfrak{m}+1})$, 它记为 ${\phi }_{\mathfrak{m}+2}$; 这 $\mathfrak{m}+2$ 个公式共有 $z,v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1}$ 共 $\mathfrak{n}+1$ 个自由变元. 对他们全体使用上个版本的加强, 我们得到超传递集 $c$, 它满足:

1.	$\forall v_0...\forall v_{\mathfrak{n}-1}({\phi }_{\mathfrak{i}}\leftrightarrow {\phi }_{\mathfrak{i}}^c)$, 此处 $\mathfrak{i}$ 跑遍 $0$ 到 $\mathfrak{m}$;
2.	$\forall z\in c({\phi }_{\mathfrak{m}+1}\leftrightarrow {\phi }_{\mathfrak{m}+1}^c)$;
3.	${\phi }_{\mathfrak{m}+2}\leftrightarrow {\phi }_{\mathfrak{m}+2}^c$.

对每个 $z\in c$, 我们已有的这个 $c$ 确实见证 ${\phi }_{\mathfrak{m}+1}$, 因此确实也有 $\forall z\in c({\phi }_{\mathfrak{m}+1}^c)$; 但这就是 ${\phi }_{\mathfrak{m}+2}^c$, 所以我们其实知道 ${\phi }_{\mathfrak{m}+2}$.

$\square$

现在对公式 $\phi (x,z,v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1})$ 证明 $(Rep{)}_{\phi }$. 考虑以下两个句子:

1.	${\chi }_1(x,z,v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1})$ 是 $\phi (x,z,v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1})$;
2.	${\chi }_2(x,v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1})$ 是 $\exists z(\phi (x,z,v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1}))$;

对集合 $a$, 我们用上面的强化形式得到超传递集 $c\ni a$, 它让 $\forall ...({\chi }_{\mathfrak{i}}\leftrightarrow {\chi }_{\mathfrak{i}}^c)$. 注意 ${\chi }_2^c$ 是 $\exists z\in c({\chi }_1^c)$, 我们有 ${\chi }_2\leftrightarrow \exists z\in c({\chi }_1)$ 也就是 $\exists z(\phi )\leftrightarrow \exists z\in c(\phi )$. 现在我们所要的 $b$ 只需从 $c$ 中分离出来.

$\square$

评注. 其实 Levy 证明了 $ZF=S_0+(CRefl)$, 这里的弱集合论 $S_0$ 只需要外延、集合基础和满分离公理模式.

一个经典的利用反射原理的错误论证是这样的: $ZF$ 的每个有穷子集都是一句话, 而反射原理允许 $ZF$ 见证这句话可满足, 因此 $ZF$ 的每个有穷子集都可满足, 因此 $ZF$ 证明了 $ZF$ 可满足, 但 Godel 说 $ZF$ 只要一致就办不到这件事, 所以 $ZF$ 不一致, 数学大厦轰然倒塌! 我们首先指出, 这个论证的一部分是对的.

元定理 5.3.0.5. (如果 $ZF$ 一致)$ZF$ 不可有穷公理化.

证明. 否则假定 $ZF$ 可有穷公理化为一个句子 $\phi$, 反射原理说明 $\phi ⊢\phi \leftrightarrow \exists u(u\models \phi )$ 也就是 $\phi ⊢\exists u(u\models \phi )$ 也就是 $\phi ⊢\mathrm{Con}(\phi )$, 显然不可以.

$\square$

我们只需要把这个论证形式化, 就能接着发现它哪里不对了.

元定理 5.3.0.6. $ZF$ 不可证 $\forall T\subseteq ┌ZF┐(\mathrm{isFin}(T)\to \exists u(u\models T))$.

证明. 否则紧致性定理指出 $ZF⊢\mathrm{Con}(┌ZF┐)$ 矛盾.

$\square$

评注. 问题出在我们暂且居留的宇宙中 $\mathrm{isFin}$ 并不意味着我们可以在元理论里面把它合取成一句话: 谁知道这里的自然数是否标准呢?

评注. 因为 $ZF$ 可证 $┌ZF┐$ 可数从而自带良序, 使用紧致性定理无需选择.

在带选择公理的无幂集集合论中, 反射原理等价于依赖选择公理模式 (因为没幂集, 选择公理不能正常地推出它). 在二阶集合论中, 特定形式的反射原理可以为一些大基数做辩护. 在三阶集合论中, 反射原理不一致. 在 Ackermann 集合论 (它引入了常元符号 $V$ 作为集合的宇宙, 然后声称真类的宇宙的事实均反射到集合宇宙之中) 中, 它对集合宇宙所知的事实恰好是 $ZF$ 所知的事实 (因此它在哲学上被抛弃了). 我们将它们的证明留给读者.