6.2. L 的推广

我们将 $\mathbf{L}$ 的构造推广到带一个谓词 $\dot{A}$ 的扩展集合论语言 ${\mathcal{L}}_{\dot{A}}$ 中. 我们此时使用的集合论是 $ZF$, 但额外添加对所有含 $\dot{A}$ 公式的分离公理模式. 我们仍然有关于可定义性的讨论.

元定理 6.2.0.1. 若 $M$ 传递, 则对 $\wp (M)$ 的元素 $N$, 以下四条件等价:

1.	有单自由变元公式 $\phi (x,v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1})$, 诸常元 $v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1}\in M$, 满足 $\forall x(x\in N\leftrightarrow x\in M\wedge M\models \phi )$.
2.	有单自由变元 ${\Delta }_{0;\dot{A};}$ 公式 $\phi (x,v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1},M)$, 诸常元 $v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1}\in M$, 满足 $\forall x(x\in N\leftrightarrow x\in M\wedge \mathrm{Succ}(M)\models \phi )$.
3.	有 $\dot{A}-$ 基础函数符号 $B$, 使得 $N=B(v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1},M)$, $v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1}\in M$.
4.	有 $\dot{A}-$ 基本函数符号 $R$, 使得 $N=R(v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1},M)$, $v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1}\in M$.

证明. 和以前的证明没啥区别.

$\square$

定义 6.2.0.2. 记全体满足上等价条件的 $M$ 子集构成的集为 ${\wp }^{De{f}_{\dot{A}}}(M,{\dot{A}}^M)$.

然而, 用这个来造 $L$ 层级会遇到一个问题: 我们不知道 ${\wp }^{De{f}_{\dot{A}}}$ 后的集合上面对 $\dot{A}$ 的解释到底怎么办. 因此, 有两种补救方案, 一种是宣称 $\dot{A}$ 是集合 $A$, 另一种是宣称 $\dot{A}$ 是类 (从而可由一公式定义). 我们先考虑前者.

定义 6.2.0.3. 在 $ZF$ 所描述的集合宇宙中, 我们指定一个集合 $A$, 然后将 $\mathbf{V}$ 扩展为 ${\mathcal{L}}_{\dot{A}}$ 结构 $(\mathbf{V},A)$, 使得 $\dot{A}(x)$ 当且仅当 $x\in A$.

我们在此时定义以下层级:

1.	$L_0[A]=\varnothing$
2.	$L_{\alpha +1}[A]={\wp }^{De{f}_A}(L_{\alpha }[A],L_{\alpha }[A]\cap A)$
3.	对极限序数 $\alpha$, $L_{\alpha }[A]={\bigcup }_{\beta \in \alpha }{L}_{\beta }[A]$

由此产生的真类记为 $\mathbf{L}[A]={\bigcup }_{\alpha \in \mathbf{Ord}}{L}_{\alpha }[A]$. 注意, 由于 $L_{\alpha }[A]\cap A$ 也被 $\{x\in L_{\alpha }[\dot{A}]|\dot{A}(x)\}$ 所定义, $\mathbf{L}[A]$ 既可以视为在语言 ${\mathcal{L}}_A$ 中无参可定义, 也可以视为在语言 ${\mathcal{L}}_{\in }$ 中带参数 $A$ 可定义. 在需要区分时, 将前者记为 $\mathbf{L}[\dot{A}]$.

值得指出的是以下事实.

定理 6.2.0.4. 记 $\bar{A}=A\cap \mathbf{L}[A]\in \mathbf{L}[A]$, 则 $\mathbf{L}[A]$ 满足 $ZF$, 且在其上将谓词 $\dot{A}$ 解释为 $\bar{A}$ 后它满足 $\mathbf{V}=\mathbf{L}[\dot{A}]$. 更弱地, $\mathbf{L}[A]$ 满足 $\exists A(\mathbf{V}=\mathbf{L}[A])$.

证明. $L_{\alpha }[A]\cap A=L_{\alpha }[A]\cap \bar{A}=L_{\alpha }[\bar{A}]\cap \bar{A}$.

$\square$

评注. 就是说 $A$ 只有包含在 $\mathbf{L}[A]$ 中的那部分信息 $\bar{A}$ 为后者所知.

不过, 全局良序的定义仍然完好无损.

定理 6.2.0.5. 存在 ${\Sigma }_1$ 公式对每个 $\alpha$ 定义 $L_{\alpha }[A]$ 上的关系 ${<}_{\alpha }^{L[A]}$.

凝聚性引理却有所不同.

引理 6.2.0.6. 如果 $(M,R){\prec }_{{\Sigma }_1}(L_{\alpha }[A],B)$, 其中 $\alpha$ 极限, $B\subseteq L_{\alpha }[A]$ 作为谓词让结构 $(L_{\alpha }[A],B)$ 满足扩展语言中的分离公理模式, 则 $(M,R)$ 的坍塌必然形如 $(L_{\beta }[A^{\prime }],B^{\prime })$, 其中 $\beta$ 同样极限, $B^{\prime }\subseteq L_{\beta }[A^{\prime }]$ 作为谓词也能让 $(L_{\beta }[A^{\prime }],B^{\prime })$ 满足扩展语言中的分离公理模式.

证明. 这同样是因为 $\mathbf{V}=\mathbf{L}[\dot{A}]$ 是 ${\mathcal{L}}_{\dot{A}}$ 中的 ${\Pi }_2$ 句子.

$\square$

换言之, 凝聚性引理现在只能保证我们论域的结构, 却无法确认 $A^{\prime }$ 与 $A$、$B^{\prime }$ 与 $B$ 究竟有何关系, 我们没办法对随便一个 $A$ 证明 $\mathbf{L}[A]\models GCH$. 我们引入额外的条件.

定义 6.2.0.7. 如果对任何极限序数 $\alpha$ 和 ${\Sigma }_1$ 初等嵌入 $\pi :L_{\beta }[A^{\prime }]{\to }_{{\Sigma }_1}{L}_{\alpha }[A]$, 都必然有 $A\cap L_{\beta }[A^{\prime }]=A^{\prime }\cap L_{\beta }[A^{\prime }]$, 则称 $A$ 有全局 $L-$ 凝聚性.

我们可以指出, 许多简单的集都有全局 $L-$ 凝聚性.

定理 6.2.0.8. 任何 $A\subseteq \omega$ 都有全局 $L-$ 凝聚性.

证明. 对任何 $n\in \omega$ 都必须有 $\pi (n)=n$, 于是 $A^{\prime }={\pi }^{-1}‘‘A=A$.

$\square$

而全局 $L-$ 凝聚性正是证明 $GCH$ 所需的性质.

定理 6.2.0.9 ($ZFC$). 若 $A$ 有全局 $L-$ 凝聚性, 则 $\mathbf{L}[A]\models GCH$.

证明. 我们来证明: 任给序数 $\kappa \in \mathbf{L}[A]$, 若 $\mathbf{L}[A]$ 将其指认为基数, 并将 $\tau >\kappa$ 指认为其后继基数, 则 $\wp (\kappa )\cap \mathbf{L}[A]\subseteq L_{\tau }[A]$.

让我们取一个 $x\in \wp (\kappa )\cap \mathbf{L}[A]$, 不妨让 $x\in L_{\alpha }[A]$, 我们走进 $\mathbf{L}[A]$ 里面来论证, 不妨假定 $A\in \mathbf{L}[A]$(否则以 $\bar{A}$ 替之). 运用下行 LS 定理, 让我们取包括 $\kappa$ 和 $x$ 的 $L_{\alpha }[A]$ 的初等子模型 $M$, 其基数当不超过 $\kappa$; 坍塌之, 由凝聚性引理得到某个 $L_{\beta }[A^{\prime }]$, 于是 $\beta <{\kappa }^{+}=\tau$; 又因为 $A$ 全局 $L-$ 凝聚, $A^{\prime }\cap L_{\beta }[A^{\prime }]=A\cap L_{\beta }[A^{\prime }]$, 因此 $L_{\beta }[A^{\prime }]=L_{\beta }[A]$. 鉴于坍塌过程中 $\kappa$ 不可移动, $x\subseteq \kappa$ 当然也未曾移动, 因此 $x\in L_{\beta }[A]\subseteq L_{\tau }[A]$.

$\square$

推论 6.2.0.10 ($ZFC$). 任给 $A\subseteq \omega$, $\mathbf{L}[A]\models GCH$.

这个推论有两个强化.

定理 6.2.0.11 ($ZFC$). 存在 $\alpha \in \mathbf{Ord}$, 使得 $\mathbf{L}[A]\models \forall \kappa \ge {\aleph }_{\alpha }(2^{\kappa }={\kappa }^{+})$. 换言之, $GCH$ 在 $\mathbf{L}[A]$ 充分高的地方成立.

证明. 只要让 $\bar{A}\subseteq L_{{\aleph }_{\alpha }}[A]$.

$\square$

评注. 这说明全局 $L-$ 凝聚的作用主要体现在层级底端. 我们所需的条件甚至可以减弱到 $\bar{A}\subseteq L_{({\aleph }_{\alpha +1}{)}^{\mathbf{L}[A]}}[A]$, 具体技术细节不妨参考下个定理的证明.

定理 6.2.0.12. $(ZFC+\exists A\subseteq {\omega }_1(\mathbf{V}=\mathbf{L}[A]))$ $GCH$ 成立.

证明. 由上个定理, 其实只需要证明 $CH$ 成立. 对 $\omega$ 的子集 $x$, 我们证明存在可数序数 $\alpha$ 使得 $x\in L_{\alpha }[A]$. 在用到凝聚性引理时, 我们只需要对 $\pi :L_{\beta }[A^{\prime }]{\to }_{{\Sigma }_1}{L}_{\alpha }[A]$ 在 $\beta <{\omega }_1$ 时证明 $A\cap L_{\beta }[A^{\prime }]=A^{\prime }\cap L_{\beta }[A^{\prime }]$, 也就是 $A^{\prime }=A\cap \beta$. 事实上, 我们要论证 $\pi$ 不能移动任何可数序数.

首先, $x=\omega$ 是 ${\Delta }_0$ 的, 所以 $\pi (\omega )=\omega$. 如果 $\pi (\alpha )=\alpha$, 鉴于 $\mathrm{Succ}$ 是 ${\Delta }_0$ 的, $\pi (\alpha +1)=\alpha +1$. 现在考察极限序数 $\gamma <\beta$. 鉴于它可数, 有其共尾序列 $⟨{\gamma }_n|n\in \omega ⟩:\omega \to \gamma$, $\pi$ 既不能改变 $\omega$, 也不能改变任何 ${\gamma }_n$(归纳假设), 因此 $\pi (\gamma )={\lim }_{n\in \omega }\pi ({\gamma }_n)={\lim }_{n\in \omega }{\gamma }_n=\gamma$.

$\square$

评注. 此定理不能继续改进到 $A\subseteq {\omega }_2$ 的情形: 假定 $\mathbf{V}\models 2^{{\aleph }_0}={\aleph }_2$, 让 $A$ 编码这个双射, 那么 $\mathbf{L}[A]$ 就不可能满足 $CH$ 了. 这个定理同样也不能改进为 $ZFC$ 对所有 $A\subseteq {\omega }_1$ 证明 $\mathbf{L}[A]\models GCH$(事实上, $ZFC+\exists A\subseteq {\omega }_1(\mathbf{L}[A]\models \neg CH)$ 是一致的), 其间区别在于 ${\omega }_1$ 是 $\mathbf{V}$ 看到的而不是 $\mathbf{L}[A]$ 算出来的.

现在, 我们再回头看当时对 $\dot{A}$ 究竟应当是集合还是应当是类的讨论, 就相当清晰了. 当它是无参可定义类时, 显然我们直接有 $\mathbf{L}[A]=\mathbf{L}$; 因此我们要考虑的无非是它是含参可定义类的情况, 而这相对于上述讨论无非是将 $\cap A$ 换成 $\phi (...)$, 其中并无本质困难.

$\mathbf{L}[A]$ 体现出 $ZFC$ 中这样一种思想: 任何集合都可编码为序数集. 这个思想有两个佐证.

定理 6.2.0.13 ($ZFC$). 任给集 $A$ 都有集 $B\subseteq \mathbf{Ord}$ 使 $\mathbf{L}[A]=\mathbf{L}[B]$.

证明. 取 $\bar{A}$, 然后考虑 $\mathrm{TCo}(\bar{A})$ 到某基数 $\kappa$ 的双射, 顺便将其上的 $\in$ 关系变为 $\kappa$ 上的关系 $R$. 鉴于 $R\subseteq {\mathbf{Ord}}^{(2)}$, 我们用典范双射再次将其双射到一个序数集合 $B\subseteq \mathbf{Ord}$; 现在 $A\in \mathbf{L}[B]$ 而 $B\in \mathbf{L}[A]$, 于是 $\mathbf{L}[A]=\mathbf{L}[B]$.

$\square$

定理 6.2.0.14. 对两集合 $A,B$, $\mathbf{L}[A]=\mathbf{L}[B]$ 的充要条件是对任何集合 $C\subseteq \mathrm{Ord}$ 都有 $C\in \mathbf{L}[A]\leftrightarrow C\in \mathbf{L}[B]$.

证明. 事实上我们可以证明: 给两 $ZF$ 传递模型 $M,N$, 若 $M$ 还满足 $AC$, 且对任何集合 $C\subseteq \mathrm{Ord}$ 都有 $C\in M\leftrightarrow C\in N$, 则 $N=M$, 特别地有 $N$ 也满足 $AC$. 首先, 鉴于 ${\mathbf{Ord}}^{(2)}$ 到 $\mathbf{Ord}$ 典范双射的存在, $M$ 和 $N$ 共享一切序数上的关系. 我们先证明 $M\subseteq N$, 然后证明 $M=N$.

先证明 $M\subseteq N$. 对 $X\in M$, 故技重施将 $\mathrm{TCo}(x)$ 上的 $\in$ 关系编码为 $\kappa =|\mathrm{TCo}(x)|$ 上的关系 $E$, 于是 $E\in N$. 现在鉴于 $M,N$ 都必须正确计算 $(\kappa ,E)$ 的坍塌, 我们就得到 $(\mathrm{TCo}(x),\in )\in N$, 特别地自然有 $x\in N$.

现在超穷归纳证明 $V_{\alpha }^M=V_{\alpha }^N$. 显然只需证明后继步, 于是对 $x\in N$, 我们证明 $x\subseteq M$ 则 $x\in M$. 鉴于 $x\subseteq M$, 我们有 $y\in M$ 使得 $x\subseteq y$; 我们取 $M$ 中 $y$ 到 $|y|$ 的双射 $f\in M\subseteq N$, 则已有 $f\in N$, 从而 $f‘‘x\in N$; 然而这是一集序数, 于是又有 $f‘‘x\in M$, 于是 $x$ 作为其在 $f\in M$ 上的原像属于 $M$.

$\square$

一个更有趣的事实是, 即便不一定有 $x\in \mathbf{L}[x]$, 我们仍然能说:

定理 6.2.0.15 ($ZFC$). 任给集 $x$ 都有集 $A$ 使得 $x\in \mathbf{L}[A]$.

证明. 在上上个定理的证明中不要取 $\bar{x}$.

$\square$

我们最后引入 $\mathbf{L}(A)$. 回想之前, 当我们构造 $\mathbf{L}[A]$ 时, 已知的引理告诉我们只有那些可构造的元素被保留下来 ($\bar{A}$), 但显然许多时候我们并不如此希望, 因此另一个方案是直接把集合塞进 $\mathbf{L}$ 之中.

定义 6.2.0.16. 递归地定义以下层级:

1.	$L_0(A)=\mathrm{TCo}(A)$
2.	$L_{\alpha +1}(A)={\wp }^{Def}(L_{\alpha }(A))$
3.	对极限序数 $\alpha$, $L_{\alpha }(A)={\bigcup }_{\beta \in \alpha }{L}_{\beta }(A)$

由此产生的真类记为 $\mathbf{L}(A)={\bigcup }_{\alpha \in \mathbf{Ord}}{L}_{\alpha }(A)$.

我们立即知道 $\mathbf{L}(A)$ 是包括 $A$ 的最小 $ZF$ 内模型. 不幸的是, 我们显然有 $\mathbf{L}(A)$ 满足 $AC$ 当且仅当 $\mathrm{TCo}(A)$ 上有可定义的良序, 因此 $\mathbf{L}(A)$ 更多时候被用来构造不满足 $AC$ 的内模型, 其中最重要的就是 $\mathbf{L}(\mathbb{R})$, 但我们这里不再展开讨论, 仅指出: 当集合 $A\subseteq \mathbf{Ord}$ 时, $\mathbf{L}[A]=\mathbf{L}(A)$.