1.3. 压扁集论语言

本小节意在指出, $\mathfrak{n}=2,3,...$ 阶集合论本质上无非是一些带包装的一阶集合论, 因此不妨把他们压扁到一阶.

定义 1.3.0.1. $\mathfrak{n}$ 阶集合论的语言具备以下特色:

1.	变元符号 (当然仍然是自然数多个) 有 $\mathfrak{n}$ 组, 两两不同;
2.	谓词符号与函数符号除了指定元数, 还需要对每个传入参数指定变元符号类别;
3.	逻辑连接词不变, 量词根据施加到的变元符号的类别分成 $\mathfrak{n}$ 组, 但等号不分层;
4.	引入特别的 $ϵ$ 关系, 仅当 $x$ 是 $\mathfrak{k}$ 类变元符号、$X$ 是 $\mathfrak{k}+1$ 类变元符号时可以研究是否 $xϵX$.

其模型相比一般意义下的模型同样变化仅仅是论域现在有 $\mathfrak{n}$ 层, 且 $\mathfrak{k}+1$ 层论域是 $\mathfrak{k}$ 层论域的幂集的子集, $ϵ$ 解释为其上自然的 $\in$ 关系.

我们以一个二阶集合论 $Z{F}^2$ 展示如何将其压扁为一阶理论.

定义 1.3.0.2. 二阶集合论 $Z{F}^2$ 的语言仅含 0 层的关系 $\in$ 和层间自然的 $ϵ$ 关系, 我们将用大小写区分两层变元符号, 但混用 $\in$ 和 $ϵ$. 列举公理如下:

1.	集即类: $\forall x\exists X(x=X)$
2.	类外延: $\forall X\forall Y(\forall z(z\in X\leftrightarrow z\in Y)\to x=y)$
3.	对集: $\forall x\forall y\exists z(x\in z\wedge y\in z\wedge \forall w\in z(w=x\vee w=y))$
4.	并集: $\forall x\exists y(\forall z\in y\exists w\in x(z\in w)\wedge \forall w\in x\forall z\in w(z\in y))$
5.	幂集: $\forall x\exists z(\forall y\in z\forall w\in y(w\in x)\wedge \forall y(\forall w\in y(w\in x)\to y\in z))$
6.	无穷: $\exists x(\exists y(y\in x\wedge \neg \exists z(z\in y))\wedge \forall y(y\in x\to \exists z(z\in x\wedge \forall w(w\in z\leftrightarrow (w\in y\vee w=y)))))$
7.	分离: $\forall x\forall X\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow (z\in x\wedge z\in X))$
8.	替代: $\forall F(\mathrm{isFun}(F)\to \forall x\exists y(y=F‘‘(x)))$
9.	基础: $\forall X\exists x(x\in X\wedge \forall y(y\in X\to y\notin x))$
10.	类构造公理模式: 任给 0 层语言中的公式 $\phi (x,v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1})$, $$\begin{gathered} \forall v_0...\forall v_{\mathfrak{n}-1} \\ \exists X\forall x(x\in X\leftrightarrow \phi ) \end{gathered}$$

这就是突破了 “真类均由一一阶公式定义” 的限制后形成的理论.

它被压扁后形成的理论又叫 von Newmann-Bernays-Godel 集合论, 因此简记为 $NBG$ 或 $BG$.

定义 1.3.0.3. $NBG$ 是一个有带定义一元谓词 $\mathrm{isSet}$ 的一阶集合论, 其中有以下公理:

1.	$\mathrm{isSet}$ 的定义: $\forall x(\mathrm{isSet}(x)\leftrightarrow \exists y(x\in y))$
2.	外延: $\forall x\forall y(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\to x=y)$
3.	对集: $\forall x\forall y(\mathrm{isSet}(x)\wedge \mathrm{isSet}(y)\to \exists z(\mathrm{isSet}(z)\wedge x\in z\wedge y\in z\wedge \forall w\in z(w=x\vee w=y)))$
4.	并集: $\forall x(\mathrm{isSet}(x)\to \exists y(\mathrm{isSet}(y)\forall z\in y\exists w\in x(z\in w)\wedge \forall w\in x\forall z\in w(z\in y)))$
5.	幂集: $\forall x(\mathrm{isSet}(x)\to \exists z(\mathrm{isSet}(z)\wedge \forall y\in z\forall w\in y(w\in x)\wedge \forall y(\forall w\in y(w\in x)\to y\in z)))$
6.	无穷: $\exists x(\mathrm{isSet}(x)\wedge \exists y(y\in x\wedge \neg \exists z(z\in y))\wedge \forall y(y\in x\to \exists z(z\in x\wedge \forall w(w\in z\leftrightarrow (w\in y\vee w=y)))))$
7.	替代: $\forall f(\mathrm{isFun}(f)\to \forall x\exists y(y=f‘‘(x)\wedge (\mathrm{isSet}(x)\to \mathrm{isSet}(y))))$
8.	基础: $\forall x\exists y(y\in x\wedge \forall z(z\in x\to z\notin y))$
9.	构造: 这里只有有穷多句话. 1. 属于: $\exists x\forall y\forall z(\mathrm{isSet}(y)\wedge \mathrm{isSet}(z)\to (y\in z\leftrightarrow (y,z)\in x))$ 2. 等于: $\exists x\forall y(\mathrm{isSet}(y)\to y\in x)$ 3. 非: $\forall x\exists y\forall z(z\in x\leftrightarrow (\mathrm{isSet}(z)\wedge z\notin y))$ 4. 且+分离: $\forall x\forall y\exists z\forall w(w\in z\leftrightarrow (w\in x\wedge w\in y))$ 5. 存在: $\forall x\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow \exists s\in x\exists t(\mathrm{isSet}(t)\wedge s=(t,z)))$ 6. 真类卡氏积: $\forall x\forall y\exists z(\forall u\in x\forall v\in y\exists w\in z(z=(u,v))\wedge \forall w\in z\exists u\in x\exists v\in y(w=(u,v)))$ 7. 自由变元易位: $\forall x\exists y\exists z\forall a\forall b\forall c(\mathrm{isSet}(a)\wedge \mathrm{isSet}(b)\wedge \mathrm{isSet}(c)\to (((a,b,c)\in x\leftrightarrow (c,b,a)\in y)\wedge ((a,b,c)\in x\leftrightarrow (b,a,c)\in z)))$

因此, $NBG$ 可有穷公理化.

我们首先指出 $Z{F}^2$ 名称的来由.

元定理 1.3.0.4. 任给 $Z{F}^2$ 中 0 层公式 $\phi$, $Z{F}^2⊢\phi$ 当且仅当 $ZF⊢\phi$.

证明. 显然 $ZF⊢\phi$ 会导致 $Z{F}^2⊢\phi$, 我们重点观察倒过来的方向. 注意到这只需证明 $ZF/⊢\phi$ 则 $Z{F}^2/⊢\phi$, 换言之 $\mathrm{Con}(ZF+\neg \phi )\to \mathrm{Con}(Z{F}^2+\neg \phi )$, 我们只需要描述怎么把一个 $ZF+\neg \phi$ 的模型变为一个 $Z{F}^2+\neg \phi$ 的模型. 根据下行 LS 定理, 若 $ZF+\neg \phi$ 有模型, (鉴于这里出现的都是句子) 它有一个可数模型, 不妨令其论域为 $\omega$, 这个模型形若 $(\omega ,E)$(这个 $E\subseteq {\omega }^{(2)}$ 扮演属于的解释). 显然, 我们只需要验证 $(\omega ,\wp (\omega );E,\mathcal{E})$ 是 $Z{F}^2+\neg \phi$ 的模型, 其中 $\wp (\omega )$ 是二阶变元的论域, $\mathcal{E}=\{(x,X)\in \omega \times \wp (\omega )|x\in X\}$ 是关系 $ϵ$ 的解释, 这工作是简单的.

$\square$

另一方面, 很容易证明 $NBG$ 就是 $Z{F}^2$ 压扁之后的理论.

元定理 1.3.0.5. 任给 $Z{F}^2$ 中公式 $\phi$, 将其中 $\forall /\exists x(...)$ 改成 $\forall /\exists x(\mathrm{isSet}(x)\to /\wedge ...)$, $\forall /\exists X(...)$ 改成 $\forall /\exists x$ 后得到对应的 $NBG$ 中公式 ${\phi }^{♯}$, 则 $Z{F}^2⊢\phi$ 当且仅当 $NBG⊢{\phi }^{♯}$.

证明. 我们用 $Z{F}^2$ 证明 $(NBG{)}^{♮}$, 再用 $NBG$ 证明 $(Z{F}^2{)}^{♯}$, 余下逻辑工作是简单的; 前者同等简单, 我们仅关注后者, 而唯一的关键无非是证明七条构造公理足以复现类构造公理模式, 显然应当对相对化到 $\mathrm{isSet}$ 的一阶句子的结构归纳, 谁处理了谁由名称一目了然.

$\square$

类似的, 我们可以讨论 $ZF{C}^2$ 与 $NBG+AC$(或称为 $BG+AC$) 的类似关系, 但请一定将之与 $ZFG{C}^2$ 或 $NBGC$ 区分.