3.3. 超幂迭代与迭代超幂

我们已经说过, 用 $U$ 超幂后得到的模型里没有 $U$ 了. 但如果我们转变观念, 就会意识到 $j(U)$ 仍然是个 $j(\kappa )-$ 完备非主超滤, 这意味着我们可以在 $\mathrm{Ult}(\mathbf{V},U)$ 里面用 $j(U)$ 继续超幂. 一个自然的想法是不断重复这个过程, 然后在极限步取前面这张图的余极限, 但我们其实可以直接把第 $\alpha$ 步得到的这个超幂模型用一个构造实现出来. 我们固定在 $ZFC$ 中讨论.

定理 3.3.0.1. 给定序数 $\theta$ 指标的一列集合论结构 $⟨(M_{\alpha },E_{\alpha }){⟩}_{\alpha \in \theta }$, 再对每个 $\alpha ,\beta \in \theta$ 指定一个初等嵌入 $i_{\alpha ,\beta }:M_{\alpha }\to M_{\beta }$, 使得 $\alpha \in \beta \in \gamma \in \theta$ 时总有 $i_{\alpha ,\gamma }=i_{\alpha ,\beta }\circ i_{\beta ,\gamma }$. 我们可以定义结构 $({\mathrm{colim}}_{\alpha \in \theta }{M}_{\alpha },{\mathrm{colim}}_{\alpha \in \theta }{E}_{\alpha })$, 简记为 $(M_{\theta },E_{\theta })$, 它满足以下泛性质: 任给集合论结构 $(M,E)$, 存在初等嵌入 $\tilde{i}:M_{\theta }\to M$ 当且仅当存在 $\theta$ 指标的一列初等嵌入 $i_{\alpha }:M_{\alpha }\to M(\alpha \in \theta )$ 使得对每个 $\alpha \in \beta \in \theta$ 总有 $i_{\alpha }=i_{\beta }\circ i_{\alpha ,\beta }$.

证明. 学习初等范畴论中余极限构造的第一步就是在范畴 $\mathrm{Set}$ 中构造这样的余极限, 细节略之. 唯一值得一提的时如何在目前的一阶语境中来讨论一列真类 $M_{\alpha }$, 对此一种可能的解释是所有的 $M_{\alpha }$ 均被某些依赖于 $\alpha$ 的参数一致地定义出来, 另一种可能的解释是考虑这些 $M_{\alpha }$ 的公式的编码配合定义所需的参数做成一个集, 代价是需要额外在语言中提供一个真谓词符号或要求这些公式的复杂度有界.

$\square$

定义 3.3.0.2. 给定 $\kappa$ 上的 $\kappa$ 完备非主超滤 $U$, 我们对序数 $\alpha$ 递归地定义 $\mathbf{V}$ 对 $U$ 的 $\alpha$ 次超幂迭代如下:

1.	${\mathrm{Ult}}^{(0)}(\mathbf{V},U)=\mathbf{V}$, $U^{(0)}=U$;
2.	${\mathrm{Ult}}^{(1)}(\mathbf{V},U)=\mathrm{Ult}(\mathbf{V},U)$, $j^{(0)}=j_U:{\mathrm{Ult}}^{(0)}(\mathbf{V},U)\to {\mathrm{Ult}}^{(1)}(\mathbf{V},U)$, $U^{(1)}=j^{(0)}(U^{(0)})$;
3.	${\mathrm{Ult}}^{(\alpha +1)}(\mathbf{V},U)=\mathrm{Ult}({\mathrm{Ult}}^{(\alpha )}(\mathbf{V},U),U^{(\alpha )})$, $j^{(\alpha )}=j_{U^{(\alpha )}}:{\mathrm{Ult}}^{(\alpha )}(\mathbf{V},U)\to {\mathrm{Ult}}^{(\alpha +1)}(\mathbf{V},U)$, $U^{(\alpha +1)}=j^{(\alpha )}(U^{(\alpha )})$;
4.	对极限序数 $\alpha$, ${\mathrm{Ult}}^{(\alpha )}(\mathbf{V},U)={\mathrm{colim}}_{\beta \in \alpha }{\mathrm{Ult}}^{(\beta )}(\mathbf{V},U)$, 其间的初等嵌入 $i_{\beta ,\gamma }$ 对极限序数 $\gamma \in \alpha$ 由 ${\mathrm{Ult}}^{(\gamma )}(\mathbf{V},U)$ 的泛性质给定, 对后继序数 $\gamma =\eta +n+1$($\eta$ 是极限序数) 由 $i_{\beta ,\gamma }=j^{(\eta +n)}\circ ...\circ j^{(\eta )}\circ i_{\beta ,\eta }$ 给定.

这个定义目前还有所缺陷, 因为我们的论证只能说到每一个自然数 $n\in \omega$ 都让超幂构造良基, 从而我们拿到的确实是 ${\mathrm{Ult}}^{(n+1)}(\mathbf{V},U)$ 而非 $({\mathrm{Ult}}^{(n)}(\mathbf{V},U){)}^{{\kappa }^{(n)}}/U^{(n)}$. 在极限步, 构造余极限并不能说明 ${\mathrm{Ult}}^{(\omega )}(\mathbf{V},U)$ 上面带有的属于关系的解释是良基的. 好在这一担忧实际多余.

引理 3.3.0.3 (因子引理). 如果 ${\mathrm{Ult}}^{(\alpha )}(\mathbf{V},U^{(\alpha )})$ 良基, 则有$$e_{\beta }^{\alpha }:{\mathrm{Ult}}^{(\beta )}({\mathrm{Ult}}^{(\alpha )}(\mathbf{V},U),U^{(\alpha )})\to {\mathrm{Ult}}^{(\alpha +\beta )}(\mathbf{V},U)$$见证同构. 注意 ${\mathrm{Ult}}^{(\beta )}({\mathrm{Ult}}^{(\alpha )}(\mathbf{V},U),U^{(\alpha )})=({\mathrm{Ult}}^{(\beta )}(\mathbf{V},U^{(\alpha )}){)}^{{\mathrm{Ult}}^{(\alpha )}(\mathbf{V},U)}$, 简记 $i_{\beta ,\gamma }^{(\alpha )}=(i_{\beta ,\gamma }{)}^{{\mathrm{Ult}}^{(\alpha )}(\mathbf{V},U)}$, 我们进一步宣布下述图表交换:

证明. 只需对 $\beta$ 归纳. 初始步和后继步显然, 极限步情形注意泛性质.

$\square$

定理 3.3.0.4 (Gaifman). ${\mathrm{Ult}}^{(\alpha )}(\mathbf{V},U)$ 必然良基 (从而按取法是传递真类).

证明. 来研究极限步, 假设有最小的极限序数 $\gamma$ 使之不良基, 取最小的 $\xi$ 使得 $i_{0,\gamma }(\xi )$ 之下存在 ${\mathrm{Ult}}^{(\gamma )}(\mathbf{V},U)$ 指认的序数构成的无穷降链, 选取 $⟨x_n{⟩}_{n\in \omega }$ 见证此事, 即有 $\forall n\in \omega (x_{n+1}{E}^{(\gamma )}{x}_n)$. 由要求 $x_0{E}^{(\gamma )}{i}_{0,\gamma }(\xi )$, 所以存在 $\alpha <\gamma$ 和 $\nu <i_{0,\alpha }(\xi )$ 使得 $x_0=i_{\alpha ,\gamma }(\nu )$. 我们取 $\beta \le \gamma$ 使得 $\alpha +\beta =\gamma$.

由取法, ($\mathbf{V}$ 认为)$\forall {\gamma }^{\prime }\le \gamma \forall {\xi }^{\prime }<\xi$ 总有 ${\mathrm{Ult}}^{({\gamma }^{\prime })}(\mathbf{V},U)$ 中小于 $i_{0,{\gamma }^{\prime }}({\xi }^{\prime })$ 的序数都是良基的. 将这件事情 $i_{0,\alpha }$ 掉, 我们就有 ${\mathrm{Ult}}^{(\alpha )}(\mathbf{V},U)$ 认为 $\forall {\gamma }^{\prime }\le i_{0,\alpha }(\gamma )\forall {\xi }^{\prime }<i_{0,\alpha }(\xi )$ 总有 ${\mathrm{Ult}}^{({\gamma }^{\prime })}({\mathrm{Ult}}^{(\alpha )}(\mathbf{V},U),U^{(\alpha )})$ 中小于 $i_{0,{\gamma }^{\prime }}^{(\alpha )}({\xi }^{\prime })$ 的序数都是良基的. 此时显然 ${\gamma }^{\prime }$ 可以取为 $\beta$ 而 ${\xi }^{\prime }$ 可以取为 $\nu$, 这就说明 ${\mathrm{Ult}}^{(\alpha )}(\mathbf{V},U)$ 认为 ${\mathrm{Ult}}^{(\gamma )}(\mathbf{V},U)$ 中小于 $i_{\alpha ,\gamma }(\nu )=x_0$ 的序数都是良基的 (这里用了因子引理), 而 ${\mathrm{Ult}}^{(\alpha )}(\mathbf{V},U)$ 良基, 所以这件事真对, 但是 $⟨x_n{⟩}_{1\le n<\omega }$ 见证矛盾.

$\square$

我们现在希望直接构造出 $i_{0,\alpha }:\mathbf{V}\to {\mathrm{Ult}}^{(\alpha )}(\mathbf{V},U)$. 首先来做 $\alpha$ 是自然数 $n\in \omega$ 的情形.

定义 3.3.0.5. 对 $n\in \omega$ 递归地定义 ${\kappa }^n$ 上的超滤 $U_n$ 如下: $U_1=U$, $$X\in U_{n+1}\leftrightarrow \{{\alpha }_0\in \kappa |\{⟨{\alpha }_1,...,{\alpha }_n⟩\in {\kappa }^n|⟨{\alpha }_0,{\alpha }_1,...,{\alpha }_n⟩\in X\}\in U_n\}\in U$$

定理 3.3.0.6. $\mathrm{Ult}(\mathbf{V},U_n)$ 同构于 ${\mathrm{Ult}}^{(n)}(\mathbf{V},U)$.

证明. 归纳, $n=1$ 显然. 为了验证 $\mathrm{Ult}(\mathbf{V},U_{n+1})$ 同构于 ${\mathrm{Ult}}^{(n+1)}(\mathbf{V},U)$, 我们注意 $f:{\kappa }^{n+1}\to \mathbf{V}$ 通过 Curry 化双射地对应一个 $F:{\kappa }^n\to (\kappa \to \mathbf{V})$. 由于归纳假设说 $\mathrm{Ult}(\mathbf{V},U_n)$ 同构于 ${\mathrm{Ult}}^{(n)}(\mathbf{V},U)$, $[F{]}_{U_n}$ 双射地对应于 ${\mathrm{Ult}}^{(n)}(\mathbf{V},U)$ 中一个从 ${\kappa }^{(n)}$ 出发的函数, 我们记之为 $\tilde{f}$. 显然反过来也可行, 我们只需证明 $[f{]}_{U_{n+1}}\mapsto [\tilde{f}{]}_{U^{(n)}}$ 就是我们所要的同构. 验证是简单的.

$\square$

对于超穷步的构造, 情形稍显复杂: 我们须考虑全体有有穷支集的函数形成的超幂, 这意味着我们不能直接对 $f:{\kappa }^{\alpha }\to \mathbf{V}$ 操刀. 直观上, 有有穷支集 $E\subseteq \alpha$ 的函数应该指的是 $g:{\kappa }^E\to \mathbf{V}$, 但这不方便处理 (诸函数定义域不同), 因此我们希望要用 $g$ 决定那些 $f$.

定义 3.3.0.7. 称有穷集 $E\subseteq \alpha$ 见证 $f:{\kappa }^{\alpha }\to \mathbf{V}$ 以之为有穷支撑, 若存在 $g:{\kappa }^E\to \mathbf{V}$ 使得 $f(t)=g(t\upharpoonright E)$.

我们现在需要 ${\kappa }^{\alpha }$ 上的滤 $U_{\alpha }$. 自然我们应当定义所有 $E\in \mathrm{FinSub}(\alpha )$ 的 $U_E$, 然后用它们拼起来得到 $U_{\alpha }$.

定义 3.3.0.8. 对有穷序数集 $E$, 显然存在唯一保序双射见证它有穷, 它自然地提升为 ${\kappa }^n$ 到 ${\kappa }^E$ 的双射, 我们直接令 $U_E$ 为 $U_n$ 对这一函数的像集.

任给序数集 $E,F$ 使得 $E\in \mathrm{FinSub}(F)$, 我们定义 ${\mathrm{in}}_{E,F}^{\kappa }:\wp ({\kappa }^E)\to \wp ({\kappa }^F)$ 为 $x\subseteq {\kappa }^E\mapsto \{t\in {\kappa }^F|t\upharpoonright E\in x\}$. 不难验证这构成一个巨大的图表, 每个序数集 $S$ 给出的 ${\kappa }^S$ 都被表现为全体 $S$ 的有穷子集 $E$ 造出的 ${\kappa }^E$ 构成的那张子图表的余极限.

我们要说明, $U_S$ 也能自然地用诸 $U_E$ 以相同方式拼成, 也就是说,

定理 3.3.0.9. 如果有穷序数集 $E\subseteq F$, 则任给 $x\subseteq {\kappa }^E$ 都有 $x\in U_E$ 当且仅当 ${\mathrm{in}}_{E,F}^{\kappa }(x)\in U_F$. 因此, 诸有穷 $E$ 造的 $U_E$ 确实在 ${\mathrm{in}}_{E,F}$ 下形成图表.

证明. $|F|=|E|$ 显然说明 $F=E$, 进而 ${\mathrm{in}}_{E,E}^{\kappa }=\mathrm{id}$, $U_E=U_F$, 而由于不难验证 ${\mathrm{in}}_{E,F}^{\kappa }={\mathrm{in}}_{F^{\prime },F}^{\kappa }\circ {\mathrm{in}}_{E,F^{\prime }}^{\kappa }$, 我们只需继续证明 $|F|=|E|+1$ 的情况. 对 $|E|$ 归纳, $|E|=1$ 时直接计算不难; 如果 $|E|>1$ 且已有归纳假设, 如果 $F$ 的最小元属于 $E$, 则将它从 $E$ 和 $F$ 中同时删除, 运用归纳假设即可; 如果 $F$ 的最小元不属于 $E$, 则 $F$ 恰好是 $E$ 并上这个最小元所得, 计算不难.

$\square$

现在我们可以研究 “有穷支撑的 ${\kappa }^{\alpha }$ 子集” 了.

定义 3.3.0.10. 称有穷集 $E\subseteq \alpha$ 见证 $S\subseteq {\kappa }^{\alpha }$ 以之为有穷支撑, 若存在 $x\subseteq {\kappa }^E$ 使得 $S={\mathrm{in}}_{E,\alpha }^{\kappa }(x)$. 记全体有有穷支撑的 ${\kappa }^{\alpha }$ 子集构成的集为 $B_{\alpha }$, 我们定义 $U_{\alpha }=\{S\in B_{\alpha }|\exists E\in \mathrm{FinSub}(\alpha )\exists x\subseteq {\kappa }^E(x\in U_E\wedge S={\mathrm{in}}_{E,\alpha }^{\kappa }(x))\}$.

定理 3.3.0.11 (超幂迭代表示定理). $\mathrm{Ult}(\mathbf{V},U_{\alpha })$ 同构于 ${\mathrm{Ult}}^{(\alpha )}(\mathbf{V},U)$.

证明. 首先需要描述什么是 $\mathrm{Ult}(\mathbf{V},U_{\alpha })$, 因为 $U_{\alpha }$ 显然并不是 $\alpha$ 上的超滤. 显然仍是对有穷支撑的 $f,g$ 定义 $f{=}_{\alpha }g\leftrightarrow \{t\in {\kappa }^{\alpha }|f(t)=g(t)\}\in U_{\alpha }$ 和 $f{E}_{\alpha }g\leftrightarrow \{t\in {\kappa }^{\alpha }|f(t)=g(t)\}\in U_{\alpha }$, 不难验证右侧以 $f,g$ 的支集的并为支集, 因此确有 $f/{=}_{\alpha }g\leftrightarrow \neg (f{=}_{\alpha }g)\leftrightarrow \{t\in {\kappa }^{\alpha }|f(t)\ne g(t)\}\in U_{\alpha }$ 和类似的对 $E_{\alpha }$ 的描述, 因此确能类似建立 Los 定理.

$\square$

我们此前研究可测基数及其相关的超幂构造时, 总是默认从 $\mathbf{V}$ 出发, 那么对任意内模型 $M$ 情况又如何呢? 如果这个超滤子 $U\in M$, 显然我们可以跳到 $M$ 内部来讨论, 这又回到了 $M=\mathbf{V}$ 的情况, 所以我们接下来研究如何用 $M$ 外面的超滤子来对 $M$ 进行超幂构造.

定义 3.3.0.12. 我们总是考虑基数上的滤子. 给定基数 $\kappa$、集 $U\subseteq \wp (\kappa )$ 和内模型 $M$, 如果 $U$ 满足以下条件, 我们就称之为一个 $M$ 超滤子:

1.	$\forall x\in M\forall y\in M(x\subseteq y\wedge y\subseteq \kappa \wedge x\in U\to y\in U)$;
2.	$\forall x\in M(x\subseteq \kappa \to x\in U\vee \kappa \backslash x\in U)$;
3.	$\forall x\in M\forall y\in M(x\in U\wedge y\in U\to x\cap y\in U)$;
4.	$\forall x\in M(x\in \kappa \to \{x\}\notin U)$;
5.	$\varnothing \notin U$.

进一步的, 如果它满足:

1.	$\forall \alpha \in \kappa \forall ⟨x_{\beta }{⟩}_{\beta \in \alpha }\in M(\forall \beta \in \alpha (x_{\beta }\in U)\to {\bigcap }_{\beta \in \alpha }{x}_{\beta }\in U)$, 则称它是 $\kappa$ 完备 $M$ 超滤子;
2.	$\forall ⟨x_{\alpha }{⟩}_{\alpha \in \kappa }\in M(\forall \beta \in \alpha (x_{\beta }\in U)\to {\Delta }_{\beta \in \alpha }{x}_{\beta }\in U)$, 则称它是正规 $M$ 超滤子.
3.	$\forall f=⟨x_{\alpha }{⟩}_{\alpha \in \kappa }:\kappa \to \wp (\kappa )(f\in M\to \{\alpha \in \kappa |x_{\alpha }\in U\}\in M)$, 则称它是可迭 $M$ 超滤子.

合起来我们得到可迭 $\kappa$ 完备正规 $M$ 超滤子的概念.

现在这个 $U$ 不需要属于 $M$ 了, 我们可以考虑用 $U$ 超幂 $M$.