2.3. 伸展范畴的积与余积

本节来探讨 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 具有有限积与余积的条件.

2.3.1伸展范畴的伴随

构造 2.3.1.1. 考虑饱和三元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R),(\mathcal{D},{\mathcal{D}}_L,{\mathcal{D}}_R)\in \mathsf{AdTrip}$. 且 $F,G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为可升级为 $\mathsf{AdTrip}$ 中态射的函子. 令 $\alpha :F\Rightarrow G$ 为自然变换, 且满足以下条件

1.	对于任意 $X\in \mathcal{C}$, 都有 $[{\alpha }_X:F(X)\to G(X)]\in {\mathcal{D}}_R$;
2.	对于 ${\mathcal{C}}_L$ 中态射 $l:Z\to X$, 以下图表在 $\mathcal{D}$ 中是拉回$$F(Z)G(Z)F(X)G(X).{\alpha }_{X}F(l)G(l){\alpha }_Y$$

现在将 $F$ 与 $G$ 升级为伸展范畴间的函子 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})\to {\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{D})$, 以下构造伸展范畴间的自然变换$${\mathsf{Span}}^R(\alpha ):\mathsf{Span}(F)\Rightarrow \mathsf{Span}(G).$$利用例 1.2.1.4 给 $[1]$ 配上饱和三元组结构 $([1],[1{]}^{\simeq },[1])$. 则 $\mathcal{C}\times [1]$ 也具有饱和三元组结构. 现在利用 Curry 化将 $\alpha$ 视同函子 $\mathcal{C}\times [1]\to \mathcal{D}$, 则条件 1 以及条件 2  就在事实上保证了 $\alpha$ 可升级为饱和三元组间态射, 因此其诱导函子$${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}\times [1])\to {\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{D}).$$利用命题 1.2.3.5 可知 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}\times [1])\simeq {\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})\times {\mathsf{Span}}_{同构,全体态射}([1])$. 而 ${\mathsf{Span}}_{同构,全体态射}([1])\simeq [1]$, 从而得到伸展范畴间的函子$${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})\times [1]\to {\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{D}).$$此时限制到 $0$ 和 $1$ 上分别是 $\mathsf{Span}(F)$ 以及 $\mathsf{Span}(G)$. 这样就造出了自然变换 ${\mathsf{Span}}^R(\alpha )$, 将其逐点写出即为$$F(X)=F(X)\stackrel{{\alpha }_X}{\to }G(X).$$

注 2.3.1.2. 不难发现上述构造具有对偶的版本, 即将条件条件 1 以及条件 2 转为

1’.	对于任意 $X\in \mathcal{C}$, 都有 $[{\alpha }_X:F(X)\to G(X)]\in {\mathcal{D}}_L$;
2’.	对于 ${\mathcal{C}}_R$ 中态射 $r:Z\to X$, 以下图表在 $\mathcal{D}$ 中是拉回$$F(Z)G(Z)F(X)G(X).{\alpha }_{X}F(r)G(r){\alpha }_Y$$

再配上引理 1.2.3.1 以及前文讨论即可得到自然变换$${\mathsf{Span}}^L(\alpha ):\mathsf{Span}(F)\Rightarrow \mathsf{Span}(G),$$逐点写出即为$$G(X)\stackrel{{\alpha }_X}{\leftarrow }F(X)=F(X).$$因此两种方式均可将饱和三元组态射间的自然变换升级为伸展范畴间函子的自然变换, 不过 ${\mathsf{Span}}^R$ 更加方便, 因此我们使用这个版本.

引理 2.3.1.3. 在构造 2.3.1.1 的基础之上, 给定第三个饱和三元组间的态射 $H:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 令 $\alpha :F\Rightarrow G$ 以及 $\beta :G\Rightarrow H$ 为满足条件 1 以及条件 2  的自然变换, 则有$${\mathsf{Span}}^R({\mathrm{id}}_{\mathcal{C}})={\mathrm{id}}_{{\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})}以及{\mathsf{Span}}^R(\beta \circ \alpha )={\mathsf{Span}}^R(\beta )\circ {\mathsf{Span}}^R(\alpha ).$$对偶地, 这对于 ${\mathsf{Span}}^L$ 也成立.

证明. 我们来证明更强的版本, 即说明对于 $[n]\in \mathbb{\Delta }$ 都有 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}\times [n])\simeq {\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})\times [n]$, 而这是显然的, 当 $n=0$ 和 $2$ 时就得到该引理.

$\square$

既然自然变换可诱导出伸展范畴间的自然变换, 那么伴随函子是否也可以诱导出伸展范畴间的伴随关系呢. 答案是肯定的.

推论 2.3.1.4. 考虑饱和三元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R),(\mathcal{D},{\mathcal{D}}_L,{\mathcal{D}}_R)\in \mathsf{AdTrip}$. 令 $F⊣G$ 为一对伴随函子, 且 $F$ 与 $G$ 均可提升为饱和三元组间的态射. 假设对于每个 $X\in \mathcal{C}$, 单位态射 ${\eta }_X:X\to G(F(X))$ 在 ${\mathcal{C}}_R$ 中, 且余单位态射 ${\epsilon }_X:F(G(X))\to X$ 在 ${\mathcal{D}}_R$ 中. 此外, 对于 ${\mathcal{C}}_L$ 中态射 $l:Z\to X$, 以及 ${\mathcal{D}}_L$ 中态射 $l^{\prime }:Z^{\prime }\to X^{\prime }$, 交换图表$$ZG(F(Z))XG(F(X)){\eta }_{Z}lG(F(l)){\eta }_X以及F(G(Z^{\prime }))Z^{\prime }F(G(X^{\prime }))X^{\prime }{\epsilon }_{Z^{\prime }}F(G(l^{\prime }))l^{\prime }{\epsilon }_{X^{\prime }}$$均为拉回. 则 $F$ 和 $G$ 诱导出伴随函子$${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}){\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{D}).\mathsf{Span}(F)\perp \mathsf{Span}(G)$$将上文条件中全体 “$R$” 与 “$L$” 互换后, 诱导出伴随函子$${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{D}){\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}).\mathsf{Span}(G)\perp \mathsf{Span}(F)$$

证明. 只需证明第一个结果即可, 而根据构造 2.3.1.1, 先将 $\eta$ 和 $\epsilon$ 提升为自然变换, 而后验证三角等式即可.

$\square$

2.3.2伸展范畴的积与余积

现在利用伸展范畴的伴随来研究伸展范畴的积与余积.

定义 2.3.2.1. 考虑饱和三元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)\in \mathsf{AdTrip}$,

•	如果其满足以下条件, 则称其为弱广延的: 1. 范畴 $\mathcal{C}$ 带有有限乘积; 2. 余积函子 $\mathcal{C}\times \mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 可提升为饱和三元组间的态射, 即 ${\mathcal{C}}_L$ 以及 ${\mathcal{C}}_R$ 中态射在余积下封闭, 且 ${\mathcal{C}}_L$ 中态射沿 ${\mathcal{C}}_R$ 中态射的拉回图表的余积仍然为拉回图表; 3. 对于每个 $X\in \mathcal{C}$, 典范态射 $\varnothing \to X$ 以及余对角态射 $\nabla :X\bigsqcup X\to X$ 都在 ${\mathcal{C}}_L$ 中; 4. 对于每个 ${\mathcal{C}}_R$ 中的态射 $r:X\to Y$, 交换图表$$X\bigsqcup XY\bigsqcup YXYr\bigsqcup r\nabla \nabla f以及\varnothing \varnothing XYr$$均为拉回;
•	如果 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_R,{\mathcal{C}}_L)$ 是弱广延的, 则称其为弱余广延的;
•	如果饱和三元组既弱广延又弱余广延, 则称其为广延的;
•	如果范畴 $\mathcal{C}$ 具有宽子范畴 ${\mathcal{C}}_L$ 以及 ${\mathcal{C}}_R$ 使其构成的饱和三元组是广延的, 则称该范畴是广延的.

以下给出一些广延范畴的例子.

例 2.3.2.2.

•	有限集范畴 $\mathsf{Fin}$ 是广延的, 对于有限群 $G$, 有限$G$-集范畴 $G\text{-}\mathsf{Fin}$ 是广延的;
•	拓扑空间范畴 $\mathsf{Top}$ 是广延的;
•	$\mathsf{Ani}$ 的任意关于有限余积封闭的全子范畴 $\mathcal{C}$ 均为广延的.

广延饱和三元组的好处在于, 它对应的伸展范畴是半加性的.

定义 2.3.2.3. 令 $\mathcal{C}$ 为带零对象, 有限乘积以及有限余积的范畴, 如果对于任意 $X,Y\in \mathcal{C}$, 典范态射$$\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{id}}_X& 0\\ 0& {\mathrm{id}}_Y\end{array}\right]:X\bigsqcup Y\to X\times Y$$均为同构, 则称 $\mathcal{C}$ 是半加性的.

引理 2.3.2.4. 令 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)\in \mathsf{AdTrip}$ 为饱和三元组.

1.	如果该饱和三元组是弱广延的, 则 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 具有有限乘积, 且 ${\mathcal{C}}_L^{\mathrm{op}}\hookrightarrow {\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 保持有限乘积;
2.	如果该饱和三元组是弱余广延的, 则 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 具有有限余积, 且 ${\mathcal{C}}_R\hookrightarrow {\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 保持有限余积;
3.	如果该饱和三元组是广延的, 则 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 是半加性的.

证明.

证明. 不难发现, 只需证明 1. 和 3. 即可.

1. 的证明.

注意到 $\mathcal{C}$ 具有有限余积当且仅当其具有始对象且任意两个对象 $X,Y\in \mathcal{C}$ 都具有余积. 这相当于说对角函子 $\Delta :\mathcal{C}\to \mathcal{C}\times \mathcal{C}$ 具有左伴随 $\bigsqcup :\mathcal{C}\times \mathcal{C}\to \mathcal{C}$. 因此, 我们需要利用推论 2.3.1.4 在交换 “$R$” 和 “$L$” 的位置后的结果, 以此说明 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 具有有限乘积. 首先来解决终对象的问题, 考虑典范函子 $\mathcal{C}\to \ast$, 如果该函子具有左伴随 $\ast \to \mathcal{C}$, 则不难发现左伴随的像为 $\mathcal{C}$ 中的始对象. 不难验证余广延的饱和三元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)$ 中, $\mathcal{C}$ 带有始对象, 因此该伴随存在. 而不难验证该伴随满足推论 2.3.1.4 所述条件, 因此 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 带有终对象. 接下来将 $\bigsqcup :\mathcal{C}\times \mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 也提升到伸展范畴上, 为此, 考虑对应伴随函子的余单位和单位, 不难发现余单位为余对角态射 $\nabla$, 且单位为二元组 $(X\hookrightarrow X\bigsqcup Y,Y\hookrightarrow X\bigsqcup Y)$. 不难发现由于该饱和三元组是弱广延的, 因此单位以及余单位分别在 ${\mathcal{C}}_L\times {\mathcal{C}}_L$ 和 ${\mathcal{C}}_L$ 中, 且对于 ${\mathcal{C}}_R$ 中态射, 推论 2.3.1.4 所述图表均为拉回, 因此根据推论 2.3.1.4, 这诱导出伴随对$${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}){\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}\times \mathcal{C}).\Delta \perp \bigsqcup$$因此 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 任意两个对象 $X$ 和 $Y$ 都带有乘积.

3. 的证明.

首先注意到, 当 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)$ 广延时, $\mathcal{C}$ 的始对象在 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 中变为零对象. 并且零对象对应的伸展为$$X\leftarrow \varnothing \to Y.$$同时注意到 $\mathcal{C}$ 中余积 $X\bigsqcup Y$ 同时为乘积和余积, 并且其泛性质由以下四个伸展给出, 从左到右分别为 $p_X,p_Y,i_X,i_Y$. $$X\bigsqcup Y\hookleftarrow X=X,X\bigsqcup Y\hookleftarrow Y=Y,X=X\hookrightarrow X\bigsqcup Y,Y=Y\hookrightarrow X\bigsqcup Y$$接下来只需说明 $p_X\circ i_X={\mathrm{id}}_X$, $p_X\circ p_Y=0$, $p_Y\circ i_X=0$, $p_Y\circ i_Y={\mathrm{id}}_Y$ 即可, 为此只需观察到$$XXXX\bigsqcup Y,┌YYYX\bigsqcup Y,┌\varnothing YXX\bigsqcup Y,┌.$$

$\square$

推论 2.3.2.5. $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 是加性的.

术语翻译

弱广延 • 英文 weakly extensive

广延 • 英文 extensive