讲义: 高阶代数

改编自 Bastiaan Cnossen 的讲义 Introduction to Higher Algebra.

作者: 刘欧 (香蕉空间用户: 遗忘的左伴随).

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴, $1$-范畴所构成的范畴为 ${\mathsf{Cat}}_{(1)}$, 范畴所构成范畴为 $\mathsf{Cat}$, 大范畴所构成范畴为 $\widehat{\mathsf{Cat}}$;
• 算畴都指 $(\infty ,1)$-算畴, 不过此时搭建在 $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 上.
• 几何实现都指几何实现 (单纯对象), 将其简记为 $\Vert -\Vert$, 核都指范畴删去所有不可逆态射所得到的生象, 记为 $(-{)}^{\simeq }$.
• ${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{\otimes }}^{\alpha }$ 指 $\alpha$ 在 $p_{\mathcal{C}}$ 下的纤维.
• 对于推出纤维化 $p:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$, 将 $\mathcal{C}$ 中态射 $\alpha :x\to y$ 的传输函子记为 ${\alpha }_{!}:p^{-1}(x)\to p^{-1}(y)$.

目录

	引言 第一部分: 算畴
	1 介绍
	1.1 无色算畴与多元算畴
	1.2 有色算畴的包络
	1.3 将连接写为乘积
	2 伸展范畴
	2.1 完备 Segal 生象
	2.2 伸展范畴的构造
	2.3 伸展范畴的积与余积
	3 算畴
	3.1 算畴定义
	3.2 幺半范畴与代数
	4 代数模式
	4.1 定义
	4.2 代数模式上的算畴
	4.3 结合代数与模
	5 乘积幺半结构以及余积幺半结构
	5.1 伸展范畴的推出态射
	5.2 余积幺半结构
	5.3 乘积幺半结构
	6 谱上的对称幺半结构
	6.1 算畴 (余) 极限
	6.2 由切除函子给出的稳定化
	6.3 Day 卷积
	6.4 谱的张量积
	6.5 算畴的稳定化
	杂项 第二部分: 高阶代数
	7 代数与模
	7.1 定义与性质
	7.2 相对张量积与环变换
	7.3 自同态代数
	8 环与模的性质
	8.1 连合对象与 t 结构
	8.2 投射对象与 Ext 群
	8.3 平坦模与 Tor 群
	8.4 完美模
	8.5 环谱的局部化
	9 形变理论
	9.1 分裂平方为零扩张与切丛
	9.2 导子与余切复形
	9.3 平方为零扩张与形变
	9.4 分类平展代数
	参考资料