引言

如你所见, 本讲义改编自 Bastiaan Cnossen 于 Summer term 2025 在 Regensburg 所开课程 Introduction to Higher Algebra. 作者在原讲义的基础上新增了代数模式的有关内容, 希望这可以提供一些高阶代数的直观.

我们的目的是从高阶范畴论的角度来研究一些代数结构.

1前置以及给读者的话

我们假定读者学过基本的 $(\infty ,1)$-范畴论 (在讲义中, $(\infty ,1)$-范畴简称为范畴), 对于没有学过这部分内容的读者, 我推荐观看 Introduction to stable homotopy theory 进行入门, 这也是 Cnossen 的原讲义的前置内容.

此外, 如果读者的目的是学习导出代数几何等内容, 实际上不需要看这个讲义, 你需要的或许只是调整对于一些数学结构的认知.

2介绍

我们知道, 同伦论与经典范畴论的区别在于对于 “相等” 这一概念的处理上. 在同伦论中, 我们常常将 “相等” 视为一种结构而非性质, 具体而言, 当我们说两个东西是 “一样” 的时候, 我们需要提供一个精确的同构或者同伦来说明它们确实是一样的.

当我们将这一原则用于代数结构上时, 我们就自然得到了同伦相容的代数结构这一概念. 此时, 我们要求这些代数结构的运算律仅在相差同伦的意义下成立. 比如说, 当我们处理结合律的时候, 我们需要指定同伦 $(a\cdot b)\cdot c\simeq a\cdot (b\cdot c)$. 不过这仅仅只是个开始, 因为我们还需要处理这些同伦之间的相容性, 而这又需要使用同伦之间的同伦来解释, 以此类推直至无穷. 因此, 我们需要使用 $(\infty ,1)$-范畴来处理这些信息.

3结构

讲义的构成主要分为两个部分

•	第一部分将介绍算畴理论.
•	第二部分将使用第一部分所搭建的框架来研究交换环谱.