4.2. 加强的钻石原则

现在我们给出钻石原则的一些加强形式.

定义 4.2.0.1. 对不可数正则基数 $\kappa$ 的定驻子集 $S$, 如果 $\vec{\mathcal{A}}=⟨{\mathcal{A}}_{\alpha }{⟩}_{\alpha \in S}$ 满足 ${\mathcal{A}}_{\alpha }\subseteq \wp (\alpha )$ 且 $|{\mathcal{A}}_{\alpha }|\le |\alpha |$ 对每个 $\alpha \in S$ 成立, 且任给 $\kappa$ 的子集 $A$, 总

1.	有集合 $\{\alpha \in S|A\cap \alpha \in {\mathcal{A}}_{\alpha }\}$ 定驻, 则称 $\vec{\mathcal{A}}$ 是一个 ${◊}^{-}(S)$ 序列;
2.	有 $\kappa$ 的闭无界集 $C$ 使得 $\forall \alpha \in C\cap S(A\cap \alpha \in {\mathcal{A}}_{\alpha })$, 则称 $\vec{\mathcal{A}}$ 是一个 ${◊}^{\ast }(S)$ 序列;
3.	有 $\kappa$ 的闭无界集 $C$ 使得 $\forall \alpha \in C\cap S(A\cap \alpha \in {\mathcal{A}}_{\alpha }\wedge C\cap \alpha \in {\mathcal{A}}_{\alpha })$, 则称 $\vec{\mathcal{A}}$ 是一个 ${◊}^{+}(S)$ 序列.

原则 ${◊}^{-}(S),{◊}^{\ast }(S)$ 和 ${◊}^{+}(S)$ 即宣称以上序列存在. $S$ 的缺省值同样是 ${\omega }_1$.

我们首先指出它们相互之间的关系.

定理 4.2.0.2. 对不可数正则基数 $\kappa$ 及其任意定驻子集 $S$, 下列推断成立:

证明. 唯一不平凡的论证是 ${◊}^{-}(S)\to ◊(S)$. 给定 ${◊}^{-}(S)$ 序列 $⟨{\mathcal{A}}_{\alpha }{⟩}_{\alpha \in S}$, 我们取一个双射 $F:\kappa \to \kappa \times \kappa$, 使得在极限序数 $\alpha \in \kappa$ 处总有 $F‘‘\alpha =\alpha \times \alpha$. 由于 ${\mathcal{A}}_{\alpha }$ 基数不超过 $\alpha$, 取满射 $\alpha \to {\mathcal{A}}_{\alpha }$ 把 $\beta \in \alpha$ 打到 $A_{\alpha }^{\beta }\in {\mathcal{A}}_{\alpha }$(如果 ${\mathcal{A}}_{\alpha }$ 不幸为空, 就让 $A_{\alpha }^{\beta }$ 全都是空集), 于是总有 $A_{\alpha }^{\beta }\subseteq \alpha$. 我们进一步对所有 $\alpha ,\beta \in \kappa$ 定义 $A_{\alpha }^{\beta }$, 方案是对前面没定义过的情况也直接要求 $A_{\alpha }^{\beta }$ 为空. 令 $B_{\alpha }^{\beta }=\{\xi \in \alpha |(\xi ,\beta )\in F‘‘A_{\alpha }^{\beta }\}$, 我说存在 $\beta \in \kappa$ 让 $⟨B_{\alpha }^{\beta }{⟩}_{\alpha \in S}$ 见证 $◊(S)$.

反设不然, 这意味着对任何 $\beta \in \kappa$ 都有 $\kappa$ 的子集 $N_{\beta }$ 见证 $\{\alpha \in S|N_{\beta }\cap \alpha =B_{\alpha }^{\beta }\}$ 并非定驻, 我们进而可令 $N={\bigcup }_{\beta \in \kappa }(N_{\beta }\times \{\beta \})\subseteq \kappa \times \kappa$, 于是 $M=F^{-1}(N)$ 是 $\kappa$ 的子集. 鉴于 ${◊}^{-}(S)$, 我们有 $\{\alpha \in S|M\cap \alpha \in {\mathcal{A}}_{\alpha }\}$ 定驻, 进而其由全体其内的极限序数构成的子集 $\{\alpha \in S|\bigcup \alpha =\alpha \wedge M\cap \alpha \in {\mathcal{A}}_{\alpha }\}$ 也定驻 (因为极限序数构成一闭无界集), 又注意到根据假设 $\bigcup \alpha =\alpha$ 将使得 $F‘‘\alpha =\alpha \times \alpha$, 换言之 $F^{-1}(\alpha \times \alpha )=\alpha$, 于是 $M\cap \alpha =F^{-1}(N\cap (\alpha \times \alpha ))$, 于是这个定驻集是 $\{\alpha \in S|\exists \beta \in \alpha (N\cap (\alpha \times \alpha )=F‘‘A_{\alpha }^{\beta })\}$ 的子集, 换言之这个集也定驻. 按定义, $N\cap (\alpha \times \alpha )={\bigcup }_{\gamma \in \kappa }(N_{\gamma }\cap \alpha )\times (\{\gamma \}\cap \alpha )={\bigcup }_{\gamma \in \alpha }(N_{\gamma }\cap \alpha )\times \{\gamma \}$, 所以它等于 $F‘‘A_{\alpha }^{\beta }$ 将导致 $B_{\alpha }^{\beta }=\{\xi \in \alpha |(\xi ,\beta )\in {\bigcup }_{\gamma \in \alpha }(N_{\gamma }\cap \alpha )\times \{\gamma \}\}=\{\xi \in \alpha |\beta \in \alpha \wedge \xi \in N_{\beta }\cap \alpha \}=N_{\beta }\cap \alpha$, 于是前面那个集是 $\{\alpha \in S|\exists \beta \in \alpha (N_{\beta }\cap \alpha =B_{\alpha }^{\beta })\}$ 的子集, 所以最后这个集合定驻.

但另一方面, 我们要证明 $\{\alpha \in S|\exists \beta \in \alpha (N_{\beta }\cap \alpha =B_{\alpha }^{\beta })\}$ 并不定驻. 这是因为鉴于 $\{\alpha \in S|N_{\beta }\cap \alpha =B_{\alpha }^{\beta }\}$ 都不定驻, 它们的补集 $\{\alpha \in S|N_{\beta }\cap \alpha \ne B_{\alpha }^{\beta }\}$ 都有闭无界子集, 记为 $C_{\beta }$. 注意 ${\Delta }_{\beta \in \kappa }{C}_{\beta }=\{\alpha \in \kappa |\alpha \in {\bigcap }_{\beta <\alpha }{C}_{\beta }\}$ 是闭无界的, $\alpha \in {\bigcap }_{\beta <\alpha }{C}_{\beta }$ 就是 $\forall \beta \in \alpha (\alpha \in C_{\beta })$, 而 $\alpha \in C_{\beta }$ 又推出 $N_{\beta }\cap \alpha \ne B_{\alpha }^{\beta }$, 这一切合起来说明 $\{\alpha \in \kappa |\forall \beta \in \alpha (N_{\beta }\cap \alpha \ne B_{\alpha }^{\beta })\}$ 有闭无界子集, 于是其补集 $\{\alpha \in \kappa |\exists \beta \in \alpha (N_{\beta }\cap \alpha =B_{\beta }^{\alpha })\}$ 不定驻, 而我们开始提到的集合是它与 $S$ 的交, 自然也是不定驻的. 这就是矛盾.

$\square$

接下来照旧分析相容性, 妙处在于恰恰是不可言说性要出问题.

定理 4.2.0.3 (Jensen). 任何不可言说的 $\kappa$ 均没有 ${◊}^{\ast }(\kappa )$ 序列.

证明. 换言之, 任给 $⟨{\mathcal{A}}_{\alpha }{⟩}_{\alpha \in \kappa }$, 我们需要找反例 $A\subseteq \kappa$ 使得任给闭无界集 $C$ 均存在 $\alpha \in C$ 使得 $A\cap \alpha \notin {\mathcal{A}}_{\alpha }$. 我们照旧根据 ${\mathcal{A}}_{\alpha }\subseteq \wp (\alpha )$ 基数不超过 $\alpha$ 做枚举 $A_{\alpha }^{\beta }\subseteq \alpha$, 它仅在 $\beta \in \alpha$ 时可能不为空, 且当 ${\mathcal{A}}_{\alpha }$ 不空时有 ${\mathcal{A}}_{\alpha }=\{A_{\alpha }^{\beta }|\beta \in \alpha \}$. 令 $B_{\alpha }={\bigcup }_{\beta \in \alpha }{A}_{\alpha }^{\beta }\times \{\beta \}\subseteq \alpha \times \alpha$, 我们能继续用之前的 $\kappa$ 到 $\kappa \times \kappa$ 的特殊双射来通过不可言说性获得一个 $B\subseteq \kappa \times \kappa$ 使得 $S=\{\alpha \in \kappa |B\cap (\alpha \times \alpha )=B_{\alpha }\}$ 定驻. 令 $A_{\gamma }=\{\beta \in \kappa |(\beta ,\gamma )\in B\}$, 我们证明只要 $\kappa$ 的子集 $A$ 满足 $\forall \gamma \in \kappa (A\ne A_{\gamma })$, 就一定有闭无界集 $D$ 让任何属于 $D\cap S$ 的 $\beta$ 都见证 $A\cap \beta \notin {\mathcal{A}}_{\beta }$, 特别地任取这样的一个 $A$(注意 $A$ 有 $2^{\kappa }$ 多个, 但 $A_{\gamma }$ 只有 $\kappa$ 多个), 它都是我们要的反例, 因为任取闭无界集 $C$ 总有任何 $C\cap D\cap S$ 中的 $\beta$ 都见证 $A\cap \beta \notin {\mathcal{A}}_{\beta }$, 随便取一个就好了.

为了证明我们的断言, 注意到 $A\ne A_{\gamma }$ 本身说明存在一个闭无界集 (事实上是 $\kappa$ 的后段)$D_{\gamma }$ 让所有 $\beta \in D_{\gamma }$ 都见证 $A\cap \beta \ne A_{\gamma }\cap \beta$. 取 $D={\Delta }_{\gamma \in \kappa }{D}_{\gamma }$, 则 $\beta \in D$ 将说明 $\beta \in {\bigcap }_{\gamma \in \beta }{D}_{\gamma }$, 换言之任给 $\gamma \in \beta$ 都有 $\beta \in D_{\gamma }$, 按定义这说明 $A\cap \beta \ne A_{\gamma }\cap \beta$. 如果 $\beta$ 进一步属于 $S$, 那么 $A_{\gamma }\cap \beta =\{\xi \in \beta |\xi \in A_{\gamma }\}=\{\xi \in \beta |(\xi ,\gamma )\in B\}=\{\xi \in \beta |(\xi ,\gamma )\in B\cap (\beta \times \beta )\}=\{\xi \in \beta |(\xi ,\gamma )\in B_{\beta }\}=\{\xi \in \beta |\xi \in A_{\beta }^{\gamma }\}=A_{\beta }^{\gamma }$, 所以对任何 $\gamma \in \beta$ 我们都有 $A\cap \beta \ne A_{\gamma }^{\beta }$, 于是 $A\cap \beta \notin {\mathcal{A}}_{\beta }$.

$\square$

与之对应的, 我们会猜想如果 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$, 则任何不是不可言说基数的不可数正则基数 $\kappa$ 都让 ${◊}^{+}(\kappa )$ 成立. 这也确实是对的, 但其证明相当繁杂, 我们将其挪入下一小节内. 我们现在给出两个钻石原则的推论.

定义 4.2.0.4. 对不可数正则基数 $\kappa$, 我们考虑下列陈述:

1.	$\kappa -$Kurepa 猜想, 记为 $K{H}_{\kappa }$: 存在 $\mathcal{A}\subseteq \wp (\kappa )$ 使得 $|\mathcal{A}|\ge {\kappa }^{+}$, 但对每个无穷序数 $\alpha \in \kappa$ 都有 $|\{A\cap \alpha |A\in \mathcal{A}\}|\le |\alpha |$.
2.	$\kappa -$Prikry 猜想, 记为 $P{H}_{\kappa }$: 存在 $F\subseteq {\kappa }^{\kappa }$ 使得任给 $g\in {\kappa }^{\kappa }$ 都有 $f\in F$ 让 $\{\alpha \in \kappa |g(\alpha )<f(\alpha )\}$ 有闭无界子集, 但对每个无穷序数 $\alpha \in \kappa$ 都有 $|\{f\cap {\alpha }^{(2)}|f\in F\}|\le |\alpha |$.

我们首先证实:

定理 4.2.0.5. ${◊}^{+}(\kappa )⊢P{H}_{\kappa }$, 而 $P{H}_{\kappa }$ 推出 $K{H}_{\kappa }$.

证明. 先用 ${◊}^{+}(\kappa )$ 证明 $P{H}_{\kappa }$. 取 ${◊}^{+}(\kappa )$ 要求的序列 ${\mathcal{A}}_{\alpha }$. 对每个 $\alpha \in \kappa$, 我们 (用 LS 定理) 取 $ZFC-$ 的基数不超过 $|\alpha |+{\aleph }_0$ 的传递模型 $M_{\alpha }$ 适合以下要求: 对每个 $\beta \le \alpha$, $\beta \in M_{\alpha }$ 且 ${\mathcal{A}}_{\beta }\subseteq M_{\alpha }$. 现在做 $F=\{f\in {\kappa }^{\kappa }|\forall \alpha \in \kappa (f\cap {\alpha }^{(2)}\in M_{\alpha })\}$, 只需验证任给 $g\in {\kappa }^{\kappa }$ 有 $f\in F$ 和闭无界集 $C\subseteq \kappa$ 使得 $\forall \alpha \in C(g(\alpha )<f(\alpha ))$. 首先取闭无界集 $A\subseteq \kappa$ 使得 $\forall \alpha \in A(g\upharpoonright \alpha \in {\alpha }^{\alpha })$(这是因为 $G:\kappa \to \kappa ,\alpha \mapsto {\bigcup }_{\beta \in \alpha }g(\beta )$ 是正规函数, 令 $A=\mathrm{Fix}(G)$ 即可), 再取闭无界集 $C^{\prime }\subseteq \kappa$, 方案是递归地令 $\gamma \in C^{\prime }\leftrightarrow A\cap \gamma \in {\mathcal{A}}_{\gamma }\wedge C^{\prime }\cap \gamma \in {\mathcal{A}}_{\gamma }$. 取 $C=A\cap C^{\prime }$, 我们验证 $f:\alpha \mapsto \min (C\backslash \mathrm{Succ}(\alpha ))$ 正为所求.

首先验证 $\forall \alpha \in C(g(\alpha )<f(\alpha ))$. 注意 $\alpha <\min (C\backslash \mathrm{Succ}(\alpha ))=f(\alpha )\in C\subseteq A$, $g$ 限制在 $f(\alpha )$ 上的值域包含于 $f(\alpha )$, 故 $g(\alpha )\in f(\alpha )$.

还要验证 $f\in F$, 换言之 $\forall \alpha \in \kappa (f\cap {\alpha }^{(2)}\in M_{\alpha })$. 注意 $f\cap {\alpha }^{(2)}$ 事实上就是 $C\cap \alpha$ 的枚举函数, 我们只需验证 $C\cap \alpha \in M_{\alpha }$, 然后在 $M_{\alpha }$ 中使用自带的理论 ($ZFC-$) 来获得它. 如果 $C\cap \alpha$ 有穷, 这立即显然, 于是我们假定 $C\cap \alpha$ 最大的极限点是 $\gamma$, 仍有 $(C\cap \alpha )\backslash \gamma$ 有穷, 于是只要验证 $C\cap \gamma \in M$. 鉴于 $\gamma \in C\subseteq C^{\prime }$, 我们有 $A\cap \gamma$ 和 $C^{\prime }\cap \gamma$ 属于 ${\mathcal{A}}_{\gamma }\subseteq M_{\alpha }$, 于是这俩都属于 $M_{\alpha }$, 而 $C\cap \gamma$ 就是这俩的交集仍属于 $M_{\alpha }$, 证毕.

我们还需要用 $P{H}_{\kappa }$ 证明 $K{H}_{\kappa }$. 取定序数对到序数的双射 $\pi :\mathbf{Ord}\times \mathbf{Ord}\to \mathbf{Ord}$ 使得对每个无穷序数 $\alpha$ 都有 $\pi ‘‘{\alpha }^{(2)}=\alpha$, 则每个 $f\in {\kappa }^{\kappa }$ 都会变成 $\pi ‘‘f\subseteq \kappa$, 于是 $P{H}_{\kappa }$ 给出的 $F$ 就会双射到 $\mathcal{A}=(\pi ‘‘)‘‘F\subseteq \wp (\kappa )$, $K{H}_{\kappa }$ 对它的第二个要求由于 $\pi$ 的选取自动被满足, 我们只需要说明 $|\mathcal{A}|\ge {\kappa }^{+}$. 这无非是因为 $\kappa$ 的 $\kappa$ 个闭无界集的对角交还是闭无界, 我们从而可以用 $\kappa$ 个 $f_{\alpha }:\kappa \to \kappa$ 造出 $g:\kappa \to \kappa$ 使得任何 $\alpha \in \kappa$ 都让 $\{\gamma \in \kappa |f_{\alpha }(\gamma )\le g(\gamma )\}$ 有闭无界子集.

$\square$

可惜的是, $K{H}_{\kappa }$ 并不能说明 $\kappa$ 正则.

定理 4.2.0.6 ($\mathbf{V}=\mathbf{L}$). 对奇异基数 $\kappa$, $K{H}_{\kappa }$ 成立当且仅当 $\mathrm{cf}(\kappa )=\omega$.

证明. 先证仅当, 我们给出以下更好的版本:

定理 4.2.0.7 (Erdos–Hajnal–Milner). 若 $\kappa >\mathrm{cf}(\kappa )>\omega$ 且 $\forall \lambda <\kappa ({\lambda }^{\mathrm{cf}(\kappa )}\le \kappa )$, 任给 $\mathcal{A}\subseteq \wp (\kappa )$, 若 $\{\alpha \in \kappa ||\{A\cap \alpha |A\in \mathcal{A}\}|\le |\alpha |\}$ 定驻, 则 $|\mathcal{A}|\le \kappa$.

证明. 记所给定驻集为 $S=\{\alpha \in \kappa ||\{A\cap \alpha |A\in \mathcal{A}\}|\le |\alpha |\}$, 再取一个 $\kappa$ 的序型为 $\mathrm{cf}(\kappa )$ 的闭无界子集 $C$, 考虑定驻集 $S\cap C$, 它可以双射地视为 $\mathrm{cf}(\kappa )$ 上的定驻集 $T$, 不妨要求 $S\cap C$ 和 $T$ 的元素均为极限序数, $f:T\to S\cap C$ 是保序双射, 我们不妨扩张 $f$ 的定义域为整个 $\mathrm{cf}(\kappa )$ 使得 $\theta \in T$ 时 $f\upharpoonright \theta$ 在 $\theta$ 中共尾. 对每个 $\alpha \in S\cap C$ 我们令 $C_{\alpha }=\{\beta \in \kappa |\alpha \le \beta <\min (S\cap C\backslash \mathrm{Succ}(\alpha ))\}$, 不难意识到这提供了将 $\kappa$ 分成 $\mathrm{cf}(\kappa )$ 个两两不交的集的一个方案, 从而每个 $A\subseteq \kappa$ 一一对应于一个 $F_A:T\to \wp (\kappa ),\theta \mapsto A\cap C_{f(\theta )}$. 又注意 $\alpha \mapsto C_{\alpha }$ 也提供了将 $f(\theta )$ 分成 $\theta \cap T$ 个两两不交的集的方案 ($\theta \in T$), 而 $|\{A\cap f(\theta )|A\in \mathcal{A}\}|\le |f(\theta )|$, 于是每个 $A\cap f(\theta )$ 同样一一对应于一个 $G_{A,\theta }=F_A\upharpoonright (\theta \cap T):\theta \cap T\to \wp (\kappa ),\gamma \mapsto A\cap f(\theta )\cap C_{f(\gamma )}=F_A(\gamma )$, 我们进而有 $|\{G_{A,\theta }|A\in \mathcal{A}\}|\le |f(\theta )|$, 从而 $|\{G_{A,\theta }|A\in \mathcal{A}\wedge \theta \in T\}|\le |{\bigcup }_{\theta \in T}f(\theta )|=\kappa$. 如果我们直接说 $F_A$ 是 $|T|=\mathrm{cf}(\kappa )$ 个 $G_{A,\theta }$ 的并, 这只能证明 $|\mathcal{A}|\le {\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}$, 于是我们还需要想办法使用 Fodor 引理让它变成 $\le {\lambda }^{\mathrm{cf}(\kappa )}\le \kappa$.

由于 $|\{G_{A,\theta }|A\in \mathcal{A}\}|\le |f(\theta )|$, 我们取满射 $\Psi :f(\theta )\to \{G_{A,\theta }|A\in \mathcal{A}\}$ 见证此事. 对每个 $A\in \mathcal{A}$, 这意味着对每个 $\theta$ 我们有 $\gamma <f(\theta )$ 使得 $\Psi (\gamma )=G_{A,\theta }$, 进而有 $\delta <\theta$ 使得 $\gamma <f(\delta )$, 这就给出了累退函数 $g_A:\theta \mapsto \delta$, 我们设 Fodor 引理指出 $g_A$ 在定驻集 $R_A\subseteq T$ 上取常值 ${\delta }_A$. 如果 $|\mathcal{A}|\ge {\kappa }^{+}$, $A\mapsto ({\delta }_A,R_A)$ 会把 ${\kappa }^{+}$ 个东西映到 $\mathrm{cf}(\kappa )\times 2^{\mathrm{cf}(\kappa )}\le \kappa$ 个东西上, 所以有一组 $(\delta ,R)$ 让 ${\kappa }^{+}$ 个 $A$ 的 $({\delta }_A,R_A)$ 都等于它. 此时 $|f(\delta ){|}^{|R|}\le \kappa$, 我们注意 $A\mapsto \{\Psi (\gamma )|\theta \in R\}$ 应当是单射, 但左边有 $\ge {\kappa }^{+}$ 个东西而右边只有 $\le \kappa$ 个东西, 这就矛盾了.

$\square$

显然 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$ 推出 $GCH$ 推出此定理之前提, 且证明 $\neg K{H}_{\kappa }$ 时所给的条件更强 (那个集不但定驻而且就是整个 $\kappa$). 接下来证明当方向, 我们同样引入一些别的条件.

定义 4.2.0.8. 对不可数基数 $\kappa$, 方块原则 ${\square }_{\kappa }$ 即宣称以下 ${\square }_{\kappa }$ 序列 $C_{\alpha }(\alpha \in {\kappa }^{+}\wedge \mathrm{isLimOrd}(\alpha ))$ 存在:

1.	每个 $C_{\alpha }$ 都是 $\alpha$ 的一个闭无界子集;
2.	如果 $\beta <\alpha$, $C_{\beta }=\beta \cap C_{\alpha }$;
3.	如果 $\mathrm{cf}(\alpha )<\kappa$, $|C_{\alpha }|<\kappa$.

定理 4.2.0.9 (Jensen). 方块原则在 $\mathbf{L}$ 中处处成立.

这个定理的证明大量运用精细结构理论, 我们将其挪入第三章.

定理 4.2.0.10 (Todorcevic). 如果 $\mathrm{cf}(\kappa )=\omega$ 且 ${\square }_{\kappa }$, 则存在基数 ${\kappa }^{+}$ 的线序 $(L,<)$, 其中有一个基数 $\kappa$ 的稠集, 且它的每个基数不超过 $\kappa$ 的子集都是可列多个让 $<$ 在其上是良序的子集的并.

证明. 我们从 ${\kappa }^{\omega }$ 的字典序上面分离出这个 $L$. 取 ${\square }_{\kappa }$ 序列 $C_{\alpha }$, 再取诸 $C_{\alpha }$ 的极限点构成 $S_{\alpha }$, 最后固定一 $\kappa$ 的共尾列 ${\kappa }_n(n\in \omega )$ 让它们都是正则基数. 注意最后一个要求其实已经自动满足了, 因为每个 $({\kappa }^n,{\le }_{lex})$ 显然都是良序集, 我们重在构造有 $\kappa$ 大稠集的 ${\kappa }^{+}$ 大的 ${\kappa }^{\omega }$ 的子集.

$\square$

将这个线序同构为一个 $(L^{\prime },\subseteq )$ 让 $L^{\prime }\subseteq \wp (\kappa )$, 这就是 $K{H}_{\kappa }$ 的见证.

$\square$

最后, 我们来确立这猜想的否定的强度.

定理 4.2.0.11. $\kappa$ 是不可言说基数, 则 $\neg K{H}_{\kappa }$.

证明. 任给 $\mathcal{A}\subseteq \wp (\kappa )$, 如果对每个无穷序数 $\alpha \in \kappa$ 都有 $|\{\alpha \cap A|A\in \mathcal{A}\}|\le |\alpha |$, 我们证明 $|\mathcal{A}|\le \kappa$. 我们把 $\{\alpha \cap A|A\in \mathcal{A}\}$ 枚举为 $a_{\beta }^{\alpha }\subseteq \alpha (\beta <\alpha )$, 不足处用 $\varnothing$ 补齐. 妨效不可言说则没有 ${◊}^{\ast }(\kappa )$ 序列的证明中的手法, 取 $R_{\alpha }={\bigcup }_{\beta \in \alpha }\{\beta \}\times a_{\beta }^{\alpha }\subseteq {\alpha }^{(2)}$, 不可言说性说明有 $R\subseteq {\kappa }^{(2)}$ 使得 $S=\{\alpha \in \kappa |R\cap {\alpha }^{(2)}=R_{\alpha }\}$ 定驻, 我们令 $a_{\alpha }=R‘‘\{\alpha \}$, 只需证明 $\mathcal{A}\subseteq \{a_{\alpha }|\alpha \in \kappa \}$.

若不然, 假定 $a\in \mathcal{A}$ 不等于任何 $a_{\alpha }$, 则有闭无界集 $C\subseteq \kappa$ 使得 $\gamma \in C\to \forall \alpha \in \gamma (a\cap \gamma \ne a_{\alpha }\cap \gamma )$: 若不然, $\{\gamma \in \kappa |\exists \alpha \in \gamma (a\cap \gamma =a_{\alpha }\cap \gamma )\}$ 定驻, 而对每个 $\gamma$ 选最小的满足条件的 $\alpha$ 这一操作是其上的一个累退函数, 于是 Fodor 引理得到有 $\alpha$ 使得这些 $\gamma$ 定驻, 从而这些 $\gamma$ 无界多, 从而 $a=a_{\alpha }$, 矛盾. 但这个闭无界集自己也导出矛盾, 因为这说明 $C\cap S$ 定驻, 选一个 $\alpha \in C\cap S$, 则一方面 $R\cap {\alpha }^{(2)}=R_{\alpha }$, 另一方面 $\forall \beta \in \alpha (a\cap \beta \ne a_{\beta }\cap \alpha )$, 但 $a_{\beta }\cap \alpha =\{\theta \in \alpha |(\beta ,\theta )\in R\}=\{\theta \in \alpha |(\beta ,\theta )\in R_{\alpha }\}=a_{\beta }^{\alpha }$, 故 $a\cap \alpha$ 不等于任何 $a_{\beta }^{\alpha }$, 所以 $a\notin \mathcal{A}$, 矛盾.

$\square$

定理 4.2.0.12. 若 $\neg K{H}_{\kappa }$ 但 $\kappa$ 正则, ${\kappa }^{+}$ 在 $\mathbf{L}$ 中不可达.

证明. 它在 $\mathbf{L}$ 中正则是因为它真的正则, 我们验证它在 $\mathbf{L}$ 里极限. 若不然, 假定 $|{\alpha }^{+}{|}^{\mathbf{L}}={\kappa }^{+}$, 显然必有 $\kappa \le \alpha <{\kappa }^{+}$, 故实际上 $|\alpha |=\kappa$; 取一个 $A$ 编码这一双射, 则 $|\alpha {|}^{\mathbf{L}[A]}=\kappa$, 于是继续有 $|{\kappa }^{+}{|}^{\mathbf{L}[A]}={\kappa }^{+}$. 取 $\mathcal{A}=(\wp (\kappa ){)}^{\mathbf{L}[A]}$, 它显然见证 $K{H}_{\kappa }^{\prime }$(定义及等价性见下节), 这完成了反证.

$\square$