3.2. 可测基数

现在来研究非平凡初等嵌入的关键点 $κ = crit (j)$ .

定义 3.2.0.1. 对某个不可数 $ℵ$ 数 $κ$ 而言, 若其上存在 $κ$ 完备的非主超滤, 则称之为可测基数.

评注. 注意, 这一定义在 $ZF$ 中仍然有效, 但 T.Jech 的著名定理指出 “ $ZFC +$ 存在可测基数” 与 “ $ZF + ω_{1}$ 可测” 等一致. 换言之, 后文中可测推出不可达的证明强烈依赖选择公理 (或者说, 随之而来的超幂构造).

下一节我们将获得

κ

完备的滤子

F_{CLUB}

, 但就算我们能将其扩充为一个超滤子, 也不能断言这超滤子就要

κ

完备. 但另一方面, 如果我们有

κ

上的

κ

完备非主超滤, 则它一定是

F_{CLUB}

的扩张, 这是因为:

定理 3.2.0.2 ( $ZFC$ ). $κ$ 上的 $κ$ 完备非主超滤子必然一致.

证明. 否则, 假定

U

中基数最小的集合具有基数

λ < κ

, 任取一个这么大的集合

A \in U

, 对每个

α \in A

我们由非主推出

κ \ {α} \in U

, 但

α

一共只有

λ < κ

个, 所以这些东西的交集

κ \ A \in U

, 于是

\emptyset \in U

, 矛盾.

$□$

推论 3.2.0.3 ( $ZFC$ ). $κ$ 上的 $κ$ 完备非主正规超滤子必然是 $F_{CLUB}$ 的扩张.

进一步, 我们可以说明:

定理 3.2.0.4 ( $ZFC$ ). 可测基数必然不可达.

证明. 鉴于可测基数

κ

一定被

j_{U}

移动, 我们又早已知道

j_{U}

不许移动可数序数, 这些事实合起来指出

κ

不可数. 为了证明

κ

正则, 反设有

f : μ \to κ

见证

κ

奇异, 由

U

一致知

α < μ

时

κ \ f (α) \in U

, 于是

κ

完备进一步指出

\emptyset = ⋂_{α \in μ} (κ \ f (α)) \in U

矛盾. 最后证明

κ

强极限, 同样反设

λ < κ

满足

κ \leq 2^{λ}

, 取单射

f : κ \to ℘ (λ)

, 我们对每个

α \in λ

考察

X_{α} = {μ \in κ ∣ α \in f (μ)}

,

U

是超滤说明

X_{α}

和

κ \ X_{α}

中的恰一个属于

U

, 将其记为

Y_{α}

. 把这

λ ∋ α

个

Y_{α}

交在一起, 其结果

Y

必然属于

U

, 但任取

μ \in Y

, 任何

α \in λ

均满足

X_{α} \in U

当且仅当

μ \in X_{α}

当且仅当

α \in f (μ)

, 故

f (μ) = {α \in λ ∣ X_{α} \in U}

只有一个, 换言之

μ

只有一个, 于是

U

主, 矛盾.

$□$

我们现在来建立定理, 以详细说明可测基数就是初等嵌入的关键点.

定理 3.2.0.5 ( $ZFC$ ). $κ$ 可测当且仅当有初等嵌入 $j : V \to M$ 以为关键点.

证明. 如果 $κ$ 可测, 我们来证明用 $κ$ 上的那个 $κ$ 完备非主超滤 $U$ 造出的初等嵌入 $j_{U} : V \to Ult (V, U)$ 以 $κ$ 为关键点. 我们当年其实已经证明 $j_{U}$ 移动 $κ = ⋃ U$ , 所以我们要证明的是 $j_{U}$ 不移动任何 $α \in κ$ . 显然应当对 $α$ 归纳, 对 $α \leq ω$ 这都是显然的, 而鉴于后继这一操作 $Δ_{0}$ , 我们只论证极限步.

假定有极限序数 $α \in κ$ 使得 $\forall β \in α (j_{U} (β) = β)$ , 显然必有 $j_{U} (α) \geq α$ 是序数, 我们来证明 $j_{U} (α) = α$ . 若不然, 必须存在 $f \in V^{κ}$ 使得 $[f]_{U}$ 属于 $[c_{α}]_{U}$ 且包括全体 $[c_{β}]_{U}$ , 这意味着 ${θ \in κ ∣ f (θ) \in α}$ 和诸 ${θ \in κ ∣ β \in f (θ)}$ 均属于 $U$ ; 鉴于这只有 $∣ α ∣ < κ$ 多个集, 将它们全部交在一起生成的 ${θ \in κ ∣\forall β \in α (β \in f (θ) \in α)} = \emptyset$ 也必须属于 $U$ , 矛盾.

如果 $j : V \to M$ 以 $κ$ 为关键点, 我们验证 $U_{j} = {A \subseteq κ ∣ κ \in j (A)}$ 定义一个 $κ$ 上的 $κ$ 完备非主超滤子; 我们甚至可以证明它正规. 非主完备超滤很好验, $κ$ 完备稍微难证: 给定 $α < κ$ 个 $⟨ A_{β} ⟩_{β \in α}$ 使得 $κ \in j (A_{β})$ , 我们希望证明 $κ \in j (⋂_{β \in α} A_{β})$ . 注意 $⟨ A_{β} ⟩$ 是长 $α$ 的 $κ$ 子集构成的列, $j (⟨ A_{β} ⟩)$ 应该是长 $j (α) = α$ 的 $j (κ)$ 子集构成的列, 类似地用 $j (β) = β$ 我们可以论证 $j (⟨ A_{β} ⟩) = ⟨ j (A_{β})⟩$ , 于是 $j (⋂_{β \in α} A_{β}) = ⋂_{β \in α} j (A_{β})$ .

现在证明它正规, 我们额外证明超幂构造的泛性质:

定理 3.2.0.6 ( $ZFC$ ). 任何初等嵌入 $j : V \to M$ 都是两次嵌入的复合: 第一次是 $j_{U_{j}} : V \to Ult (V, U_{j})$ , 第二次是一个 $\overset{ˉ}{j} : Ult (V, U_{j}) \to M$ .

证明. 我们证明 $\overset{ˉ}{j} ([f]_{U_{j}}) = (j (f)) (κ)$ 是所要的构造.

1.	先证构造良定, 也就是 $[f]_{U_{j}} = [g]_{U_{j}}$ 时 $(j_{U_{j}} (f)) (κ) = (j_{U_{j}} (g)) (κ)$ , 这是因为前者说明 $A = {θ \in κ ∣ f (θ) = g (θ)} \in U_{j}$ , 所以 $κ \in j_{U_{j}} (A) = {θ \in j_{U_{j}} (κ) ∣ (j_{U_{j}} (f)) (θ) = (j_{U_{j}} (g)) (θ)}$ .
2.	下证构造初等, 也就是 $Ult (V, U_{j}) ⊨ φ ([f_{0}]_{U_{j}}, ..., [f_{n - 1}]_{U_{j}})$ 当且仅当 $M ⊨ φ (\overset{ˉ}{j} ([f_{0}]_{U_{j}}), ..., \overset{ˉ}{j} ([f_{n - 1}]_{U_{j}}))$ . 前面当且仅当 $A = {θ \in κ ∣ φ (f_{0} (θ), ..., f_{n - 1} (θ))} \in U_{j}$ 当且仅当 $κ \in j (A) = {θ \in j (κ) ∣ M ⊨ φ ((j (f_{0})) (θ), ..., (j (f_{n - 1})) (θ))}$ , 当且仅当 $M ⊨ φ ((j (f_{0})) (κ), ..., (j (f_{n - 1})) (κ))$ .
3.	最后证明 $j (x) = \overset{ˉ}{j} (j_{U_{j}} (x))$ . $c_{x}$ 是 $κ$ 上值恒为 $x$ 的函数, 所以 $(j (c_{x}))$ 是 $j (κ) ∋ κ$ 上值恒为 $j (x)$ 的函数, 于是 $(j (c_{x})) (κ) = j (x)$ .

$□$

现在

U_{j}

正规显而易见: 如果

f

在其某个元素上累退, 那

j (f)

在

κ

处累退, 换言之

f

在

U_{j}

的某个元素上取定值

γ = (j (f)) (κ) < κ

.

$□$

我们还可增强地证明以下定理.

定理 3.2.0.7 ( $ZFC$ ). 对 $κ$ 上的 $κ$ 完备非主超滤 $U$ , 它正规当且仅当 $κ = [id]_{U}$ (这里 $id : κ \to κ, α \mapsto α$ ), 也当且仅当 $U_{j_{U}} = U$ .

证明. 我们依次证明 $1 \to 2 \to 3$ , $3 \to 1$ 显然.

如果 $U$ 正规, 函数 $f$ 让 $[f]_{U} \in [id]_{U}$ , 则 ${θ \in κ ∣ f (θ) \in θ} \in U$ ; 这意味着 $f$ 在 $U$ 的元素上累退, $U$ 是超滤说明其正集就是其元素, 因此 Fodor 引理指出 $f$ 在某个 $U$ 中的集上取值恒定为一 $α \in κ$ , 换言之 $[f]_{U} = [α]_{U}$ .

任给

x \subseteq κ

, 注意

κ \in j_{U} (x)

当且仅当

[id]_{U} \in j_{U} (x)

也就是

[id]_{U} \in [x]_{U}

, 这显然也就是

x \in U

.

$□$

因此, 事实上要求基数

κ

可测/上有

κ

完备非主超滤, 与更强的要求 “

κ

上有

κ

完备正规非主超滤” 是等一致的. 另一方面,

定义 3.2.0.8. 对某个不可数 $ℵ$ 数 $κ$ 而言, 若其上存在可数完备的非主超滤, 则称之为弱可测基数.

显见 “

ZFC +

存在可测基数” 与 “

ZFC +

存在弱可测基数” 等一致.

现在, 假定有可测基数 $κ$ 及其上, 我们已经知道 (鉴于 $j_{U}$ 可定义) 对应的 $Ult (V, U)$ 一定不等于 $V$ ; 然而, 下面更精确的结果向我们展示了它与 $V$ 到底有多大的区别.

定理 3.2.0.9 ( $ZFC$ ). 假定初等嵌入 $j : V \to M$ 确认可测基数 $κ$ , 则 $M$ 正确计算 $V_{κ}$ 、 $V_{κ + 1}$ 和 $κ^{+}$ , 且 $j (κ)$ 之下有不等式 $(2^{κ})^{V} \leq (2^{κ})^{M} < j (κ)$ .

另一方面, 如果 $j = j_{U} : V \to M = Ult (V, U)$ 是由 $κ$ 上的一个 $κ$ 完备非主超滤 $U$ 生成的初等嵌入, 我们就可以进而严格地宣布:

1.

$M$ 是 $κ$ 闭的: $M^{κ} \subseteq M$ ;

2.

$U$ 见证 $V \neq = M$ , 因此 $M$ 错误计算 $V_{κ + 2}$ : $U \in V \ M$ ;

3.

$j (κ)$ 之上有不等式: $j (κ) < ((2^{κ})^{+})^{V}$ ;

4.

$M$ 不是 $κ^{+}$ 闭的: $M^{κ^{+}} \neq \subseteq M$ ;

5.

$j$ 恰好在共尾 $κ$ 的极限序数处产生跳跃: 任给极限序数 $λ$ ,

1.	$cf (λ) = κ \to j (λ) > lim_{μ \in λ} j (μ)$ ;
2.	$cf (λ) \neq = κ \to j (λ) = lim_{μ \in λ} j (μ)$ ;

进一步, 如果 $λ$ 强极限, 且 $cf (λ) \neq = κ$ , 则 $j (λ) = λ$ .

证明. 当 $j$ 是随便一个初等嵌入的时候, 我们证实 $κ$ 是最小的被移动的序数的时候的论证实质上证明了 $κ$ 是最小的可能被移动的集合的秩, 因此 $j ‘‘ (V_{κ}) = V_{κ}$ ; 又鉴于 $rank_{\in}$ 不可能被错误计算, 我们就知道 $(V_{κ})^{M} = V_{κ}$ . 为了把 $(V_{κ + 1})^{M} \subseteq V_{κ + 1}$ 强化到 $=$ , 同理只需证明 $V_{κ + 1} \subseteq M$ , 这是因为 $X \in V_{κ + 1}$ 时 $X \subseteq V_{κ}$ 说明 $j ‘‘ (X) = X$ , 于是 $X = j (X) \cap V_{κ} \in M$ . 这又说明 $M$ 看得到 $κ$ 上的每一个良序, 所以根据 Hartogs 数/后继的构造就有 $(κ^{+})^{M} = κ^{+}$ . 最后, 第一个不等式是因为 $M$ 中自 $℘ (κ) = ℘^{M} (κ)$ 出发的双射只可能更少, 第二个是因为 $κ$ 不可达变成了 $M$ 认为 $j (κ)$ 不可达.

当 $j = j_{U}$ 的时候, 逐条证明即可; 不妨设 $k : κ \to κ$ 让 $[k]_{U} = κ$ . (不妨是因为 $κ < j (κ)$ , 于是 ${α \in κ ∣ h (α) \in κ} \in U$ , 干脆调整一下让它等于 $κ$ )

1.	指定 $κ$ 长的 $M$ 中元素序列 $⟨[f_{μ}]_{U} ⟩_{μ \in κ}$ , 我们验证函数 $F : κ \to V, α \mapsto ⟨ f_{μ} (α) ⟩_{μ \in k (α)}$ 恰好见证 $[F]_{U} = ⟨[f_{μ}]_{U} ⟩_{μ \in κ} \in M$ . 首先, $M ⊨ isFun ([F]_{U}) \land dom ([F]_{U}) = κ = [k]_{U}$ 当且仅当 ${α \in κ ∣ isFun (F (α)) \land dom (F (α)) = k (α)} \in U$ , 但由定义前面这个集合是 $κ$ 自己, 所以这一切都是对的. 另一方面, 任取 $μ = [c_{μ}]_{U} \in κ$ , 我们希望 $M ⊨ [F]_{U} ([c_{μ}]_{U}) = [f_{μ}]_{U}$ , 这当且仅当 ${α \in κ ∣ (μ, f_{μ} (α)) \in F (α)} \in U$ ; 由 $F$ 定义, 这件事对 $α ∋ μ$ 一定都对, 而我们知道每个 $κ$ 的后段都是 $U$ 的元素, 遂得证.
2.	考虑满射 $F : κ^{κ} \to j (κ), f \mapsto [f]_{U}$ . 如果 $U \in M$ , 则 $F \in M$ 在其中见证 $j (κ) \leq ∣ κ^{κ} ∣^{M} = (2^{κ})^{M}$ , 这与我们先前的不等式矛盾.
3.	上述满射已经说明 $∣ j (κ) ∣^{V} = 2^{κ}$ .
4.	我们记 $λ = κ^{+}$ , 验证 $F = ⟨ j (α) ⟩_{α \in λ}$ 不在 $M$ 中. 鉴于 $λ$ 正则, $M$ 认定 $j (λ)$ 正则, 但不等式告诉我们 $λ = κ^{+} \leq 2^{κ} < j (κ) \leq j (λ)$ , 我们证明 $ran (F)$ 在 $j (λ)$ 中无界, 这样 $F \in M$ 就会导致 $F$ 见证 $j (λ)$ 在 $M$ 中并非正则而矛盾. 给定 $[f]_{U} \in j (λ)$ , 这说明 $X = {α \in κ ∣ f (α) \in λ} \in U$ , 此时只有 $κ$ 多个 $α \in X$ , 所以 $f (α)$ 在 $λ = κ^{+}$ 中有界, 不妨设 $θ = ⋃_{α \in X} f (α) \in λ$ 为其上确界, 立得 $[f]_{U} \in j (θ)$ .
5.	如果 $cf (λ) = κ$ , 显然 $λ \geq κ$ ; $λ = κ$ 显然, 故假定 $f : κ \to λ$ 是 $λ > κ$ 的一个共尾列, 显见 $[f]_{U}$ 恰好夹在每个 $j (μ)$ 和 $j (λ)$ 之间.
6.	如果 $cf (λ) \neq = κ$ , 我们分小于和大于两情况考察. 如果 $cf (λ) = μ \in κ$ , 假定 $f : μ \to λ$ 是个共尾列, $M$ 将认定 $j (f)$ 是 $j (μ) = μ$ 到 $j (λ)$ 的共尾列, 且对 $α \in μ$ 都有 $j (f (α)) = j (f) (j (α)) = j (f) (α)$ , 换言之 $⟨ j (μ) ⟩_{μ \in λ}$ 的子列 $⟨ j (f (α)) ⟩_{α \in μ}$ 已经共尾了. 如果 $κ \in μ = cf (λ)$ , 任取 $[f]_{U} \in j (λ)$ , 由定义都有 $X = {α \in κ ∣ f (α) \in λ} \in U$ ; 鉴于 $α$ 只有 $κ < μ$ 个, 把 $f (α)$ 们全部叠起来也不能在 $λ$ 中共尾, 换言之 $θ = ⋃_{α \in X} f (α) < λ$ , 而这就说明 $[f]_{U} \in j (θ)$ 了.
7.	$λ$ 强极限时, $λ < κ$ 显然, $λ > κ$ 时我们希望通过上述等式加上 $λ = lim_{μ \in λ} j (μ)$ 来证明 $λ = j (λ)$ ; 这是因为任给 $α \in λ$ , 一方面总有 $α \leq j (α)$ , 另一方面由我们之前建立满射的手法有 $∣ j (α) ∣ \leq ∣∣ α ∣^{κ} ∣ < λ$ (因为 $λ$ 不可达), 因此 $j (α) < λ$ .

$□$

一个显然的事实是,

α \in j (A)

仍会造出

κ

完备非主超滤来, 它仅仅是不再正规, 而上述结论则说明每个

κ

完备非主正规超滤都通过这种方式被

2^{κ}

个

κ

完备非主超滤归约到. 另一方面, 后面这些限制性的结论强烈依赖于我们构造这个初等嵌入的手法, 而我们甚至可以说得更好.

定理 3.2.0.10. 任给集 $I$ 上 $σ$ 完备非主超滤 $U$ 生成的 $j = j_{U} : V \to M = Ult (V, U)$ , 我们有:

1.	如果 $j ‘‘ (X) \in M$ , $Y \subseteq M$ 且 $∣ Y ∣ \leq ∣ X ∣$ , 则须 $Y \in M$ .
2.	任给序数 $γ$ , $j ‘‘ γ \in M$ 当且仅当 $M^{γ} \subseteq M$ .
3.	$j ‘‘ (∣ I ∣^{+})$ 和 $U$ 不属于 $M$ .

证明. 思路与之前是类似的.

1.

令 $Y = {[f_{x}]_{U} ∣ x \in X}$ , 并设 $[h]_{U} = j ‘‘ X$ , 显然不妨设 $h : I \to ℘ (X)$ . 令 $g : I \to V$ 由 $g (i) : h (i) \to V, x \mapsto f_{x} (i)$ 定义, $[g]_{U}$ 的值域就是 $Y$ .

2.

由上显然.

3.

首先反设有 $f$ 让 $[f]_{U} = j ‘‘ (∣ I ∣^{+})$ . 对 $A = {i \in I ∣∣ f (i) ∣ \leq ∣ I ∣} \subseteq I$ , 有两种可能: 如果 $A \in U$ , 则任取 $α \in ∣ I ∣^{+} \ ⋃_{i \in A} f (i)$ 有 $j (α) \neq \in [f]_{U}$ 矛盾; 如果 $I \ A \in U$ , 那么我们有单射 $h : I \ A \to ⋃_{i \in A} f (i)$ 使得 $h (i) \in f (i)$ , 于是 $[h]_{U} \in [f]_{U} \ j ‘‘ V$ , 还是矛盾.

如果 $U \in M$ , 我们通过说明 $j ‘‘ (∣ I ∣^{+}) \in M$ 来给出矛盾. 这是因为 $U \in M$ 则 $I \in M$ , 进而 $℘ (I) \in M$ , 进而 $℘ (I \times I) \in M$ , 所以 $I$ 上全体良序构成的集合 $R \subseteq ℘ (I \times I)$ 属于 $M$ , 最后 $(R)^{I} \in M$ , 但每个 $α \in ∣ I ∣^{+}$ 都对应于一个 $I$ 上良序, 进而 $j (α)$ 是这个良序 $R$ 对应的 $[c_{R}]_{U}$ 的序型, 但 $c_{R} \in (R)^{I}$ , 所以 $j ‘‘ (∣ I ∣^{+})$ 经过这串操作属于 $M$ .

$□$

我们最后指出初等嵌入方法的上界.

定理 3.2.0.11 (Kunen, $NBG + A C$ ). 不存在非平凡初等嵌入 $j : V \to V$ .

评注. Suzuki 的定理说的是 $ZF$ 下不存在一阶可定义的非平凡初等嵌入, 但二阶集合论 $NBG + A C$ 中的一个初等嵌入作为二阶对象 (真类) 根本不关心自己有没有可能被一个一阶句子定义. 这一定理也可以写为一阶集合论的形态, 代价是我们要加入一个不可定义的函数符号 $j$ .

证明. 这个证明是 Woodin 的. 如若不然, 取

j

的关键点

κ

, 它是个可测基数. 我们可以考虑反复迭代获得

j (κ)

,

j (j (κ))

, ..., 这将变为一个长

ω

的严格增序数链, 由上上个定理我们显然能看出其上确界

λ \geq κ

满足

j (λ) = λ

. 我们考虑 Solovay 定驻集分裂定理, 它说

λ^{+}

的定驻子集

S_{ω}^{λ^{+}}

可以分裂成

λ^{+}

个两两不交的定驻集, 我们只取它的一个分裂成

κ

个两两不交的定驻集的方案, 列举为

S : κ \to ℘ (λ^{+})

. 鉴于

j

初等,

j (S)

将是

j (κ)

到

j (λ^{+}) = j (λ)^{+} = λ^{+}

的单射, 让每个

α \in j (κ)

打到一个对某个

S_{ω}^{λ^{+}}

的子定驻集

j (S) (α)

, 且它们最后确实构成一个划分. 我们揪出

j (S) (κ)

来拷问: 首先, 它是

S_{ω}^{λ^{+}}

的子集说明有一个

α_{0} \in κ

让

S (α_{0}) \cap j (S) (κ)

不空, 我们进而断言有一个

α_{0} \in κ

让

S (α_{0}) \cap j (S) (κ)

定驻 (否则对每个

α_{0}

指定闭无界集

C_{α_{0}}

见证这东西不定驻,

κ < λ^{+}

说明诸

C_{α_{0}}

的交集闭无界, 它见证

j (S) (κ)

不定驻, 这就矛盾了). 另一方面,

C = {ξ \in λ^{+} ∣ j (ξ) = ξ \land cf (ξ) = ω}

是

ω

闭且无界的, 所以

C \cap (j (S) (κ) \cap S (α_{0}))

不空, 取一个里面的元素

ξ

. 鉴于

j (ξ) = ξ

,

ξ \in S (α_{0})

说明

j (ξ) \in j (S (α_{0})) = j (S) (j (α_{0}))

, 我们最终得到

ξ \in j (S) (κ) \cap j (S) (j (α_{0}))

, 于是

j (S)

并不构成一个划分, 矛盾.

$□$

证明. 这个证明源自 Mikio Harada, 它避免了使用 Solovay 定驻集分裂定理. 仍然来考虑 $λ = ⋃_{n \in ω} j^{(n)} (κ)$ , 我们想通过 $j ‘‘ (λ) \in V$ 导出矛盾. 取基数 $2^{λ}$ 到 $℘ (λ)$ 的双射 $g$ , 按定义 $℘ (λ) = ran (g)$ , 所以 $℘ (λ) = ℘ (j (λ)) = j (℘ (λ)) = j (ran (g))$ , 而又有 $j ‘‘ λ \in ℘ (λ) = j (ran (g))$ . 我们取最小的序数 $σ$ , 使得我们可以再取一个单射 $F : σ \to ℘ (λ)$ 让 $j ‘‘ λ \in j (ran (F))$ ; 记 $I = ran (F)$ , 我们进而可以获得 $I$ 上的 $σ$ 完备非主超滤 $U$ , 方案是令 $X \in U$ 当且仅当 $X \subseteq I \land j ‘‘ λ \in j (X)$ . 我们造出初等嵌入 $i : V \to Ult (V, U)$ , 则:

1.	$i ‘‘ (λ) = [id]_{U}$ , 此处 $id : I \to I$ 是熟知的恒等函数. 这是因为 $[f]_{U} \in [id]_{U}$ 当且仅当 ${i \in I ∣ f (i) \in i} \in U$ , 当且仅当 $j ‘‘ λ \in j ({i \in I ∣ f (i) \in i}) = {i \in j (I) ∣ j (f) (i) \in i}$ , 当且仅当 $j (f) (j ‘‘ (λ)) \in j ‘‘ (λ) = {j (α) ∣ α \in λ}$ , 当且仅当存在 $α \in λ$ 使得 $j (f) (j ‘‘ (λ)) = j (α)$ , 当且仅当存在 $α \in λ$ 使得 $j ‘‘ (λ) \in {i \in j (I) ∣ j (f) (i) = j (α)} = j ({i \in I ∣ f (i) = α})$ , 当且仅当存在 $α \in λ$ 使得 ${i \in I ∣ f (i) = α} \in U$ , 当且仅当 $[f]_{U} = i (α)$ . 这顺便说明 $i ‘‘ (λ) \in i (ran (F)) \in Ult (V, U)$ .
2.	任给 $α \leq λ$ , $[⟨ otp (i \cap α, \in) ⟩_{i \in I}]_{U} = α$ . 显然当归纳 $α$ , 然后注意 $[f]_{U} \in [⟨ otp (i \cap α, \in) ⟩_{i \in I}]_{U}$ 当且仅当 ${i \in I ∣ f (i) \in otp (i \cap α, \in)} \in U$ , 当且仅当 $j ‘‘ (λ) \in j ({i \in I ∣ f (i) \in otp (i \cap α, \in)}) = {i \in j (I) ∣ j (f) (i) \in otp (i \cap j (α), \in)}$ , 当且仅当 $j (f) (j ‘‘ (λ)) \in otp (j ‘‘ (λ) \cap j (α), \in)$ , 当且仅当存在 $β \in α \leq λ$ 使得 $j (f) (j ‘‘ (λ)) = otp (j ‘‘ (λ) \cap j (β), \in)$ , 继续装回去即可.
3.	$i ↾_{λ + 1} = j ↾_{λ + 1}$ , 这是因为超幂构造的典范性要求有 $k : Ult (V, U) \to V, [f]_{U} \mapsto j (f) (j ‘‘ (λ))$ 初等, 而 $j = k \circ i$ , 另一方面上一条已经说明 $k ↾_{λ + 1}$ 是恒等的.

由上一定理, 我们有

Ult (V, U)^{λ} \subseteq Ult (V, U)

, 因此

Ult (V, U)

正确计算

℘ (λ)

, 且

λ

强极限 (反复运用

2^{κ} < j (κ)

) 简单说明

i ↾_{V_{λ}} \in Ult (V, U)

, 于是

i (λ) = λ

, 从而

i ‘‘ ℘ (λ) = {⋃_{α \in λ} i (X \cap α) ∣ X \in ℘ (λ)} \in Ult (V, U)

, 于是

Ult (V, U)

正确计算基数

2^{λ}

, 换言之

2^{λ} = i (2^{λ})

. 注意到

∣ I ∣ = σ \leq 2^{λ}

, 理应有

i ‘‘ (∣ I ∣^{+}) \neq \in Ult (V, U)

, 但

i ‘‘ (2^{λ})

已经在里面了, 所以必然有

2^{λ} < ∣ I ∣^{+} = σ^{+}

, 换言之

σ = 2^{λ}

. 然而, 这将说明

i (σ) = σ

, 于是

σ = ⋃_{α \in σ} α

说明

σ = i (σ) = ⋃_{α \in σ} i (α)

, 但

λ \in σ

让

i ‘‘ λ \in ran (i (F))

, 这说明有一个

α \in σ

让

i ‘‘ λ \in ran (i (F) ↾_{α})

, 进而有一个

α \in σ

让

i ‘‘ λ \in ran (i (F) ↾_{i (α)}) = ran (i (F ↾ α))

, 但这就说明

α

见证

σ

并非最小, 矛盾.

$□$

Gaifman 定理已经说明, 不能有

Σ_{1}

正确的初等嵌入

V \to V

(因为它将全初等, 从而 (

ZF

) 不可定义或 (

ZFC

) 不存在), 但我们如果降低对正确性的要求又当如何呢? 下列定理将说明可测基数恰好就是我们想要的概念.

定理 3.2.0.12 ( $ZFC$ ). $κ$ 是可测基数与下列要求两两等价:

1.	存在 $Δ_{0}$ 初等嵌入 $j : V \to V$ 以 $κ$ 为关键点.
2.	存在 $Δ_{1}$ 初等嵌入 $j : V \to V$ 以 $κ$ 为关键点.
3.	存在嵌入 $j : V \to V$ 以 $κ$ 为关键点, 且 $j$ 对每个 $Σ_{1}$ 公式 $φ (x_{0}, ..., x_{n - 1})$ 都有 $φ (x_{0}, ..., x_{n - 1}) \to φ (j (x_{0}), ..., j (x_{n - 1}))$ .

证明.

κ

可测, 则第三条由于

Σ_{1}

公式向上绝对而

M \subseteq V

是显然的.

3 \to 2

显然是因为

Δ_{1}

的

φ

允许你对

φ

和

\neg φ

各用一次

Σ_{1}

带来的性质.

2 \to 1

更是显然的弱化. 如果有

1

, 我们先前的论证稍作修正足以说明

{X \subseteq κ ∣ κ \in j (X)}

是

κ

上的

κ

完备非主超滤子, 所以

κ

可测.

$□$

Kunen 原始的对初等嵌入

j : V \to V

不存在的证明要等到下一章建立了分拆关系及相关的大基数概念后才好给出, 我们现在暂且搁置.

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3.2. 可测基数