调和函数

调和函数是被 Laplace 算子零化的函数. 它满足平均值性质、实解析性等性质.

1定义

定义 1.1. 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中非空开集 $\Omega$ 上复值二阶连续可微的函数 $u$, 如 $u$ 满足$$\Delta u:=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}u=0，$$则称 $u$ 为调和函数. 这里 $\Delta$ 即是 Laplace 算子.

以下 $\Omega$ 均默认为一个 ${\mathbb{R}}^n$ 中的非空开集. $B(a,r)$ 指以 $a$ 为中心、$r$ 为半径的开球, $S(a,r)$ 指以 $a$ 为中心、$r$ 为半径的球面, $B$ 代表 $B(0,1)$, $S$ 代表 $S(0,1)$. $-\int$ 表示平均积分, $S_n$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中单位球面面积.

2例子

•	对 $n=2$, $\mathbb{C}$ 上全纯函数及其实部与虚部看作关于 $(x,y)$ 的函数 $(z=x+iy)$ 调和, 如 $u(x,y)=\Re \log z=\log |z|$.
•	对 $n\ge 3$, $u(x)=|x{|}^{2-n}$ 调和.
•	由之后证明的调和函数的光滑性, 调和函数的各个偏导数也调和.

3性质

平均值性质

命题 3.1 (平均值性质).

•	若 $u$ 在 $B(a,r)$ 调和, 在 $\bar{B}(a,r)$ 连续, 则 $u(a)={-\int }_{S(a,r)}udS$.
•	若 $u$ 在 $B(a,r)$ 调和, 在 $\bar{B}(a,r)$ 连续, 则 $u(a)={-\int }_{B(a,r)}udV$.
•	对 $u\in C(\Omega )$, 若对每个 $x\in \Omega$ 都存在一列 $r_i\to 0$ 使 $u(x)={-\int }_{S(x,r_i)}udS$, 则 $u$ 在 $\Omega$ 调和.
•	对 $u\in C(\Omega )$, 若对每个 $x\in \Omega$ 都存在一列 $r_i\to 0$ 使 $u(x)={-\int }_{B(x,r_i)}udV$, 则 $u$ 在 $\Omega$ 调和.

证明. 首先证明前两个命题. 注意到右式为 $\varphi (r)={-\int }_{S}u(a+r\zeta )dS$, 则由 Green 公式, $${\varphi }^{\prime }(r)={-\int }_S\nabla u(a+r\zeta )\cdot \zeta dS=\frac{1}{S_n}{\int }_{S(a,r)}\frac{\partial u}{\partial \nu }dS=\frac{1}{S_n}{\int }_{B(a,r)}\Delta udV=0，$$于是 $\varphi (r)$ 为常数. 则 $\varphi (r)={\lim }_{r\to 0}\varphi (r)=u(a)$, 则第一个命题成立. 由 $dV=r^{n-1}drdS$ 可知第二个命题成立.

之后证明后两个命题, 不妨 $u$ 实值, 且只需证命题对 $\bar{B}(a,r)\subset \Omega$ 成立. 由命题 3.4, 存在与 $u$ 在 $S(a,r)$ 相等的 $\bar{B}(a,r)$ 上的调和函数 $v$, 断言 $u=v$. 否则设 $u-v$ 在闭集 $K\subset B(a,r)$ 上取最大值 $M>0$, 则对 $K$ 的离 $a$ 最远的 $x$ 和很小的 $r_i$ (使 $\bar{B}(x,r_i)\subset \bar{B}(a,r)$) 有$$(u-v)(x)=M>{-\int }_{S(x,r_i)}(u-v)dS.$$则第三个命题成立. 最后一个命题的证明同理可得.

$\square$

最大模原理

命题 3.2 (最大模原理).

•	$u$ 是连通 $\Omega$ 上的调和函数, 若 $|u|$ 在 $\Omega$ 取到最大值, 则 $u$ 为常数.
•	$u$ 是 $\Omega$ 上的实值调和函数, 若对每个趋于 $\partial \Omega$ 的一点或 $\infty$ 的序列 $\left\{a_n\right\}$ 有 ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }u(a_n)\le M$, 则 $u\le M$.

证明. 设 $|u|$ 在一点取得最大值 $M$, 通过把 $u$ 换成 $\lambda u$ ($|\lambda |=1$) 可设 $u$ 在该点等于 $M$. 考察 $U=\left\{x\mid \Re u(x)=M\right\}$.

由平均值性质知 $U$ 是开集, 又由 $U$ 闭得 $U=\Omega$, 故 $u$ 在整个 $\Omega$ 取值为 $M$.

对第二个命题, 设一列 $\left\{u(a_n)\right\}$ 趋于 $M^{\prime }={\sup }_{\Omega }u$, 需证 $M^{\prime }\le M$.

若存在 $\left\{a_n\right\}$ 的子列收敛于某点 $a\in \Omega$, 则 $u(a)=M^{\prime }$, 由第一个命题, $a$ 所在的连通分支上 $u\equiv M^{\prime }$, 于是 $M^{\prime }\le M$.

若这样的子列不存在, 则 $\left\{a_n\right\}$ 有子列趋于 $\partial \Omega$ 的一点或 $\infty$, 那么也得到 $M^{\prime }\le M$.

$\square$

注 3.3. 把 $u$ 换作 $-u$, 就得到相应的最小模原理.

存在唯一性

定义 3.4. $f\in C(S)$ 的 Poisson 积分为$$P[f]={-\int }_{S}f(\zeta )\frac{1-|x{|}^2}{|x-\zeta {|}^n}dS(\zeta ).$$$P(x,\zeta )=\frac{1-|x{|}^2}{|x-\zeta {|}^n}$ 称为 Poisson 核.

引理 3.5. $P(\cdot ,\zeta )$ 在 ${\mathbb{R}}^n-\left\{\zeta \right\}$ 调和, 且 ${-\int }_{S}P(x,\zeta )dS(\zeta )=1.$

证明. 直接计算得 $P(\cdot ,\zeta )$ 调和, 且$${-\int }_{S}P(x,\zeta )dS(\zeta )={-\int }_{S}P(|x|\zeta ,\frac{x}{|x|})dS(\zeta )=P(0,\frac{x}{|x|})=1.$$第一个等号是由于 $(x,\zeta )$ 与 $(|x|\zeta ,\frac{x}{|x|})$ 轴对称, 第二个等号由于 $P(\cdot ,\zeta )$ 的平均值性质.

$\square$

命题 3.6 (存在唯一性). 对函数 $f\in C(S)$, $P[f]$ 是唯一的 $\bar{B}$ 上连续函数, 使得 $P[f]$ 在 $S$ 上限制为 $f$, 且 $P[f]$ 在 $B$ 上调和.

证明. 由 $P(\cdot ,\zeta )$ 调和得 $P[f]$ 调和, 且对 $y\in S$ 和接近于 $y$ 的 $x\in B$,

$$\begin{gathered} |f(x)-f(y)|=|{-\int }_S(f(\zeta )-f(y))P(x,\zeta )dS(\zeta )| \\ \le \frac{1}{S_n}\left({\int }_{|\zeta -y|<\delta }|f(\zeta )-f(y)|P(x,\zeta )dS(\zeta )+{\int }_{|\zeta -y|\ge \delta }|f(\zeta )-f(y)|P(x,\zeta )dS(\zeta )\right) \\ \le \frac{1}{S_n}\left(\underset{|\zeta -y|<\delta }{\sup }|f(\zeta )-f(y)|+2\underset{S}{\max }|f|{\int }_{|\zeta -y|\ge \delta }P(x,\zeta )dS(\zeta )\right). \end{gathered}$$先让 $\delta$ 充分小, 再令 $x$ 趋近于 $y$ 使 $P(x,\zeta )$ 一致趋于 $0$, 就得到上式充分小.

$\square$

正则性

调和函数必为实解析函数.

命题 3.7. $\Omega$ 上调和函数实解析.

证明. 只需对 $\bar{B}$ 上的调和函数 $u$ 证明即可. 注意到 $u(x)={-\int }_{S}u(\zeta )P(x,\zeta )dS(\zeta )$, 并验证 $P(\cdot ,\zeta )$ 实解析.

$\square$

推论 3.8. 连通 $\Omega$ 上调和函数 $u$ 若在一非空开集上为 0, 则在整个 $\Omega$ 为 0.

证明. 事实上, 命题对于实解析函数 $f$ 成立. 令 $U$ 为 $f$ 的零点集的内部, 由条件 $U$ 非空. 由 $f$ 的各阶导数的连续性得 $U$ 闭, 又由 $U$ 开得 $U=\Omega$.

$\square$

下面的命题表明如调和函数在一点处增长不会太快, 则它可以延拓至此点.

命题 3.9.

•	对 $n\ge 3$, $\Omega -\left\{a\right\}\subset {\mathbb{R}}^n$ 上的调和函数 $u$ 若满足当 $x\to a$ 有 $u=o(|x-a{|}^{2-n})$, 则 $u$ 可延拓为 $\Omega$ 上的调和函数.
•	$n=2$, $\Omega -\left\{a\right\}\subset {\mathbb{R}}^2$ 上的调和函数 $u$ 若满足当 $x\to a$ 有 $u=o(\log |x-a|)$, 则 $u$ 可延拓为 $\Omega$ 上的调和函数.

证明. 不妨 $u$ 实值, 且只需对 $\bar{B}-\left\{0\right\}$ 上满足条件的 $u$ 证明即可.

当 $n\ge 3$, 构造 $\bar{B}-\left\{0\right\}$ 上的调和函数$$v_{ϵ}(x)=u(x)-P[u{|}_S](x)+ϵ(|x{|}^{2-n}-1)(ϵ>0)，$$则当 $|x|\to 1$, $v_{ϵ}(x)\to 0$, 又由条件当 $x\to 0$, $v_{ϵ}(x)\to +\infty$.

由最小模原理, $v_{ϵ}\ge 0$. 令 $ϵ\to 0$ 即得$$u(x)-P[u{|}_S](x)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }{v}_{ϵ}(x)\ge 0，$$再用 $-u$ 代替 $u$ 得到反向的不等式. 因此 $u$ 是 $\bar{B}$ 上的调和函数 $P[u{|}_S]$ 的限制.

$n=2$ 时将 $v_{ϵ}$ 中的 $|x{|}^{2-n}-1$ 换成 $-\log |x|$ 即可.

$\square$

4相关概念

•	次调和函数
•	全纯函数

5参考文献

•	Shledon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey (2001). Harmonic Function Theory. Graduate Texts in Mathematics 137. Springer.

术语翻译

调和函数 • 英文 harmonic function • 德文 harmonische Funktion • 法文 fonction harmonique • 拉丁文 functio harmonica • 古希腊文 ἁρμονικὴ συνάρτησις