1.4. 常见定义速查

我们来考虑一个最简单的弱集合论.

定义 1.4.0.1. 考虑以下集合论.

•	(最简单的集合论) $S_{0}$ : 外延, 空集, 对集, 并集, 差集.
•	(受限集合论) $R e S_{0}$ : $S_{0}$ 加 $Δ_{0}$ 分离公理模式.

我们考虑它能允许集论语言扩展出哪些东西.

定义 1.4.0.2 ( $R e S_{0}$ ). 定义以下 $Δ_{0}$ 函数符号.

1.	(零元函数, 空集) $x = \emptyset \leftrightarrow \forall y \in x (y \neq = y)$
2.	(二元函数, 对集) $z = {x, y} \leftrightarrow x \in z \land y \in z \land \forall w \in z (w = x \lor w = y)$
3.	(一元函数, 并集) $y = ⋃ x \leftrightarrow \forall z \in y \exists w \in x (z \in w) \land \forall w \in x \forall z \in w (z \in y)$
4.	(二元函数, 并集) $z = x \cup y \leftrightarrow z = ⋃ {x, y}$
5.	(二元函数, 差集) $z = x \ y \leftrightarrow \forall w \in x (w \neq \in y \to w \in z) \land \forall w \in z (w \in x \land w \neq \in y)$
6.	(二元函数, 交集) $z = x \cap y \leftrightarrow \forall w \in x (w \in y \to w \in z) \land \forall w \in z (w \in x \land w \in y)$
7.	(一元函数, 交集) $z = ⋂ x \leftrightarrow \forall w \in z \exists y \in x (w \in y) \land \forall w \in z \forall y \in x (w \in y) \land \forall y \in x \forall w \in y (\forall y^{'} \in x (w \in y^{'}) \to w \in z)$
8.	(二元函数, Wiener-Kuratowski 二元组/有序对) $z = (x, y) \leftrightarrow \exists a \in z \exists b \in z (z = {a, b} \land a = {x, x} \land b = {x, y})$
9.	( $n \geq 2$ 元函数, Wiener-Kuratowski $n$ 元组) $z = (x_{0}, ..., x_{n - 1})_{W K} \leftrightarrow z = (x_{0}, (x_{1}, (..., (x_{n - 2}, x_{n - 1}) ...)))$
10.	( $n \geq 2$ 元函数, 元组) $z = (x_{0}, ..., x_{n - 1}) \leftrightarrow z = (... ((x_{0}, x_{1}), x_{2}), ..., x_{n - 1})$
11.	(一元函数, 有序对投影到第 $1$ 个分量) $y = x_{(2)}^{(0)} \leftrightarrow \exists u \in x \exists z \in u (x = (y, z)) \lor (\neg\exists u \in x \exists z \in u (x = (y, z)) \land y = \emptyset)$
12.	(一元函数, 有序对投影到第 $2$ 个分量) $z = x_{(2)}^{(1)} \leftrightarrow \exists v \in x \exists y \in v (x = (y, z)) \lor (\neg\exists v \in x \exists y \in v (x = (y, z)) \land z = \emptyset)$

评注. 采取 WK 为元组的标准定义还是采取我们这里的反 WK 为元组的标准定义都没关系, 它们主要是在处理多元函数时有所区别: 若采取 WK 元组, $f (x_{0}, ..., x_{n - 1})$ 就要理解为 $f (x_{0}) (x_{1}) ... (x_{n - 1})$ , 读 $dom (f)$ 就会得到全体 $x_{0}$ ; 若采取反 WK 元组, $f (x_{0}, ..., x_{n - 1})$ 就要理解为 $f ((x_{0}, ..., x_{n - 1}))$ , 读 $dom (f)$ 就会得到全体元组 $(x_{0}, ..., x_{n - 1})$ . 笔者喜欢后一种理解.

定义以下 $Δ_{0}$ 谓词与预函数.

1.	(二元谓词, 包含于) $x \subseteq y \leftrightarrow \forall z \in x (z \in y)$
2.	(一元谓词, 是有序对) $isOPair (x) \leftrightarrow \exists a \in x \exists b \in x \exists y \in a \exists z \in b (x = (y, z))$
3.	(一元谓词, 是关系) $isRel (x) \leftrightarrow \forall y \in x (isOPair (y))$
4.	(三元谓词, 是某两个集合之间的关系) $isRel (R, x, y) \leftrightarrow isRel (R) \land \forall u \in R \exists a \in x \exists b \in y (u = (a, b))$
5.	(二元谓词, 是某个集合之上的关系) $isRelOn (R, x) \leftrightarrow isRelOn (R, x, x)$
6.	(二元预函数, (二元) 卡氏积) $z = x \times y \leftrightarrow \forall u \in z \exists a \in x \exists b \in y (u = (a, b)) \land \forall a \in x \forall b \in y \exists u \in z (u = (a, b))$
7.	( $n \geq 2$ 元预函数, $n$ 元卡氏积) $z = x_{0} \times ... \times x_{n - 1} \leftrightarrow z = ((... ((x_{0} \times x_{1}) \times x_{2}) ... \times x_{n - 2}) \times x_{n - 1})$
8.	(一元预函数, $n$ 重卡氏幂) $z = x^{(n)} \leftrightarrow z = x \times ... \times x$ (重复 $n$ 次)
9.	(一元预函数, 幂集) $z = ℘ x \leftrightarrow \forall y \in z \forall w \in y (w \in x) \land \forall y (\forall w \in y (w \in x) \to y \in z)$ , 这个预函数 $Π_{1}$ .

接着定义以下 $Δ_{0}$ 函数.

1.	(一元函数, 定义域) $y = dom (x) \leftrightarrow \forall z \in y \exists w \in x (z = w_{(2)}^{(0)}) \land \forall w \in x \forall u \in w \forall v \in u (v = w_{(2)}^{(0)} \to v \in y)$
2.	(一元函数, 值域) $y = ran (x) \leftrightarrow \forall z \in y \exists w \in x (z = w_{(2)}^{(1)}) \land \forall w \in x \forall u \in w \forall v \in u (v = w_{(2)}^{(1)} \to v \in y)$
3.	(二元函数, 限制) $z = x ↾ y \leftrightarrow \forall w \in z (isOPair (w) \land w \in x \land \exists a \in w \exists b \in a (a = {b} \land b \in y)) \land \forall b \in y \exists w \in z \exists a \in w (a = {b})$
4.	(二元函数, 像集) $z = x ‘‘ y \leftrightarrow \forall w \in z \exists u \in x \exists b \in y (isOPair (u) \land \exists v_{1} \in u \exists v_{2} \in u (v_{1} = {b} \land v_{2} = {b, w})) \land \forall b \in y (\exists u \in x (isOPair (u) \land \exists v_{1} \in u (v_{1} = {b})) \to \exists w \in z \exists u \in x (isOPair (u) \land \exists v_{1} \in u \exists v_{2} \in u (v_{1} = {b} \land v_{2} = {b, w})))$

定义以下 $Δ_{0}$ 的谓词与预函数.

1.	(一元谓词, 是函数) $isFun (x) \leftrightarrow \forall y \in x (isOPair (y)) \land \forall u_{1} \in x \forall u_{2} \in x \forall v_{1}^{1} \in u_{1} \forall v_{1}^{2} \in u_{1} \forall v_{2}^{1} \in u_{2} \forall v_{2}^{2} \in u_{2} (u_{1} = {v_{1}^{1}, v_{1}^{2}} \land u_{2} = {v_{2}^{1}, v_{2}^{2}} \land v_{1}^{1} = v_{2}^{1} \land isSingSet (v_{1}^{1}) \to v_{1}^{2} = v_{2}^{2})$
2.	(三元谓词, 是某两个集合之间的函数) $isFunOn (f, x, y) \leftrightarrow isRelOn (R, x, y) \land \forall z \in x \exists u \in y \forall v \in y ((z, v) \in f \leftrightarrow u = v)$
3.	(一元谓词, 是双射), $isBij$ : $isBij (f)$ 定义为 $isFun (f) \land \forall x \in f \forall y \in f (\exists u \in x \exists v \in u (u = {v} \land u \in y) \to x = y)$
4.	(三元谓词, 是某两个集合之间的单射) $isInjOn (f, x, y) \leftrightarrow isFunOn (f, x, y) \land \forall u \in x \forall v \in x (\exists w \in y ((u, w) \in f \land (v, w) \in f) \to u = v)$
5.	(三元谓词, 是某两个集合之间的满射) $isSurjOn (f, x, y) \leftrightarrow isFunOn (f, x, y) \land \forall w \in y \exists z \in x ((z, w) \in f)$
6.	(三元谓词, 是某两个集合之间的双射) $isBijOn (f, x, y) \leftrightarrow isInjOn (f, x, y) \land isSurjOn (f, x, y)$
7.	(一元预函数, 恒等) $f = id (x) \leftrightarrow isFunOn (f, x, x) \land isEquiOn (f, x)$
8.	(二元预函数, 复合) 记公式 $φ_{0} (f, g, h)$ 为 $isFun (f) \land isFun (g) \land isFun (h)$ 公式 $φ_{1} (f, g, h)$ 为 $\forall u_{1} \in h \forall v_{1}^{1} \in u_{1} (\exists x \in v_{1}^{1} (v_{1}^{1} = {x}) \to \exists v_{1}^{2} \in u_{1} \exists x \in v_{1}^{2} \exists y \in v_{1}^{2} \exists u_{2} \in g \exists v_{2}^{1} \in u_{2} \exists v_{2}^{2} \in u_{2} \exists z \in v_{2}^{2} \exists u_{0} \in f \exists v_{0}^{1} \in u_{0} \exists v_{0}^{2} \in u_{0} (v_{1}^{1} = {x} \land v_{1}^{2} = {x, y} \land v_{2}^{1} = {y} \land v_{2}^{2} = {y, z} \land v_{0}^{1} = {x} \land v_{0}^{2} = {x, z} \land u_{1} = {v_{1}^{1}, v_{1}^{2}} \land u_{2} = {v_{2}^{1}, v_{2}^{2}} \land u_{0} = {v_{0}^{1}, v_{0}^{2}}))$ 公式 $φ_{2} (f, h)$ 为 $\forall u_{0} \in f \forall v_{0}^{1} \in u_{0} (\exists x \in v_{0}^{1} (v_{0}^{1} = {x}) \to \exists u_{1} \in h (v_{0}^{1} \in u_{1}))$ 公式 $φ_{3} (g, h)$ 为 $\exists u_{1} \in h \exists v_{1}^{2} \in u_{1} \exists y \in v_{1}^{2} \forall u_{2} \in g \forall v_{2}^{1} \in u_{2} (\neg (v_{2}^{1} = {y}))$ 则 $f = g \circ h \leftrightarrow (φ_{1} (f, g, h) \land φ_{2} (f, h) \land \neg φ_{3} (g, h) \land φ_{0} (f, g, h)) \lor ((\neg φ_{0} (f, g, h) \lor φ_{3} (g, h)) \land f = \emptyset)$ 直观上, $φ_{0}$ 说它们仨都是函数, $φ_{1}$ 说每个形如 $g (h (x))$ 的东西都是某个 $f (x)$ , $φ_{2}$ 说 $dom (f) \subseteq dom (h)$ , $\neg φ_{3}$ 说 $ran (h) \subseteq dom (g)$ .
9.	(二元谓词, 是分裂对) 记公式 $φ (f, g)$ 为 $\forall u_{2} \in g \forall v_{2}^{1} \in u_{2} \forall v_{2}^{2} \in u_{2} (\exists y \in v_{2}^{1} \exists x \in v_{2}^{2} (v_{2}^{1} = {y} \land v_{2}^{2} = {y, x} \land u_{2} = {v_{2}^{1}, v_{2}^{2}}) \to \exists y \in v_{2}^{1} \exists x \in v_{2}^{2} \exists u_{1} \in f \exists v_{1}^{1} \in u_{1} (v_{2}^{1} = {y} \land v_{2}^{2} = {y, x} \land v_{1}^{1} = {x} \land u_{1} = {v_{1}^{1}, v_{2}^{2}}))$ 则 $isSplitPair (f, g) \leftrightarrow isFun (f) \land isFun (g) \land φ (f, g)$ 直观上, $φ (f, g)$ 说 $\forall y \in dom (g) ((y, y) \in f \circ g)$ .
10.	(二元谓词, 是逆) $isInverse (f, g) \leftrightarrow isSplitPair (f, g) \land isSplitPair (g, f)$

定义以下 $Δ_{0}$ 的谓词.

1.	(二元谓词, 自反关系) $isReflOn (R, x) \leftrightarrow isRelOn (R, x) \land \forall y \in x ((y, y) \in R)$
2.	(二元谓词, 非自反关系) $isNReflOn (R, x) \leftrightarrow isRelOn (R, x) \land \forall y \in x (\neg ((y, y) \in R))$
3.	(二元谓词, 对称关系) $isSymOn (R, x) \leftrightarrow isRelOn (R, x) \land \forall y \in x \forall z \in x ((y, z) \in R \to (z, y) \in R)$
4.	(二元谓词, 非对称关系) $isNSymOn (R, x) \leftrightarrow isRelOn (R, x) \land \forall y \in x \forall z \in x ((y, z) \in R \to \neg ((z, y) \in R))$
5.	(二元谓词, 反对称关系) $isASymOn (R, x) \leftrightarrow isRelOn (R, x) \land \forall y \in x \forall z \in x ((y, z) \in R \to (z, y) \in R \to z = y)$
6.	(二元谓词, 传递关系) $isTransOn (R, x) \leftrightarrow isRelOn (R, x) \land \forall y \in x \forall z \in x \forall w \in x ((y, z) \in R \to (z, w) \in R \to (y, w) \in R)$
7.	(二元谓词, 线关系) $isLinOn (R, x) \leftrightarrow isRelOn (R, x) \land \forall y \in x \forall z \in x ((y, z) \in R \lor (z, y) \in R)$
8.	(二元谓词, 三岐关系) $isTriOn (R, x) \leftrightarrow isRelOn (R, x) \land \forall y \in x \forall z \in x ((y, z) \in R \lor (z, y) \in R \lor z = y)$
9.	(二元谓词, 预序) $isPreOon (R, x) \leftrightarrow isReflOn (R, x) \land isTransOn (R, x)$
10.	(二元谓词, 严格预序) $isSPreOon (R, x) \leftrightarrow isNReflOn (R, x) \land isTransOn (R, x)$
11.	(二元谓词, 偏序) $isPOon (R, x) \leftrightarrow isPreOon (R, x) \land isASymOn (R, x)$
12.	(二元谓词, 严格偏序) $isSPOon (R, x) \leftrightarrow isSPreOon (R, x) \land isNSymOn (R, x)$
13.	(二元谓词, 线序) $isLOon (R, x) \leftrightarrow isPOon (R, x) \land isLinOn (R, x)$
14.	(二元谓词, 严格线序) $isSLOon (R, x) \leftrightarrow isSPOon (R, x) \land isTriOn (R, x)$
15.	(二元谓词, 等价关系) $isEquiOn (R, x) \leftrightarrow isPOon (R, x) \land isSymOn (R, x)$
16.	(二元谓词, 外延关系) $isExtOn (R, x) \leftrightarrow isRelOn (R, x) \land \forall y \in x \forall z \in x (\forall w \in x ((w, y) \in R \leftrightarrow (w, z) \in R) \to y = z)$

定义以下 $Δ_{0}$ 的谓词与函数符号.

1.	(一元谓词, 是传递集) $isTrans (x) \leftrightarrow \forall y \in x \forall z \in y (z \in x)$
2.	(一元谓词, 是序数) $isOrd (x) \leftrightarrow isTrans (x) \land \forall y \in x \forall z \in x (y \in z \lor z \in y \lor y = z)$
3.	(一元函数, 后继) $y = (S u cc) (x) \leftrightarrow \forall z \in y (z \in x \lor z = x) \land x \in y \land x \subseteq y$
4.	(一元谓词, 是后继序数) $isSuccOrd (x) \leftrightarrow isOrd (x) \land \exists y \in x (x = Succ (y))$
5.	(一元谓词, 是极限序数) $isLimOrd (x) \leftrightarrow isOrd (x) \land \forall y \in x \exists z \in x (z = Succ (y))$

定义以下 $Π_{1}$ 谓词.

1.	(二元谓词, 是良基关系) $isWFOn (R, x) \leftrightarrow isRelOn (R, x) \land \forall y (\exists a \in y \land y \subseteq x \to \exists a \in y \forall b \in y ((a, b) \in R))$ .
2.	(二元谓词, 是良序关系) $isWOOn (R, x) \leftrightarrow isLOOn (R, x) \land \forall y (\exists a \in y \land y \subseteq x \to \exists a \in y \forall b \in y ((a, b) \in R))$ .
3.	(一元谓词, 是超传递集) $isSTrans (x) \leftrightarrow \exists y \in x \land \forall y \in x \forall z (z \in y \lor \forall w \in z (w \in y) \to z \in x)$

证明. 验证诸函数及预函数良定略.

$□$

$R e S_{0}$ 能论证大多数我们熟知的所有仅用到以上概念的集合论命题, 我们不会继续一一验证并展开讨论.

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