2.2. SCH 的初等结论

Fodor 引理还可用于指出基数算术中的一些有趣事实.

定理 2.2.0.1 (Silver). $SCH$ 的最小反例 (若存在) 必然 $\omega$ 共尾.

证明. 这是说: 如果奇异基数 $\kappa$ 不可数共尾, 且 $SCH$ 在其下成立, 则必然在此处成立. 如果 $\kappa \le 2^{\mathrm{cf}(\kappa )}$, 则 $\mathrm{cf}(2^{\mathrm{cf}(\kappa )})>\mathrm{cf}(\kappa )$ 说明 $\kappa <2^{\mathrm{cf}(\kappa )}$, 换言之 ${\kappa }^{+}\le 2^{\mathrm{cf}(\kappa )}$, 所以 $2^{\mathrm{cf}(\kappa )}\cdot {\kappa }^{+}=2^{\mathrm{cf}(\kappa )}$, 而 ${\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}\le (2^{\mathrm{cf}(\kappa )}{)}^{\mathrm{cf}(\kappa )}=2^{\mathrm{cf}(\kappa )}\le {\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}$ 就证明 $SCH$ 直接在 $\kappa$ 处成立, 因此我们假定 $2^{\mathrm{cf}(\kappa )}<\kappa$.

取 $\mathrm{cf}(\kappa )$ 大的、基数构成的闭无界集 $C\subseteq \kappa$, 然后取 $\mathrm{Der}(C)$, 它当然也闭无界且有 $\mathrm{cf}(\kappa )$ 那么大. $2^{\mathrm{cf}(\kappa )}<\kappa$ 和 $\kappa$ 奇异说明 $(2^{\mathrm{cf}(\kappa )}{)}^{+}<\kappa$, 于是 $\mathrm{Der}(C)\backslash (2^{\mathrm{cf}(\kappa )}{)}^{+}$ 还是一个 $\mathrm{cf}(\kappa )$ 那么大的闭无界集, 我们取一个正规函数将其枚举为 $\{{\mu }_{\alpha }|\alpha \in \mathrm{cf}(\kappa )\}$. ${\mu }_{\alpha }\in \mathrm{Der}(C)$ 说明它们的共尾数小于 $C$ 的大小也就是 $\mathrm{cf}(\kappa )$, 于是我们有 $2^{\mathrm{cf}(\kappa )}<{\mu }_{\alpha }$ 和 $\mathrm{cf}({\mu }_{\alpha })<\mathrm{cf}(\kappa )=\mathrm{cf}(\mathrm{cf}(\kappa ))$ 两大条件, 鉴于 $SCH$ 在 $\kappa$ 下成立, 这最终说明 ${\mu }_{\alpha }^{\mathrm{cf}(\kappa )}={\mu }_{\alpha }^{+}$; 我们选出一集双射 $g_{\alpha }:[{\mu }_{\alpha }{]}^{\le \mathrm{cf}(\kappa )}\to {\mu }_{\alpha }^{+}$ 见证此事.

现在来数 $[\kappa {]}^{\mathrm{cf}(\kappa )}$. 对每个 $x\in [\kappa {]}^{\mathrm{cf}(\kappa )}$, 我们考虑函数 $f_x:\mathrm{cf}(\kappa )\to \kappa ,\alpha \mapsto g_{\alpha }(x\cap {\mu }_{\alpha })$, 显然操作 $x\mapsto f_x$ 单 (若 $f_x=f_y$, 则 $\forall \alpha \in \mathrm{cf}(\kappa )(g_{\alpha }(x\cap {\mu }_{\alpha })=g_{\alpha }(y\cap {\mu }_{\alpha }))$, 而 $g_{\alpha }$ 是双射就说明 $x\cap {\mu }_{\alpha }=y\cap {\mu }_{\alpha }$, 序列 ${\mu }_{\alpha }$ 闭无界就说明事实上 $x=y$); 我们进而可以在 $[\kappa {]}^{\mathrm{cf}(\kappa )}$ 上用 $\{\alpha \in \mathrm{cf}(\kappa )|f_x(\alpha )\le f_y(\alpha )\}$ 在 $\mathrm{cf}(\kappa )$ 上定驻来定义序关系 $x\le y$, 这关系显然是全序 (偏序显然, 全序是因为如果 $x\le y$ 和 $y\le x$ 都错, $\mathrm{cf}(\kappa )$ 就分解成两块, 每块都不定驻, 于是有俩闭无界集分别见证, 于是其交集同时见证, 这说明这闭无界集与其依附的基数不交, 显然矛盾), 我们证明以下断言:

断言. 任给 $x\in [\kappa {]}^{\mathrm{cf}(\kappa )}$, 集合 $\{y\in [\kappa {]}^{\mathrm{cf}(\kappa )}|y\le x\}$ 的基数总不大于 $\kappa$.

证明. 固定 $x$. 鉴于 $f_x(\alpha )=g_{\alpha }(x\cap {\mu }_{\alpha })$ 的基数必然不超过 ${\mu }_{\alpha }$, 我们来取一族单射 $h_{\alpha }^x:\mathrm{Succ}(f_x(\alpha ))\to {\mu }_{\alpha }$ 见证这个关系. 现在, 对每个 $y\le x$ 我们按定义都有集合 $S_y^x=\{\alpha \in \mathrm{cf}(\kappa )|f_y(\alpha )\le f_x(\alpha )\}$ 定驻, 我们不妨考虑其上的 $F_y^x:S_y^x\to \kappa ,\alpha \mapsto h_{\alpha }^x(f_y(\alpha ))$, 显然总有 $F_y^x(\alpha )<{\mu }_{\alpha }$. 为了造出累退函数, 我们进一步不妨取 $S_y^x$ 中全体极限序数构成的定驻集 $T_y^x$, 对 $\alpha \in T_y^x$ 定义 $G_y(\alpha )$ 为最小的让 $F_y^x(\alpha )<{\mu }_{G_y(\alpha )}$ 的序数, 它累退是因为 $F_y^x(\alpha )<{\mu }_{\alpha }$、$\alpha$ 是极限序数和 ${\mu }_{\beta }(\beta \in \alpha )$ 在 ${\mu }_{\alpha }$ 上闭无界共同推出确实存在 $\beta \in \alpha$ 让 $F_y^x(\alpha )<{\mu }_{\beta }$. 于是我们终于用 Fodor 引理得到定驻集 $R_y^x\subseteq T_y^x$, 使得 $G_y$ 在其上取定值 ${\theta }_y^x$, 这意味着对所有 $\alpha \in R_y^x$ 都有 $F_y^x(\alpha )<{\mu }_{{\theta }_y^x}$.

我们指出, $y\mapsto ({\theta }_y^x,R_y^x,F_y^x\upharpoonright R_y^x)$ 这个操作是单射: 如果对 $y,z$ 同时有 ${\theta }_y^x={\theta }_z^x=\theta ,R_y^x=R_z^x=R$ 和 $F_y^x\upharpoonright R=F_z^x\upharpoonright R$, 那么对 $\alpha \in R$ 就有 $f_y(\alpha )=f_z(\alpha )$ 也就是 $y\cap {\mu }_{\alpha }=z\cap {\mu }_{\alpha }$, 于是鉴于 $R$ 无界我们就知道本来就有 $y=z$. 然而, 这三元组本来就最多只有 $\mathrm{cf}(\kappa )\cdot 2^{\mathrm{cf}(\kappa )}\cdot {\Sigma }_{\mu \in \kappa }{\mu }^{\mathrm{cf}(\kappa )}=\kappa$ 个, 所以小于 $x$ 的东西也至多只有 $\kappa$ 个.

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现在我们来证明 ${\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}=2^{\mathrm{cf}(\kappa )}\cdot {\kappa }^{+}={\kappa }^{+}$, 而核心就在于利用上述的大小显然是 ${\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}$ 的集合 $[\kappa {]}^{\mathrm{cf}(\kappa )}$ 上的结构. 我们只需证明存在 $[\kappa {]}^{\mathrm{cf}(\kappa )}$ 的大小为 ${\kappa }^{+}$ 的子集 $A$, 让所有的 $y\in [\kappa {]}^{\mathrm{cf}(\kappa )}$ 都小于某个 $x\in A$, 那么根据上述定理整个 $[\kappa {]}^{\mathrm{cf}(\kappa )}$ 就是 ${\kappa }^{+}$ 个大小不超过 $\kappa$ 的集的并, 当然大小恰是 ${\kappa }^{+}$.

递归构造 $A=\{x_{\alpha }|\alpha <{\kappa }^{+}\}$ 如下: 如果已经构造了 $\{x_{\beta }|\beta <\alpha \}$, 我们就取一个 $x_{\alpha }$ 严格大于全体 $x_{\beta }$; 这一行为鉴于小于诸 $x_{\beta }$ 的东西至多有 $\kappa \cdot \kappa =\kappa <{\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}$ 个必然可行. 要验证 $A$ 满足我们的要求只需反证: 如果有 $y$ 不小于每个 $x_{\alpha }$, 那么不小于 $y$ 的东西就有 ${\kappa }^{+}$ 个了, 与断言矛盾.

$\square$

评注. $\kappa$ 不可数共尾的作用让 $\mathrm{cf}(\kappa )$ 成为不可数正则基数, 从而允许我们应用其上的定驻集性质.

定理 2.2.0.2. $GCH$ 的最小反例 (若存在) 不是不可数共尾的奇异基数.

证明. 因为 $GCH\to SCH$, 上述定理已经说明这里 $SCH$ 成立, 而 $GCH$ 再次告诉我们答案不是 $2^{\mathrm{cf}(\kappa )}$, 所以 ${\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}={\kappa }^{+}$, 故 $2^{\kappa }$ 也等于 ${\kappa }^{+}$.

$\square$

我们甚至可以加强一下这两个定理.

定理 2.2.0.3. 我们对不可数共尾奇异基数 $\kappa$ 改换一些条件.

1.	如果存在 $\lambda <\kappa$ 使得 ${\lambda }^{\mathrm{cf}(\kappa )}=\lambda$, 且 $SCH$ 在开区间 $(\lambda ,\kappa )$ 上成立, 则 $SCH$ 在 $\kappa$ 处成立.
2.	如果任何 $\lambda <\kappa$ 都有 ${\lambda }^{\mathrm{cf}(\kappa )}<\kappa$, 且 $SCH$ 在 $\kappa$ 之下定驻地成立, 则 $SCH$ 在 $\kappa$ 处成立.
3.	如果 $GCH$ 在 $\kappa$ 之下定驻地成立, 则 $GCH$ 在 $\kappa$ 处成立.

证明. 上述证明中的核心构造是这样一列在 $\kappa$ 中共尾的 ${\mu }_{\alpha }(\alpha \in \mathrm{cf}(\kappa ))$, 满足 $\mathrm{cf}({\mu }_{\alpha })<\mathrm{cf}(\kappa )<2^{\mathrm{cf}(\kappa )}<{\mu }_{\alpha }<\kappa$ 且 ${\mu }_{\alpha }^{\mathrm{cf}(\kappa )}={\mu }_{\alpha }^{+}$, 而上述两个对 $SCH$ 成立的断言中的条件都足以构造出这列基数; 对应的, $GCH$ 成立的断言是第二条 $SCH$ 成立的断言的推论.

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