2.1. 闭无界滤与 Solovay 定理

定义 2.1.0.1. 给定序数 $\kappa$, 我们给其子集 $C\subseteq \kappa$ 的以下这些性质命名:

1.	对序数 $\gamma \in \kappa$ 无界, 记为 ${\mathrm{UB}}_{\gamma }(C):\bigcup (\gamma \cap C)=\gamma$
2.	无界, 记为 $\mathrm{UB}(C):{\mathrm{UB}}_{\kappa }(C)$
3.	闭, 记为 $\mathrm{CL}(C):\forall \gamma \in \kappa ({\mathrm{UB}}_{\gamma }(C)\to \gamma \in C)$
4.	闭无界, 记为 $\mathrm{CLUB}(C):\mathrm{CL}(C)\wedge \mathrm{UB}(C)$

额外的, 称 $S\subseteq \kappa$ 是定驻 (Stationary) 的, 若它与每个闭无界集交不空; 这个谓词记为 ${\mathrm{STAT}}_{\kappa }$, 并通常略去下标.

注 2.1.0.2. 闭无界是 CLosed UnBounded 即 CLUB, 因此也可以称为棍.

另一个切入闭无界集的方式是用正规函数来进行这个集的列举.

定义 2.1.0.3 (正规函数). 若一个函数 $f:\alpha \to \mathbf{Ord}$ 保序, 且对任意极限序数 $\beta <\alpha$ 有 $f(\beta )={\lim }_{\gamma <\beta }f(\gamma )$, 则称 $f$ 是正规函数.

对集合 $A\subseteq \mathbf{Ord}$, 我们称 $\mathrm{otp}(A,\in )=\alpha$ 给出的序同构 $f:\alpha \to A$ 为这个集的列举, 记作 $\mathrm{Enum}(A)$.

定理 2.1.0.4. 对任何基数 $\kappa$, $C\subseteq \kappa$ 是闭无界集, 当且仅当其列举函数是正规函数, 且 $\mathrm{otp}(C,\in )=\kappa$.

证明. 正规函数保证它闭, $\mathrm{otp}(C,\in )=\kappa$ 保证它无界.

$\square$

接下来, 我们指出闭无界集可以变得很细, 但仍然闭无界; 这件事有两个方面的表述, 虽然它们并不是同一个东西.

定义 2.1.0.5. 若 $\gamma <\kappa$ 使得 $\gamma =\bigcup (\gamma \cap C)$, 则称 $\gamma$ 是 $C$ 的极限点. 不难看出, $C$ 闭当且仅当它包括自己所有的极限点.

对 $C\subseteq \kappa$, 其全体极限点的集合记为 $\mathrm{Der}(C)$.

若 $f:\kappa \to \kappa$ 满足 $f(\alpha )=\alpha$, 则称 $\alpha \in \kappa$ 为 $f$ 的一个不动点.

对 $f:\kappa \to \kappa$, 其全体不动点的集合记为 $\mathrm{Fix}(f)$, 这个集合的列举函数记为 $\mathrm{Der}(f)$.

定理 2.1.0.6. $C$ 是闭无界集, 则 $\mathrm{Der}(C)$ 仍是闭无界集; $f:\kappa \to \kappa$ 是正规函数, 则 $\mathrm{Fix}(f)$ 是闭无界集, $\mathrm{Der}(f)$ 是正规函数.

证明. 证明是简单的.

$\square$

我们现在来看一些闭无界集和定驻集的性质, 并把它们总结到滤里面. 我们使用 $ZFC$, 因为 Asaf Karagila 告诉我们在 $ZF$ 里以下结论可以全错.

定义 2.1.0.7. 定义不可数正则 $\aleph$ 数 $\kappa$ 上的闭无界滤为$$F_{\mathrm{CLUB}}(\kappa )=\{X\subseteq \kappa |\exists C\subseteq X(\mathrm{CLUB}(C))\}$$

自然, 我们需要证明它是个滤, 而我们不妨证明更强的结论.

定义 2.1.0.8. 对 $\aleph$ 数 $\kappa$, 若任给 $\lambda <\kappa$ 和 $\{F_{\alpha }|\alpha \in \lambda \}\subseteq F$ 均有 ${\bigcup }_{\alpha \in \lambda }{F}_{\alpha }\in F$, 则称滤子 $F$ 是 $\kappa$ 完备滤; 显然按定义任何滤都 $\omega$ 完备.

定理 2.1.0.9. 对不可数正则 $\aleph$ 数 $\kappa$, $F_{\mathrm{CLUB}}$ 总是 $\kappa$ 完备.

证明. 换言之, 我们在证明小于 $\kappa$ 个闭无界集的交还是闭无界集. 我们不妨设取出的集列都是递降的, 因为我们总可以用之前所有集的交集来代替它而不改变交的结果. 给定任意序数 $\lambda <\kappa$ 和 $\{C_{\alpha }\subseteq \kappa |\alpha \in \lambda ,\mathrm{CLUB}(C_{\alpha })\}$, 记 $C={\bigcap }_{\alpha \in \lambda }{C}_{\alpha }$, 我们来证明 $\mathrm{CLUB}(C)$.

首先验证 $\mathrm{CL}(C)$, 也就是任给基数 $\delta <\kappa$ 证明 ${\mathrm{CL}}_{\delta }(C)$, 即给定了单调的 $f:\delta \to C$ 要证明 $\gamma ={\lim }_{\beta \in \delta }f(\beta )\in C$. 任给 $\alpha \in \lambda$, 只要证明 $\gamma \in C_{\alpha }$, 而这是由 $f:\delta \to C\subseteq C_{\alpha }$ 和 $C_{\alpha }$ 自己的 $\delta$ 闭性质决定的.

其次验证 $\mathrm{UB}(C)$, 这需要我们对 $\lambda$ 进行归纳.

1.

后继步: 只需证明两个闭无界集的交还是无界集. 对 $C=C_0\cap C_1$ 和任意的 $\alpha \in \kappa$, 我们需要一个 $\beta \in C$ 满足 $\alpha <\beta$. 由于 $C_0$ 与 $C_1$ 均无界, 交替取 $\alpha <{\beta }_0\in C_0$, ${\beta }_0<{\beta }_1\in C_1$, ${\beta }_1<{\beta }_2\in C_0$, ..., 然后取 $\beta ={\lim }_{n\in \omega }{\beta }_n$. 由于 $C_0$ 与 $C_1$ 均闭, $\beta \in C_0\cap C_1=C$ 满足要求.

2.

极限步: 对极限序数 $\lambda$, 我们仍然要对任意 $\alpha$ 找到 $\alpha <\beta \in \lambda$. 取 $\alpha <{\beta }_0\in C_0$, 然后归纳地要求 ${\lim }_{\theta <\xi }{\beta }_{\theta }<{\beta }_{\xi }\in C_{\xi }$. 由于 $\kappa$ 正则, 这个序列的极限 $\beta ={\lim }_{\xi \in \lambda }{\beta }_{\xi }$ 仍在 $\kappa$ 之中, 而对任意 $\xi \in \lambda$, ${\beta }_{\theta }(\eta \le \theta <\lambda )$ 的极限是 $\beta$ 指出 $\beta \in \xi$, 故 $\beta \in C={\bigcap }_{\xi \in \lambda }{C}_{\xi }$.

$\square$

接下来讨论定驻集; 我们总默认 $\kappa$ 不可数正则.

定义 2.1.0.10. 对 $S\subseteq \mathbf{Ord}$ 上的函数 $f:S\to \mathbf{Ord}$, 若 $\forall \alpha \in S(f(\alpha )<\alpha )$, 则称 $f$ 是累退 (regressive) 的.

定理 2.1.0.11 (Fodor). 对 $\kappa$ 上的定驻集 $S$ 上的累退函数 $f$, 一定有 $\gamma \in \kappa$ 和更小的定驻集 $T\subseteq S$ 使得 $f$ 在 $T$ 上是常值 $\gamma$ 的函数.

证明. 反证, 如果对每个 $\gamma \in \kappa$ 都有 $T_{\gamma }=\{\alpha \in S|f(\alpha )=\gamma \}$ 并非定驻集, 选择公理给我们一个与 $T_{\gamma }$ 不交的闭无界集 $C_{\gamma }$. 这里有 $\kappa$ 个闭无界集, 所以简单地将它们交起来不能得到闭无界集 (我们只有 $\kappa$ 完备没有 ${\kappa }^{+}$ 完备), 这迫使我们考虑新的方法.

定义 2.1.0.12. 给定一些 $\{X_{\alpha }|\alpha \in \kappa \}\subseteq \wp (\kappa )$, 定义其对角交为 ${\Delta }_{\alpha \in \kappa }{X}_{\alpha }=\{\xi \in \kappa |\xi \in {\bigcap }_{\alpha \in \xi }{X}_{\alpha }\}$. 对称地定义对角并 ${\nabla }_{\alpha \in \kappa }{X}_{\alpha }=\{\xi \in \kappa |\xi \in {\bigcup }_{\alpha \in \xi }{X}_{\alpha }\}$, 显然 ${\nabla }_{\alpha \in \kappa }{X}_{\alpha }=\kappa \backslash ({\Delta }_{\alpha \in \kappa }(\kappa \backslash X_{\alpha }))$, 因此我们仅在不得已时使用这个符号.

定理 2.1.0.13. 对不可数正则 $\aleph$ 数 $\kappa$, $F_{\mathrm{CLUB}}$ 总是正规 (normal), 这意味着它对对角交封闭.

证明. 给定一列 $\{C_{\alpha }\subseteq \kappa |\alpha \in \kappa ,\mathrm{CLUB}(C_{\alpha })\}$, 记 $C={\Delta }_{\alpha \in \kappa }{C}_{\alpha }$, 我们来证明 $\mathrm{CLUB}(C)$.

首先验证 $\mathrm{CL}(C)$. 对满足 $\bigcup (\gamma \cap C)=\gamma$ 的序数, 我们希望 $\gamma \in C$, 也就是 $\alpha <\gamma \to \gamma \in C_{\alpha }$. 注意 $X_{\alpha }=\{\beta \in C|\alpha <\beta <\gamma \}\subseteq C_{\alpha }$ 即得 $\gamma =\sup (X_{\alpha })\in C_{\alpha }$.

其次验证 $\mathrm{UB}(C)$. 给定 $\alpha <\kappa$, 我们需要 $\alpha <\beta \in C$; 取 $\alpha <{\beta }_0\in C_0$, 然后归纳地令 ${\beta }_n<{\beta }_{n+1}\in C_{{\beta }_n}$, 则 $\beta ={\lim }_{n\in \omega }{\beta }_n$ 是所需的那个 $\beta$.

$\square$

我们做新的闭无界集 $C={\Delta }_{\gamma \in \kappa }{C}_{\gamma }$, 然后取 $\alpha \in S\cap C$. 由定义, $\forall \beta <\alpha (\alpha \in C_{\beta })$, 于是 $f(\alpha )\ne \beta$, 这指出 $f(\alpha )\ge \alpha$, 与 $f$ 累退矛盾.

$\square$

事实上, 这俩定理等价.

定理 2.1.0.14. $\kappa$ 上滤 $F$ 正规当且仅当满足 Fodor 引理.

证明. 当然, 我们需要澄清一下满足 Fodor 引理是什么意思.

定义 2.1.0.15. 对 $X$ 上滤 $F$ 和 $Y\subseteq X$, 如果任何 $Z\in F$ 都与 $Y$ 交不空, 则称 $Y$ 是相对 $F$ 的正集, 记为 $Y\in F^{+}$.

可以看出, 定驻集就是相对 $F_{\mathrm{CLUB}}$ 的正集, 而满足 Fodor 引理就是说正集上的累退函数一定在一点处原像仍是正集.

如果 $F$ 正规, 它满足 Fodor 引理不过是将上述证明简单地改造一下, 因此我们这里只特别关注倒过来的方向. 反设有 $\kappa$ 个 $F$ 中集合 $X_{\alpha }(\alpha \in \kappa )$ 让 ${\Delta }_{\alpha \in \kappa }{X}_{\alpha }$ 不再属于 $F$, 我们构造 $Y=\{\alpha \in \kappa |\alpha \notin {\bigcap }_{\beta \in \alpha }{X}_{\beta }\}$; 如果 $Y$ 并非 $F$ 正集, 则有 $Z\in F$ 使得所有 $\alpha \in Z$ 都有 $\alpha \in {\bigcap }_{\beta \in \alpha }{X}_{\beta }$, 于是 $Z\subseteq {\Delta }_{\alpha \in \kappa }{X}_{\alpha }$ 指出对角交在 $F$ 之中, 矛盾; 故 $Y$ 是 $F$ 正集, 我们可以在其上定义 $f$ 使得 $f(\alpha )$ 是最小的让 $\alpha \notin X_{f(\alpha )}$ 的序数, 这肯定累退, 于是 Fodor 引理指出有正集 $Y^{\prime }\subseteq Y$ 让 $f$ 在其上取常值 $\xi$, 换言之任何 $\alpha \in Y^{\prime }$ 都让 $\alpha \notin X_{\xi }$, 于是 $Y^{\prime }\cap X_{\xi }=\varnothing$, 这样的 $Y^{\prime }$ 怎么可以是正集呢?

$\square$

正规一致超滤总是闭无界滤的扩张, 这是因为:

定理 2.1.0.16. $\kappa$ 上的正规滤子包括任何后段 $\{\theta \in \kappa |\alpha \in \theta \}$ 当且仅当它是闭无界滤的扩张.

证明. 当显然; 对仅当方向, 诸 $\{\theta \in \kappa |\alpha \in \theta \}$ 的对角交恰是 $\kappa$ 中全体极限序数构成的集, 而任何闭无界集的极限序数构成的子集在被正规函数枚举后可以同理用一堆后段的对角交造出来.

$\square$

接下来, Solovay 定理将告诉我们每个定驻集之中都可以拆出 $\kappa$ 个两两不交的定驻集, 从而定驻集其实非常多. 我们先来看一些典范的定驻集.

定义 2.1.0.17. 对正则基数 $\lambda <\kappa$, 我们记 $S_{\lambda }^{\kappa }=\{\alpha <\kappa |\mathrm{cf}\alpha =\lambda \}$.

定理 2.1.0.18. $S_{\lambda }^{\kappa }$ 总是定驻集.

证明. 任给闭无界集 $C$, 由无界知 $\mathrm{otp}(C,\in )=\kappa$, 故可以取其前 $\lambda$ 项的上确界, 它就是所要的共尾数为 $\lambda$ 的 $C$ 中的序数.

$\square$

我们先来对这些典范的定驻集证明 Solovay 发现的性质, 这被称作定驻集分裂 (splitting) 定理.

定理 2.1.0.19. 包含于 $S_{\lambda }^{\kappa }$ 的定驻集一定包含 $\kappa$ 个两两不交的定驻集.

证明. 假定定驻集 $S\subseteq S_{\lambda }^{\kappa }$, 由定义, 我们可以对每个 $\alpha \in S$ 选取一个长度为 $\lambda$ 的单增共尾列 $a_{\beta }^{\alpha }(\beta \in \lambda )$. 我们来试着用 Fodor 定理造 $\kappa$ 个定驻集.

我们先来证明 $\exists \beta \forall \eta <\kappa (\mathrm{STAT}(\{\alpha \in S|\eta \le a_{\beta }^{\alpha }\}))$. 反证, 我们会得到一列 ${\eta }_{\beta }\in \kappa$ 和无界闭集 $C_{\beta }$ 满足 $\forall \alpha \in C_{\beta }\cap S(a_{\beta }^{\alpha }<{\eta }_n)$. 取 $\eta ={\lim }_{\beta \in \lambda }{\eta }_{\beta }\in \kappa$(注意 $\kappa$ 不可数正则) 和 $C={\bigcap }_{\beta \in \lambda }{C}_{\beta }$, 我们就得到 $\forall \alpha \in C\cap S\forall \beta \in \lambda (a_{\beta }^{\alpha }<\eta )$, 这说明 $C\cap S$ 有非 $\kappa$ 上界, 矛盾.

现在我们得到了满足所宣称条件的 $\beta$, 它给出一个累退函数 $f(\alpha )=a_{\beta }^{\alpha }$. 但我们要对每个 $\eta \in \kappa$ 考虑上文的定驻集 $T_{\eta }=\{\alpha \in S|\eta \le f(\alpha )\}$, 然后对限制在其上的 $f$ 使用 Fodor 定理, 得到定驻集 $S_{\eta }\subseteq T_{\eta }$ 和 ${\gamma }_{\eta }\ge \eta$ 使得 $f$ 在 $S_{\eta }$ 上取常值 ${\gamma }_{\eta }$.

显然 ${\gamma }_{\eta }$ 不同时对应的 $S_{\eta }$ 不交, 故可以用 $\gamma$ 来对应 $S_{\gamma }$; 由于 $\eta$ 取遍 $\kappa$ 且后者正则, 全体 $\gamma$ 必须在 $\kappa$ 中无界, 换言之 $S_{\gamma }$ 有 $\kappa$ 多个, 于是 $S$ 现在分裂出了 $\kappa$ 个 $S_{\gamma }$.

$\square$

推论 2.1.0.20. $F_{\mathrm{CLUB}}$ 总不是超滤.

证明. 这是因为我们总可以运用上面的定理得到一对不交的定驻集.

$\square$

接下来, 我们对一般的定驻集证明这个性质.

定理 2.1.0.21 (Solovay). $\kappa$ 的定驻集一定包含 $\kappa$ 个两两不交的定驻集.

证明. 对定驻集 $S$, 记 $S_0$ 为其中奇异序数的集, $S_1$ 为其中正则序数的集, 由于两个闭无界集的交还是闭无界集, $S=S_0\cup S_1$ 指出他俩至少有一个是定驻集.

如果 $S_0$ 定驻, 我们对其上的 $\mathrm{cf}$ 使用 Fodor 定理, 得到一个 $\lambda$ 和一个定驻集 $T\subseteq S_0$ 使得 $\alpha \in T\to \mathrm{cf}(\alpha )=\lambda$, 于是 $T\subseteq S_{\lambda }^{\kappa }$, 由上一个定理即得.

如果 $S_0$ 并非定驻, 则 $S_1$ 必然定驻. 不妨设 $S=S_1$, 再由 $\kappa$ 不可数正则不妨设 $S$ 中的 $\alpha$ 都是不可数正则基数. 我们宣称 $T=\{\alpha \in S|\neg {\mathrm{STAT}}_{\alpha }(S\cap \alpha )\}$ 是 $\kappa$ 中的定驻集. 事实上, 它与每个 $\kappa$ 的闭无界集 $C$ 交于 $\inf (S\cap \mathrm{Der}(C))$.

现在, 我们对每个 $\alpha \in T$ 选取一个连续单增的序数列 $a_{\xi }^{\alpha }(\xi \in \alpha )$, 使得 ${\lim }_{\xi \in \alpha }{a}_{\xi }^{\alpha }=\alpha$ 且 $a_{\xi }^{\alpha }\notin T$. 我们又来复刻上一个定理的证明中的操作.

首先断言 $\exists \xi \forall \eta <\kappa (\mathrm{STAT}(\{\alpha \in T|a_{\xi }^{\alpha }\ge \eta \}))$. 反证, 取出 ${\eta }_{\xi }$ 和 $C_{\xi }$, 取对角交 $C={\Delta }_{\xi \in \kappa }{C}_{\xi }$, 则对任意 $\alpha \in C\cap T$ 均有 $\forall \xi \in \alpha (a_{\xi }^{\alpha }<{\eta }_{\xi })$. 受此启发, 我们取 $D=\{\alpha \in C|\forall \xi \in \alpha ({\eta }_{\xi }\in \alpha )\}$, 它仍然是闭无界集, 所以 $D\cap T$ 仍然是定驻集. 任取其中两个不同序数 $\gamma <\alpha$, $\forall \xi \in \gamma (a_{\xi }^{\alpha }<{\eta }_{\xi }<\gamma )$ 指出 $a_{\gamma }^{\alpha }=\gamma$, 但左边不属于 $T$ 而右边属于 $T$, 矛盾.

现在我们拿到 $\xi$, 取累退函数 $f(\alpha )=a_{\xi }^{\alpha }$, $S_{\eta }$ 同上, 余下证明亦同上.

$\square$