4.3. 广义钻石原则

需要大量补充.

我们简要介绍 Jensen 提出的双参数版本的钻石原则.

定义 4.3.0.1. 对基数 $\lambda \le \kappa$, 仍要求 $\kappa$ 正则, 原则 ${◊}^{+}(\kappa ,\lambda )$ 要求满足以下要求的序列 $⟨{\mathcal{A}}_x{⟩}_{x\in {\wp }_{\lambda }(\kappa )}$(此处 ${\wp }_{\lambda }(\kappa )=[\kappa {]}^{<\lambda }$) 存在:

1.	${\mathcal{A}}_x\subseteq \wp (x)$, $|{\mathcal{A}}_x|\le |x|$;
2.	任给 $A\subseteq \kappa$ 存在 (不一定闭的) 无界集 $C\subseteq \kappa$ 使得当 $C\cap x$ 在 $x$ 的最小上界 $\mathrm{lub}(x)$ 中无界时总有 $A\cap x$ 和 $C\cap x$ 都属于 ${\mathcal{A}}_x$.

显见 ${◊}^{+}(\kappa ,\kappa )\leftrightarrow {◊}^{+}(\kappa )$.

首先将 ${◊}^{+}(\kappa ,\lambda )$ 改成一个更易于操作的形式.

定理 4.3.0.2 (Jensen). ${◊}^{+}(\kappa ,\lambda )+2^{<\kappa }=\kappa$ 等价于要求存在满足以下要求的序列 $⟨{\mathcal{A}}_x{⟩}_{x\in {\wp }_{\lambda }(\kappa )}$:

1.	${\mathcal{A}}_x\subseteq \wp (\mathrm{lub}(x))$, $|{\mathcal{A}}_x|\le |x|$;
2.	任给 $A\subseteq \kappa$ 存在无界集 $C\subseteq \kappa$ 使得当 $C\cap x$ 在 $x$ 的最小上界 $\alpha =\mathrm{lub}(x)$ 中无界时总有 $A\cap \alpha$ 和 $C\cap \alpha$ 都属于 ${\mathcal{A}}_x$.

证明. 用后面这些条件推出前面的条件相对简单. 如果有后面这样子的一串 $⟨{\mathcal{A}}_x{⟩}_{x\in {\wp }_{\lambda }(\kappa )}$, 不难意识到 $⟨\{A\cap x|A\in {\mathcal{A}}_x\}{⟩}_{x\in {\wp }_{\lambda }(\kappa )}$ 就是最初的 ${◊}^{+}(\kappa ,\lambda )$ 序列, 而证明 $\kappa =2^{<\kappa }$ 则与用 $◊(\kappa )$ 时策略相当: 显然仍有 $\kappa \le 2^{<\kappa }$, 而对任意的 $A\subseteq \theta <\kappa$ 按假定都有无界集 $C\subseteq \kappa \backslash \theta$ 使得任给让 $C\cap x$ 在 $\alpha =\mathrm{lub}(x)\ge \theta$ 中无界的 $x\in {\wp }_{\lambda }(\kappa )$ 都有 $A=A\cap \alpha$ 和 $C\cap \alpha$ 属于 ${\mathcal{A}}_x$. 不妨仅让 $x$ 取为 $\kappa$ 的那些基数小于 $\lambda$ 的开区间, 这些 $x$ 总共只有 $\kappa$ 个, 而 ${\wp }_{\kappa }(\kappa )$ 由前已被 ${\bigcup }_x{\mathcal{A}}_x$ 包含, 后者仍然只有 $\kappa$ 那么大, 所以 $2^{<\kappa }\le \kappa$.

现在做另一方向, 即在 ${◊}^{+}(\kappa ,\lambda )$ 序列 $⟨{\mathcal{A}}_x{⟩}_{x\in {\wp }_{\lambda }(\kappa )}$ 和条件 $2^{<\kappa }=\kappa$ 的支持下构造满足这些条件的新序列 $⟨{\mathcal{A}}_x^{\prime }{⟩}_{x\in {\wp }_{\lambda }(\kappa )}$. 注意 $2^{<\kappa }=\kappa$ 意味着我们可以用一个集 $F\subseteq \kappa$ 来编码见证 $\kappa$ 和 $H_{\kappa }$ 同构的双射, 进而事实上有 $H_{\kappa }=L_{\kappa }[F]$. Jensen 的奇妙操作是这样的: 对 $x\in {\wp }_{\lambda }(\kappa )$, 如果 $|x|<{\aleph }_0$ 我们直接取 ${\mathcal{A}}_x^{\prime }=\varnothing$, 而当 $x$ 为无穷集时我们取 $M_x$ 为最小的 $(L_{\kappa }[F],\in ,F)$ 的、包括 $\mathrm{Succ}(x)$ 的初等子模型的论域, 然后再取 $N_x$ 为最小的 $(L_{\kappa }[F],\in ,F)$ 的、包含 $\mathrm{Succ}(M_x)$ 的、且对每个 $N_x\cap \wp (M_x)$ 中的元素 $y$ 让 ${\mathcal{A}}_y\subseteq N_x$ 的初等子模型的论域. (注意这俩初等子模型都不一定要传递! ) 取 ${\mathcal{A}}_x^{\prime }=\wp (\mathrm{lub}(x))\cap N_x$.

任取一集 $A\subseteq \kappa$. 由于 $⟨{\mathcal{A}}_x{⟩}_{x\in {\wp }_{\lambda }(\kappa )}$ 是 ${◊}^{+}(\kappa ,\lambda )$ 列, 我们有无界集 $B$ 让 $B\cap x$ 在 $x$ 的最小上界 $\beta =\mathrm{lub}(x)$ 中无界时总有 $A\cap x$ 和 $B\cap x$ 都属于 ${\mathcal{A}}_x$. 我们递归地定义这样一个正规函数 $f$: 注意到正规意味着极限步的递归方案唯一确定, 我们只需要要求 $f(0)=\varnothing$, 并令 $f(\gamma +1)$ 是最小的大于 $f(\gamma )$ 的、让 $B\cap \gamma$ 在 $\gamma$ 中无界且存在 $\tau \in \gamma$ 让 $L_{\kappa }[F]$ 在 ${<}^{L_{\kappa }[F]}$ 下的第 $\tau$ 项恰为 $(B\cap f(\gamma ),A\cap f(\gamma ))$ 的序数 $\gamma$. 进一步取 $g(\gamma )$ 为这个 $\tau$, 不难注意到 $f(\gamma )\le g(\gamma )<f(\gamma +1)$, 于是由 $f$ 枚举一个闭无界集, $g$ 将枚举一个无界集, 我们令为 $C$.

下面证明这个 $C$ 就是所要的, 换言之: 当 $C\cap x$ 在 $x$ 的最小上界 $\alpha =\mathrm{lub}(x)$ 中无界时, $A\cap \alpha$ 和 $C\cap \alpha$ 属于 ${\mathcal{A}}_x^{\prime }$. 令 $x^{\prime }=\alpha \cap M_x$, 则由定义 $x^{\prime }\in N_x$ 且 ${\mathcal{A}}_{x^{\prime }}\subseteq N_x$, 我们逐渐证明:

1.	$B\cap x^{\prime }$ 在 $x^{\prime }$ 中无界. 换言之, 对 $\tau \in x^{\prime }$, 我们需要一个 $\sigma \in B\cap x^{\prime }$ 在它之上. 注意到 $C\cap x$ 在 $\alpha$ 中无界而 $x^{\prime }\subseteq \alpha$, 我们一定有 $\gamma$ 让 $g(\gamma )\in C\cap x$ 大于 $\tau$, 进而不妨取出最小的让 $g(\gamma )\in C\cap x$ 且 $f(\gamma )>\tau$ 的 $\gamma$. 此时 $(B\cap f(\gamma ),A\cap f(\gamma ))$ 在 ${<}^L$ 下的标号恰是 $g(\gamma )$, 于是由 $g(\gamma )\in x$, 我们要有 $B\cap f(\gamma )\in M_x$. 令 $\sigma$ 是 $B\cap f(\gamma )$ 中最小的大于 $\tau$ 的序数, 它在 $M_x$ 中以参数 $\tau$ 和 $B\cap f(\gamma )$ 定义, 故而属于 $B\cap x^{\prime }$.
2.	$A\cap x^{\prime }$ 和 $B\cap x^{\prime }$ 均属于 $N_x$, 从而属于 ${\mathcal{A}}_{x^{\prime }}$. ($⟨{\mathcal{A}}_x⟩$ 是 ${◊}^{+}(\kappa ,\lambda )$ 列)
3.	$A\cap \alpha$ 和 $B\cap \alpha$ 均属于 $N_x$. 我们仅展示 $A\cap \alpha \in N_x$ 的证明. 令 $W$ 是所有的存在满足以下条件的 $\rho$ 的 $\tau \in x$ 构成的集: $A\cap \rho$ 是 ${<}^L$ 下序号为 $\tau$ 的集合的有序对第一位, 同时 $A\cap \rho$ 在 $\rho$ 中无界. 又令 $W^{\prime }$ 是所有的存在满足以下条件的 $\rho$ 的 $\tau \in x$ 构成的集: $A\cap \rho \cap x^{\prime }$ 是 ${<}^L$ 下序号为 $\tau$ 的集合的有序对第一位和 $x^{\prime }$ 的交, 同时 $A\cap \rho \cap x^{\prime }$ 在 $\rho$ 中无界. 我们断言 $W=W^{\prime }$. 显然 $W\subseteq W^{\prime }$, 反设 $W^{\prime }⊈W$, 取一个 $\tau \in W^{\prime }\backslash W$, 取 $\rho$ 见证 $\tau \in W^{\prime }$(显然它唯一), 我们令 $\mu$ 是 $\tau$ 中最小的属于 $A\backslash (\rho \cap x^{\prime })$ 的元素. 另取最小的 $\gamma$ 让 $\rho \le f(\gamma )\le g(\gamma )\in C\cap x$, 则 $\mu$ 获得新的定义: 它是 $\tau$ 中最小的属于 ${<}^L$ 下序号 $g(\gamma )$ 的集合的有序对第一位、但不属于 ${<}^L$ 下序号 $\tau$ 的集合的有序对第一位的序数. 这说明 $\mu$ 在 $M_x$ 中由参数 $\tau$ 和 $g(\gamma )$ 可定义, 于是 $\mu \in x^{\prime }$, 它见证 $A\cap \rho \cap x^{\prime }$ 并不是 ${<}^L$ 下序号为 $\tau$ 的集合的有序对第一位和 $x^{\prime }$ 的交, 矛盾. 于是一方面 $A\cap \alpha$ 由 $W$ 计算, 另一方面 $W^{\prime }\in N_x$, 我们有 $A\cap \alpha \in N_x$.

现在, $A\cap \alpha$ 已经属于 ${\mathcal{A}}_x^{\prime }$, 我们只要说明 $C\cap \alpha$ 也属于 ${\mathcal{A}}^{\prime }(x)$. 鉴于 $C$ 被 $A,B$ 定义, $C\cap \alpha$ 也同样被 $A\cap \alpha$ 和 $B\cap \alpha$ 定义, 故由后二者均属于 $N_x$, 前者也当属于 $N_x$.

$\square$

我们下面证明这个原则比 ${◊}^{+}(\kappa )$ 更好满足.

定理 4.3.0.3 (Jensen). 如果 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$, 则基数 $\lambda <\kappa$ 且 $\kappa$ 正则时必有 ${◊}^{+}(\kappa ,\lambda )$.

证明.

$\square$

评注. 类似地可以说明存在 $A\subseteq \kappa$ 使得 $\mathbf{V}=\mathbf{L}[A]$ 时 ${◊}^{+}(\kappa ,\lambda )$ 总成立.

现在来证明主小节中提到的事实.

定理 4.3.0.4 (Jensen). 任何不是不可言说基数的不可数正则基数 $\kappa$ 都让 ${◊}^{+}(\kappa )$ 成立

证明.

$\square$

评注. 相同的论证可以说明存在 $A\subseteq \kappa$ 和 $⟨A_{\alpha }{⟩}_{\alpha \in \kappa }$ 使得 $\mathbf{V}=\mathbf{L}[A]$、$⟨A_{\alpha }{⟩}_{\alpha \in \kappa }$ 见证 $\kappa$ 并非不可言说, 且 $\forall \alpha \in \kappa (A_{\alpha }\in \mathbf{L}[A\cap \alpha ])$ 时, ${◊}^{+}(\kappa ,\kappa )$ 成立.

类似的, 我们也有双参数版本的 Kurepa 猜想和 Prikry 猜想.

定义 4.3.0.5. 对不可数基数 $\lambda \le \kappa$, 仍要求 $\kappa$ 正则, 我们考虑下列陈述:

1.	$K{H}_{\kappa ,\lambda }$: 存在 $\mathcal{A}\subseteq \wp (\kappa )$ 使得 $|\mathcal{A}|\ge {\kappa }^{+}$, 但对每个 $x\in {\wp }_{\lambda }(\kappa )$ 都有 $|\{A\cap x|A\in \mathcal{A}\}|\le |x|$.
2.	$P{H}_{\kappa ,\lambda }$: 存在 $F\subseteq {\kappa }^{\kappa }$ 使得任给 $g\in {\kappa }^{\kappa }$ 都有 $f\in F$ 让 $\{\alpha \in \kappa |g(\alpha )<f(\alpha )\}$ 有闭无界子集, 每个 $x\in {\wp }_{\lambda }(\kappa )$ 都有 $|\{f\cap x^{(2)}|f\in F\}|\le |x|$.

显然仍有 $K{H}_{\kappa ,\kappa }\leftrightarrow K{H}_{\kappa }$ 和 $P{H}_{\kappa ,\kappa }\leftrightarrow P{H}_{\kappa }$.

我们证明它们确实也是 ${◊}_{\kappa ,\lambda }^{+}$ 的推论.

定理 4.3.0.6. ${◊}_{\kappa ,\lambda }^{+}\wedge 2^{<\kappa }=\kappa ⊢K{H}_{\kappa ,\lambda }\wedge P{H}_{\kappa ,\lambda }$.

有的集合论学家也把 ${\kappa }^{<\kappa }=\kappa$ 这个条件叫做 $\kappa$ 强正则.