群作用

群作用是一种代数结构. 群 $G$ 于集合 $X$ 上的作用是一种乘法运算, 它允许 $G$ 的元素与 $X$ 的元素相乘而得到 $X$ 的元素.

群不仅可以作用于集合, 也可以作用于其它数学对象, 例如各种空间、各种代数结构等. 此时, 群作用也就是群到该数学对象的自同构群的同态.

1定义

群作用于集合

定义 1.1 (群作用、$G$-集合). 设 $G$ 是群, $X$ 是集合.

•	$G$ 于 $X$ 上的左作用 (或作用) 指映射$$\begin{array}{rl}f:G\times X& \to X,\\ (g,x)& \mapsto g\cdot x,\end{array}$$满足以下条件: ∘ 单位元 $1\in G$ 的作用是恒同映射, 也就是说对任何 $x\in X$, $$1\cdot x=x.$$ ∘ 对任何 $g,h\in G$ 和 $x\in X$, 有$$(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x).$$ 此时, 我们说 $G$ 左作用 (或作用) 于 $X$, 并将此群作用记为$$G\curvearrowright X,$$称带有该左作用的集合 $X$ 为 $\mathbf{G}$-集合.
•	$G$ 于 $X$ 上的右作用指映射$$\begin{array}{rl}f:X\times G& \to X,\\ (x,g)& \mapsto x\cdot g,\end{array}$$满足以下条件: ∘ 单位元 $1\in G$ 的作用是恒同映射, 也就是说对任何 $x\in X$, $$x\cdot 1=x.$$ ∘ 对任何 $g,h\in G$ 和 $x\in X$, 有$$x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h.$$ 此时, 我们说 $G$ 右作用于 $X$, 并将此群作用记为$$X\curvearrowleft G.$$

定义 1.2 (等变映射). 设 $G$ 是群, $X,Y$ 是 $G$-集合. 集合间映射$$f:X\to Y$$称为 $G$-等变的, 如果对任意 $g\in G$ 和 $x\in X$, 都有$$f(g\cdot x)=g\cdot f(x).$$

定义 1.3 ($G$-集合范畴). 设 $G$ 是群. 所有 $G$-集合及等变映射构成一个范畴, 称为 $\mathbf{G}$-集合范畴, 记为 $G\text{-}\mathsf{Set}$.

注 1.4. $G\text{-}\mathsf{Set}$ 等价于 $G$ 的分类空间 $\mathrm{B}G$ 上的集合层范畴, 从而 $G\text{-}\mathsf{Set}$ 是意象.

群作用于对象

定义 1.5 (群作用). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴, $X\in \mathcal{C}$ 为对象. 则群 $G$ 于 $X$ 上的左作用 (或作用) 指一个群同态$$f:G\to {\mathrm{Aut}}_{\mathcal{C}}(X),$$其中右边是 $X$ 的自同构群.

等价地说, 令 $\mathrm{B}G$ 表示只有一个对象, 其到自身的态射集为 $G$, 复合律由 $G$ 中的乘法给出的范畴. $G$ 于 $X$ 上的左作用是一个函子$$\mathrm{B}G\to \mathcal{C},$$使得 $\mathrm{B}G$ 的对象的像是 $X$.

$G$ 于 $X$ 上的右作用指反群 $G^{\mathrm{op}}$ 于 $X$ 上的左作用.

群作用于 Abel 群

作为上述定义的例子, 这里给出有群作用的 Abel 群的定义.

定义 1.6 ($G$-模). 设 $G$ 是群. (左) $\mathbf{G}$-模是一个二元组 $(M,\phi )$ 满足:

•	$M$ 是一个 Abel 群 (加法),
•	$\phi :(g,m)\mapsto g\cdot m$ (简记为 $gm$) $:G\times M\to M$ 是满足如下条件的映射, 对任意 $g,g^{\prime }\in G$ 以及 $m,m^{\prime }\in M$ 均有: 1. $g(m+m^{\prime })=gm+g{m}^{\prime }$. 2. $(g{g}^{\prime })m=g(g^{\prime }m)$, 并且有 $1\cdot m=m$.

定义 1.7 ($G$-同态). $M$, $N$ 是 $G$-模, 映射 $\phi :M\to N$ 是群同态. 若有$$\phi (gm)=g\phi (m)$$对任意 $g\in G$, $m\in M$ 成立, 则称 $\phi$ 为 $G$-同态. $M$ 到 $N$ 的全部 ${\mathrm{Hom}}_G(M,N)$

定义 1.8 ($G$-模范畴). 所有 $G$-模以及它们之间的 $G$-同态构成的一范畴, 记作 ${\mathsf{Mod}}_G$.

事实上, 我们有范畴等价 ${\mathsf{Mod}}_G\simeq {\mathsf{Mod}}_{\mathbb{Z}[G]}$, 其中 $\mathbb{Z}[G]$ 为 $G$ 的 $\mathbb{Z}$-系数群代数.

又如, 群表示就是群在向量空间上的作用.

在 $\infty$-范畴中

2例子

(...)

3轨道、稳定子

(...)

4相关概念

•

群表示

术语翻译

作用 • 英文 action • 德文 Aktion (f) • 法文 action (f) • 拉丁文 actio (f) • 古希腊文 δρᾶσις (f)

$G$-集合 • 英文 $G$-set • 德文 $G$-Menge (f) • 法文 $G$-ensemble (m) • 拉丁文 $G$-copia (f) • 古希腊文 $\Gamma$-σύνολον (n)