导出代数几何

导出代数几何 (也称同伦代数几何) 是代数几何的一种推广, 是将代数几何与同伦代数结合的理论. 普通代数几何的基础是交换环的素谱, 正如微分几何的基础是 Euclid 空间. 而导出代数几何中, 将交换环换成带有环结构的空间, 例如可以使用 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环、单纯环或拓扑环, 乃至交换微分分次代数. 使用这些不同种类的环得到的导出代数几何理论在某些情况下是等价的.

有时 “导出代数几何” 一词特指使用单纯环得到的理论, 而使用 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环的理论称为谱代数几何, 使用交换微分分次代数的理论称为复形代数几何或微分分次代数几何.

导出代数几何的优势包括以下几点:

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正如导出范畴中, 很多不正合的函子自然地变得正合, 在导出代数几何中也有类似的现象. 例如, 我们知道射影平面上两条直线必交于一点, 除非这两条直线重合. 令 $X,Y$ 为这两条直线, $Z=X\cap Y$, 则$${\mathcal{O}}_Z\simeq {\mathcal{O}}_X\underset{{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2}}{\otimes }{\mathcal{O}}_Y.$$在普通代数几何中, 若 $X=Y$, 则得到 ${\mathcal{O}}_Z\simeq {\mathcal{O}}_X$. 但在导出代数几何中, 这一张量积变成导出张量积, 得到的复形 ${\mathcal{O}}_Z$ 代表 “导出的” 交, 其 Euler 类给出了正确的相交数, 即 $1$ 个交点. 此时我们说 $Z$ 是导出概形, 其结构层是上面描述的复形.

•	导出范畴的模空间是导出叠, 无法用普通代数几何描述, 因为导出范畴本质上是 $\infty$-范畴. 而普通代数几何也使用大量导出范畴, 例如凝聚层导出范畴是重要的研究对象. 这些导出范畴对应的模空间问题在导出代数几何中具有更自然的表述.

1研究对象

导出概形

导出叠

2相关概念

•	导出微分几何
•	导出解析几何

术语翻译

导出代数几何 • 英文 derived algebraic geometry • 法文 géométrie algébrique dérivée