6.1. L

我们先来考虑 Godel 的内模型 $\mathbf{L}$. 它原本是 C, 但是因为选用的字体印刷效果太像 $\mathbf{L}$ 了, 所以所有人都叫他 $\mathbf{L}$.

我们首先来看可定义的定义.

定义 6.1.0.1. 给定公式 $\phi (x_0,...,x_{\mathfrak{m}},v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1})$. 对一集合 $M$ 中诸元素 $$\begin{gathered} v_0,..., \\ {v}_{\mathfrak{n}-1} \end{gathered}$$, 如果集合 $N\subseteq M^{(\mathfrak{m}+1)}$ 满足 $(x_0,...,x_{\mathfrak{m}})\in N$ 当且仅当 $M\models \phi$, 则称 $N$ 由公式 $\phi$ 和参数 $v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1}$ 从 $M$ 中定义.

特别的, 我们考虑 $\wp (M)$ 的子集 ${\wp }^{Def}(M)$, 集合 $N\in {\wp }^{Def}(M)$ 当且仅当存在单自由变元公式 $\phi (x,v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1})$, 其中诸常元 $v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1}\in M$, 满足 $\forall x(x\in N\leftrightarrow x\in M\wedge M\models \phi )$.

后面这个定义并不元 (因为我们只用到了 $M\models \phi$ 这个 ${\Delta }_0$ 真谓词), 我们甚至有好几个对它的等价刻画.

元定理 6.1.0.2. 若 $M$ 传递, 对 $\wp (M)$ 的元素 $N$, 以下四条件等价:

1.	有单自由变元公式 $\phi (x,v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1})$, 诸常元 $v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1}\in M$, 满足 $\forall x(x\in N\leftrightarrow x\in M\wedge M\models \phi )$.
2.	有单自由变元 ${\Delta }_0$ 公式 $\phi (x,v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1},M)$, 诸常元 $v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1}\in M$, 满足 $\forall x(x\in N\leftrightarrow x\in M\wedge \mathrm{Succ}(M)\models \phi )$.
3.	有基础函数符号 $B$, 使得 $N=B(v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1},M)$, $v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1}\in M$.
4.	有基本函数符号 $R$, 使得 $N=R(v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1},M)$, $v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1}\in M$.

证明. 显然 $1\to 2$(相对化到 $M$), $2\to 3$(${\Delta }_0$ 分离子基础), $3\to 4$(基础必基本), $4\to 2$(基本必可替), 只需最后验证 $2\to 1$; 这是因为 $M$ 传递从而 $\mathrm{Succ}(M)$ 传递, 从而 $\mathrm{Succ}(M)\models \phi$ 当且仅当 $\phi$ 确实对, 而我们可以做以下操作:

1.	如果 $M$ 出现之处形如 $\exists y\in M$, 把它改成 $\exists y$.
2.	如果 $M$ 出现之处形如 $y\in M$, 把它丢掉; 如果形如 $M\in y$, 把它改成 $\exists m\in y\forall z(z\in m)$.
3.	如果 $M$ 出现之处形如 $y=M$, 把它改成 $\forall z(z\in y)$.

显然将含 $M$ 的 ${\Delta }_0$ 句子如此改造一番后再相对化到 $M$ 中效果和原先等同, 因此 $2\to 1$.

$\square$

评注. 显然 $3,4$ 也可以改成 $N\in \mathrm{bsc}(M)$ 或 $N\in \mathrm{rud}(M)$. 因此, ${\wp }^{Def}(M)=\wp (M)\cap \mathrm{bsc}(M)=\wp (M)\cap \mathrm{rud}(M)$. 这并不是个平凡的事实, 因为 $D{B}_0/⊢G{J}_0$, 我们总有 $\mathrm{bsc}(M)⊊\mathrm{rud}(M)$. 不过它们的构造过程都要将 $M$ 的 ${\mathrm{rank}}_{\in }$ 加一个 $\omega$, 这里的事实说明它们在对 ${\mathrm{rank}}_{\in }$ 加一的时候还没发生分歧.

接下来, 我们用 Godel 原始的定义给出 $L$ 层级.

定义 6.1.0.3. 递归定义以下层级:

1.	$L_0=\varnothing$
2.	$L_{\alpha +1}={\wp }^{Def}(L_{\alpha })$
3.	$\alpha$ 是极限序数时, $L_{\alpha }={\bigcup }_{\beta \in \alpha }{L}_{\beta }$

我们记 $\mathbf{L}={\bigcup }_{\alpha \in \mathbf{Ord}}{L}_{\alpha }$ 为可构造宇宙.

我们指出以下事实.

定理 6.1.0.4. $\mathbf{L}\models ZF+\mathbf{V}=\mathbf{L}$

证明. 显然 $\mathbf{L}$ 是传递的, 因此外延公理和基础公理成立, 且 ${\Delta }_0$ 句子相对化时不改变真假. 显然 $\omega \in L_{\omega +1}$ 见证无穷公理, 下验证其余诸公理的相对化.

1.	对集: $z=\{x,y\}$ 是 ${\Delta }_0$ 公式.
2.	分离模式: 给定诸参数 $v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1}$ 和 $x\in \mathbf{L}$, 我们来验证 $\exists y\in \mathbf{L}\forall z\in \mathbf{L}(z\in y\leftrightarrow z\in x\wedge {\phi }^{\mathbf{L}})$. 对 $\mathbf{L}$ 使用反射原理, 我们有一个极限序数 $\alpha$ 使得 $x,v_0,...,v_{\mathfrak{n}}\in {\mathbf{L}}_{\alpha }$ 且 ${\phi }^{\mathbf{L}}$ 当且仅当 ${\phi }^{L_{\alpha }}$. 我们从 $L_{\alpha }$ 中分离出子集 $y=\{z\in L_{\alpha }|z\in x\wedge {\phi }^{L_{\alpha }}\}$, 显然 $y\in L_{\alpha +1}$.
3.	并集: $y\in \bigcup x$ 是 ${\Delta }_0$ 公式, 从 $x$ 属于的 $L_{\alpha }$ 中分离.
4.	幂集: 我们断言 $\mathbf{L}$ 指认的 $x$ 的幂集 ${\wp }^{\mathbf{L}}(x)$ 恰好是 $\mathbf{L}\cap \wp (x)$. $y\subseteq x$ 是 ${\Delta }_0$ 的, 所以如果前者存在则必为后者, 但后者又因必然是某个 $L_{\alpha }$ 的子集已经被我们从其上用 $x$ 所定义了.
5.	替代: 我们所要的东西逐点可定义, 从而它是某 $L_{\alpha }$ 的可定义子集, 从而它仍属于 $\mathbf{L}$.
6.	$\mathbf{V}=\mathbf{L}$: 这意味着我们要证明 $x=L_{\alpha }$ 是 ${\Delta }_1^{ZF}$ 的, 因而 $\mathbf{L}$ 指认的 $L_{\alpha }$ 就是真的 $L_{\alpha }$. (注意, $y=V_{\alpha }$ 是 ${\Pi }_1$ 的, 所以 $\mathbf{L}$ 指认的 $V_{\alpha }$ 是真正的 $V_{\alpha }$ 和 $\mathbf{L}$ 的交集, 正如我们在幂集那里看到的一样. ) 鉴于这肯定是是因为 $x=L_{\alpha }$ 等价于 “存在抵达 $\alpha$ 的尝试在 $\alpha$ 处计算出 $x$” 和 “任给抵达 $\alpha$ 的尝试必在 $\alpha$ 出计算出 $x$”, 只需证明 “$f$ 是 $L$ 层级抵达 $\alpha$ 的尝试” 这句话 ${\Sigma }_1$, 而这正是 $\mathrm{isFun}(f)\wedge \mathrm{isOrd}(\mathrm{dom}(f))\wedge \alpha \in \mathrm{dom}(f)\wedge \forall \theta \in \mathrm{dom}(f)((\theta =\varnothing \to f(\theta )=\varnothing )\wedge \exists \gamma \in \theta (\theta =\mathrm{Succ}(\gamma )\wedge f(\theta )={\wp }^{Def}(f(\gamma )))\wedge (\mathrm{isLimOrd}(\theta )\to f(\theta )={\bigcup }_{\gamma \in \theta }f(\gamma )))$, 这意味着只需验证 $y={\wp }^{Def}(x)$ 是 ${\Sigma }_1$ 的, 而这句话恰是 $\exists f(\mathrm{dom}(f)=\omega \wedge \forall n\in \mathrm{dom}(f)((n=\varnothing \to f(n)=x)\wedge \exists m\in n(n=\mathrm{Succ}(m)\to f(n)=\mathbf{T}(f(m))))\wedge y=\mathrm{ran}(f)\cap \wp (x))$.

$\square$

评注. $\mathbf{V}=\mathbf{L}$ 的复杂度是 ${\Pi }_2$ 的是一个重要的事实.

因此, 在 $\mathbf{L}$ 中论证相当于在公理 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$ 下论证. 我们接着证明,

定理 6.1.0.5 ($ZF+\mathbf{V}=\mathbf{L}$). 存在一个 ${\Sigma }_1$ 公式定义了宇宙的良序 ${<}^L$.

证明. 这个良序的构造想法很简单: 因为全体基本算子显然从 ${\mathcal{R}}_{\mathfrak{i}}$ 一层一层地垒起来, 我们只要一层一层地按照集合被谁算出来把 $\mathbf{L}$ 里的集合排起来就好了. 例如, 我们归纳地对每个 $\alpha$ 定义 $L_{\alpha }$ 上的关系 ${<}_{\alpha }^L$ 如下:

1.	${<}_0^L=\{\varnothing \}$
2.	${<}_{\alpha +1}^L$ 是以下递归定义的诸 ${<}_{\alpha +1;n}^L$ 的并, 其中 $n\in \omega$; 1. ${<}_{\alpha +1;0}^L$ 是在 ${<}_{\alpha }^L$ 的基础上让 $L_{\alpha }$ 大于之前每个东西. 2. $x{<}_{\alpha +1;n+1}^{L}y$ 当且仅当以下三者之一正确: 1. $x{<}_{\alpha +1;n}^{L}y$; 2. $x$ 可以被 $n$ 层 ${\mathcal{R}}_{\mathfrak{i}}$ 算出来但 $y$ 不行; 3. $x,y$ 都不能被 $n$ 层 ${\mathcal{R}}_{\mathfrak{i}}$ 算出来, 但它们被 $n+1$ 层 ${\mathcal{R}}_{\mathfrak{i}}$ 算出来, 且以下三者之一正确: 1. $x$ 被算出来所用的 ${\mathcal{R}}_{\mathfrak{i}}$ 的最小可能下标小于 $y$ 的; 2. 上面指标相等, 但 $x$ 用的第一个变元在 ${<}_{\alpha +1;n}^L$ 下的最小可能比 $y$ 的小; 3. 上面两指标都相等, 但 $x$ 用的第二个变元在 ${<}_{\alpha +1;n}^L$ 下的最小可能比 $y$ 的小.
3.	对极限序数 $\alpha$, 令 ${<}_{\alpha }^L$ 为之前诸 ${<}_{\beta }^L(\beta \in \alpha )$ 的并.

$\square$

推论 6.1.0.6. $ZF+\mathbf{V}=\mathbf{L}⊢(AC)$

然而, 我们还有更令人惊异的事实.

定理 6.1.0.7 ($ZF+\mathbf{V}=\mathbf{L}$). $GCH$ 成立.

证明. 我们需要一个重要的引理, 它指出 $L$ 层级的构造具有某种典范性.

引理 6.1.0.8 (Godel 凝聚性引理, L 版本). $ZF$ 可证: 给定极限序数 $\alpha$, 若传递集 $M{\prec }_{{\Sigma }_1}{L}_{\alpha }$, 则其坍塌唯一确认一个极限序数 $\beta \in \alpha$ 使得 $M$ 与 $L_{\beta }$ 同构.

证明. $M{\prec }_{{\Sigma }_1}{L}_{\alpha }$ 说明 $L_{\alpha }$ 满足的 ${\Pi }_2$ 句子都被 $M$ 满足, 因此 $L_{\alpha }\models \forall \alpha \in \mathbf{Ord}\exists \beta \in \mathbf{Ord}(\alpha \in \beta )$ 说明 $M$ 的坍塌的 ${\mathrm{rank}}_{\in }$ 是极限序数, 而 $L_{\alpha }\models \mathbf{V}=\mathbf{L}$ 则说明 $M$ 坍塌同样认为 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$, 从而它确实是某个 $L_{\beta }$.

$\square$

为证明 $GCH$, 我们对每个 ${\omega }_{\alpha }$(注意我们在 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$ 中工作) 的子集 $x$ 证明存在 $\gamma <{\omega }_{\alpha +1}$ 使得 $x\in L_{\gamma }$, 这样 $\wp ({\omega }_{\alpha })\subseteq L_{{\omega }_{\alpha +1}}$ 和显然的 $|L_{\theta }|=|\theta |$ 就指出 $|\wp ({\omega }_{\alpha })|={\omega }_{\alpha +1}$.

鉴于 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$, 必有 $\delta$ 使得 $x\in L_{\delta }$. 使用下行 LS 定理取 $L_{\delta }$ 的初等子模型 $M$ 满足 ${\omega }_{\alpha }\subseteq M$ 且 $x\in M$, 根据我们的要求有 $|M|\le {\omega }_{\alpha }$; 由凝聚性引理就知道 $M$ 的传递坍塌一定是一个让 $|\gamma |\le {\omega }_{\alpha }$ 的 $L_{\gamma }$, 于是必然 $\gamma <{\omega }_{\alpha +1}$; 而 $x\subseteq {\omega }_{\gamma }\subseteq M$ 则说明 $x$ 在 $M$ 中的传递坍塌仍然是 $x$, 综合得到 $x\in L_{\gamma }$.

$\square$

推论 6.1.0.9. $\mathrm{Con}(ZF)\to \mathrm{Con}(ZFC+GCH)$

这是否意味着我们应当居住在 $\mathbf{L}$ 之中? 不幸的是, 下一章中我们将遇到的大基数 $0^{\#}$ 将否定 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$, 因此基于宇宙应当大全的信念, 我们实在应当放弃这一公理.