负性引理

约定. 在本文中,

• $\mathbb{k}$ 为任意特征的代数闭域.
• 代数簇均要求为整概形.
• 赋值取值为实数.

负性引理是双有理几何中常用的结果, 它说明具有数值负性的除子 (通常是例外除子) 具有刚性.

1定理及推论

定理 1.1 (负性引理). 设 $f:X\to Y$ 是正规代数簇之间的紧合双有理态射. $-D$ 是 $X$ 上 $f$-数值有效的 $\mathbb{R}$-Cartier 除子. 我们有:

1.	$D$ 是有效除子当且仅当 $f_{\ast }D$ 是有效除子
2.	假设 $D$ 是有效除子, 则对于 $Y$ 中的任一点 $y$, 要么 $f^{-1}(y)\subset \mathrm{Supp}(D)$, 或者 $f^{-1}(y)\cap \mathrm{Supp}(D)=\varnothing$.

注 1.2. 定理 1.1 的 (2) 与 (1) 无关, 我们在此处给出简单证明: 由 Zariski 连通性定理, $f^{-1}(y)$ 连通. 若 $f^{-1}(y)\cap \mathrm{Supp}(D)\ne \varnothing$ 且 $f^{-1}(y)⊊\mathrm{Supp}(D)$, 我们可取一条不可约曲线 $C\subset f^{-1}(y)$ 使得 $C\cdot D>0$, 这与 $-D$ 是 $f$-数值有效的矛盾.

推论 1.3 (例外除子的刚性). 设 $f:X\to Y$ 是正规代数簇之间的紧合双有理态射. 设 $D_1$ 和 $D_2$ 为 $X$ 上的两个 $f$-例外的 $\mathbb{R}$-Cartier 除子, 如果 $D_1$ 和 $D_2$ $f$-数值等价, 则 $D_1=D_2$.

证明. 注意 $D_1-D_2{\equiv }_f{D}_2-D_1{\equiv }_{f}0$, 且 $f_{\ast }(D_1-D_2)=0$. 利用负性引理, $D_1-D_2$ 与 $D_2-D_1$ 均为有效除子, 故 $D_1=D_2$.

$\square$

推论 1.4. 设 $f:X\to Y$ 是正规代数簇之间的紧合双有理态射. 设 $D$ 和 $E$ 为 $X$ 上的 $\mathbb{R}$-Cartier 除子. 设 $E$ 是 $f$-例外除子, $D$ 是有效除子, $D$ 与 $E$ $f$-数值等价, 则 $D\ge E$.

证明. 对 $D-E$ 使用负性引理即可.

$\square$

推论 1.5. 设 $f:X\to Y$ 是正规代数簇之间的紧合双有理态射. 设 $D$ 为 $X$ 上的 $\mathbb{R}$-Cartier 除子. 如果 $D$ $f$-数值等价于 0 且 $f_{\ast }D$ 是 $\mathbb{R}$-Cartier 除子, 则 $D{\sim }_{\mathbb{R}}{f}^{\ast }{f}_{\ast }D$.

证明. 取 $f^{\ast }{f}_{\ast }D$ 中合适的线性等价代表元 $D^{\prime }$ 使得 $D^{\prime }-D$ 是例外除子, 由于 $D^{\prime }-D$ 与 $0$ $f$-数值等价, 利用负性引理 $D^{\prime }=D$.

$\square$

下面开始定理 1.1(1) 的证明, 在证明之前, 我们先做出以下约化:

1.	我们只需证明 $f_{\ast }D$ 是有效除子可推出 $D$ 是有效除子, 另一侧是显然的.
2.	由于命题对 $Y$ 是局部的, 我们可设 $Y$ 是仿射簇.
3.	利用周引理, 我们可设 $f$ 是射影态射. 利用 (2) 中的约化, 我们可设 $X$ 是拟射影簇.

2第一种证明

我们采用 [Kollár–Mori 1998] 中的证明. 这个证明主要使用归纳法与 Hodge 指标定理.

3第二种证明

我们采用 [Boucksom–de Fernex–Favre 2012](Proposition 2.12) 中的证明. 这个证明的想法是用 "丰沛 " 逼近 "数值有效 ", 技术上用到了 $X$ 上的赋值, 尤其是除子赋值.

当 $-D$ 是 $f$-丰沛时, 证明较易:

引理 3.1. 设 $f:X\to Y$ 是正规代数簇之间的紧合双有理态射, $-D$ 是 $X$ 上 $f$-丰沛的 $\mathbb{R}$-Cartier 除子. 若 $f_{\ast }D$ 有效, 则 $D$ 有效.

证明. 由于 $-D$ 是 $f$-丰沛的, 取 $m\gg 1$ 使得 $-mD$ 整体生成: $$f^{\ast }{f}_{\ast }{\mathcal{O}}_X(-mD)\otimes {\mathcal{O}}_X\twoheadrightarrow {\mathcal{O}}_X(-mD)$$由于 $X,Y$ 正规, $f$ 紧合双有理, 我们有 $f_{\ast }{\mathcal{O}}_X(-mD)\subset {\mathcal{O}}_Y(-m{f}_{\ast }D)\subset {\mathcal{O}}_Y$. 利用上文的满射, 我们可知 ${\mathcal{O}}_X(-mD)\subset {\mathcal{O}}_X$, 故 $D\ge 0$.

$\square$

下设 $v$ 为 $X$ 上的一个赋值, 对于 $\mathfrak{a}\subset K_X$ 为 $X$ 的一个分式理想, 我们定义$$v(\mathfrak{a})=\min \{v(g)|g\in \mathfrak{a}\}$$由定义, $v(\mathfrak{a}\cdot \mathfrak{b})=v(\mathfrak{a})+v(\mathfrak{b})$, $v(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})=\min \{v(\mathfrak{a}),v(\mathfrak{b})\}$.

对于 $W\in {\mathrm{WDiv}}_{\mathbb{R}}(X)$ 为 $X$ 上的 $\mathbb{R}$-Weil 除子, 我们定义如下的分式理想$${\mathcal{O}}_X(W):=\{g\in K_X|\mathrm{div}(g)+W\ge 0\}$$

引理 3.2. 设 $v$ 为 $X$ 上的赋值, $W\in {\mathrm{WDiv}}_{\mathbb{R}}(X)$ 为 $X$ 上的 $\mathbb{R}$-Weil 除子

1.	$v({\mathcal{O}}_X(mW))+v({\mathcal{O}}_X(m^{\prime }W))\ge v({\mathcal{O}}_X((m+m^{\prime })W))$ 对于非负整数 $m,m^{\prime }$.
2.	$v({\mathcal{O}}_X(mW))\ge -Cm$ 对正整数 $m$ 及 $C\ge 0$.
3.	${\lim }_{m\to \infty }\frac{v({\mathcal{O}}_X(mW))}{m}$ 存在.

证明.

1.	由于$${\mathcal{O}}_X(mW)\cdot {\mathcal{O}}_X(m^{\prime }W)\subset {\mathcal{O}}_X((m+m^{\prime })W)$$根据赋值的性质可得.
2.	取 $g_0\in {\mathcal{O}}_X(-W)$, 则$$v({\mathcal{O}}_X(mW))+mv(g_0)\ge 0$$得证.
3.	根据 (1),(2), 由 Fekete 引理可知极限存在.

$\square$

我们定义$$v(W):=-\underset{m\to \infty }{\lim }\frac{v({\mathcal{O}}_X(mW))}{m}$$它是 ${\mathrm{WDiv}}_{\mathbb{R}}(X)$ 上的函数, 满足如下性质

命题 3.3.

1.	$v(W_1)+v(W_2)\le v(W_1+W_2)$.
2.	$v(cW)=cv(W)$, 对 $c\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}$.
3.	$v$ 在 ${\mathrm{WDiv}}_{\mathbb{R}}(X)$ 的有限维子空间上连续.

证明.

证明.

1.
2.
3.	利用 (1),(2),(3) 可知 $v$ 在 ${\mathrm{WDiv}}_{\mathbb{R}}(X)$ 的有限维子空间上是凹函数, 进而 $v$ 连续.

$\square$

于是我们可以完成证明:

命题 3.4. 设 $f:X\to Y$ 是正规簇之间的紧合双有理态射, $D$ 是 $X$ 上 $f$-数值有效的 $\mathbb{R}$-Cartier 除子. 则对于 $X$ 上的任一赋值 $v$, 我们有 $v(D)\le v(f_{\ast }D)$.

证明. 利用周引理, 我们设 $f$ 是射影态射. 由于 $v$ 的连续性, 设 $D$ 是 $\mathbb{Q}$-Cartier 除子. 取 $A$ 为 $f$-丰沛除子, 则 $D_{ϵ}=D+ϵA$ 对于 $\mathbb{Q}\ni ϵ>0$ 是 $f$-丰沛 $\mathbb{Q}$-Cartier 除子.

于是对于充分大且充分可除的 $m$, 我们有 (类似于引理 3.1) $${\mathcal{O}}_X(m{D}_{ϵ})\subset \mathrm{Im}(f^{\ast }{\mathcal{O}}_Y(m{f}_{\ast }{D}_{ϵ})\otimes {\mathcal{O}}_X\to \overline{K_X})$$于是 $-v(D_{ϵ})\ge -v(f_{\ast }{D}_{ϵ})$. 令 $ϵ\to 0$, 利用 $v$ 的连续性, 我们可知 $v(D)\le v(f_{\ast }D)$.

$\square$

推论 3.5. 设 $f:X\to Y$ 是正规代数簇之间的紧合双有理态射.$-D$ 是 $X$ 上 $f$-数值有效的 $\mathbb{R}$-Cartier 除子. 若 $f_{\ast }D$ 有效, 则 $D$ 有效.

证明. 由命题 3.4 可知, 对所有赋值 $X$ 上的赋值 $v$, $v(-D)\le v(-f_{\ast }D)$. 取 $v$ 为 $X$ 上的所有除子赋值, 可知 $v(-D)\le 0$. 特别的, 取 $v$ 为 $X$ 上所有除子, 我们可知 $D$ 有效.

$\square$

4相关概念

•	Hodge 指标定理

5参考文献

•	Janos Kollár, Shigefumi Mori (1998). Birational Geometry of Algebraic Varieties. Cambridge University Press. (doi)

•	Sebastien Boucksom, Tommaso de Fernex, Charles Favre (2012). “The volume of an isolated singularity”. Duke Mathematical Journal 161 (8). (doi) (pdf)

术语翻译

负性引理 • 英文 negativity lemma • 法文 lemme de négativité • 拉丁文 lemma de negativitate