Zariski 连通性定理

Zariski 连通性定理是个代数几何定理, 说的是 $\mathcal{O}$-连通紧合态射的纤维几何连通.

1陈述

定理 1.1. 设 $f:X\to S$ 是 Noether 概形的紧合态射, 且 $f_{\ast }{\mathcal{O}}_X={\mathcal{O}}_S$ (即 $\mathcal{O}$-连通), 则 $f$ 的几何纤维都连通. 换言之, 对任一点 $s\in S$ 及其剩余域 $k$ 的代数闭包 $k^{\text{a}}$, 都有 $X_{k^{\text{a}}}=X{\times }_S\mathrm{Spec}{k}^{\text{a}}$ 连通.

2证明

我们来证明更强的命题:

命题 2.1. 设 $f:X\to S$ 是 Noether 概形的紧合态射. 则对任一域 $k$ 以及 $s=\mathrm{Spec}k$ 到 $S$ 的态射 $s\to S$, 图表$$X_{s}XsS{f}_{s}f$$的基变换同态 $f_{\ast }{\mathcal{O}}_X{|}_s\to \Gamma (X_s,{\mathcal{O}}_{X_s})$ 诱导幂等元之间的双射, 这里 $f_{\ast }{\mathcal{O}}_X{|}_s$ 表示 $f_{\ast }{\mathcal{O}}_X{\otimes }_{{\mathcal{O}}_S}k$.

于是只要 $f_{\ast }{\mathcal{O}}_X={\mathcal{O}}_S$, 就有 $f_{\ast }{\mathcal{O}}_X{|}_s={\mathcal{O}}_S{|}_s=k(s)$, 没有非平凡幂等元, 所以 $X_s$ 连通.

证明. 先做一些化归. 由平坦基变换, 可将 $S$ 在 $s$ 的像局部化, 设 $S$ 为局部环 $(R,\mathfrak{m},\ell )$ 的谱, $s\to S$ 相当于域嵌入 $\ell \to k$. 再把 $R$ 作适当忠实平坦扩张, 可设 $\ell =k$. 此时形式函数定理给出$$(f_{\ast }{\mathcal{O}}_X{)}_{\mathfrak{m}}^{\wedge }=\underset{n}{\lim }\Gamma (X_n,{\mathcal{O}}_{X_n}),$$其中 $X_n$ 为 $X$ 在 $R/{\mathfrak{m}}^{n+1}$ 的基变换. 观察两边的幂等元. 左边是 $(f_{\ast }{\mathcal{O}}_X)/{\mathfrak{m}}^n$ 的极限, 而每个 $(f_{\ast }{\mathcal{O}}_X)/{\mathfrak{m}}^n$ 的幂等元都与 $(f_{\ast }{\mathcal{O}}_X)/\mathfrak{m}=f_{\ast }{\mathcal{O}}_X{|}_s$ 的一一对应, 所以左边对应于 $f_{\ast }{\mathcal{O}}_X{|}_s$ 的幂等元. 至于右边, 由于 $X_s\to X_n$ 是加厚, 特别地是同胚, 诱导整体截面幂等元一一对应, 所以右边对应于 $\Gamma (X_s,{\mathcal{O}}_{X_s})$ 幂等元. 这样, $f_{\ast }{\mathcal{O}}_X{|}_s$ 和 $\Gamma (X_s,{\mathcal{O}}_{X_s})$ 的幂等元便一一对应. 显然这个对应就是基变换同态所诱导的.

$\square$

注 2.2. 当然也可以在 $\mathcal{O}$-连通情形直接使用形式函数定理. 这样加强是为了下面的推广.

3推广

用过渡到极限技术, 可以去掉 Noether 等有限性条件.

引理 3.1. 设 $I$ 是滤相系, $\{f_i:X_i\to S_i{\}}_{i\in I}$ 是概形态射的图表, 满足转移态射都仿射. 以 $f:X\to S$ 记其极限. 则如命题 2.1 的结论对每个 $f_i$ 成立, 其就对 $f$ 成立.

证明. 任取域的谱 $s$ 及同态 $s\to S$, 则由基变换和极限交换, 拟凝聚层沿拟紧拟分离态射前推可以过渡到极限, 知 $f_{\ast }{\mathcal{O}}_X{|}_s={\mathrm{colim}}_{i\in I}{f_i}_{\ast }{\mathcal{O}}_{X_i}{|}_{s_i}$, $\Gamma (X_s,{\mathcal{O}}_{X_s})={\mathrm{colim}}_{i\in I}\Gamma ((X_i{)}_{s_i},{\mathcal{O}}_{(X_i{)}_{s_i}})$. 于是由幂等元函子和滤余极限交换即得结论.

$\square$

定理 3.2. 命题 2.1 的结论对分离泛闭态射成立. 从而对分离泛闭态射都有 Zariski 连通性定理.

证明. 由结论的局部性可设 $S$ 拟紧拟分离. 现在

•	如 $f:X\to S$ 为有限表现紧合态射, 则它能写成 $\mathbb{Z}$ 上有限型概形紧合态射沿仿射转移态射的极限, 故定理对它成立;
•	如 $f:X\to S$ 为紧合态射, 则 $X$ 是有限表现紧合 $S$-概形沿仿射转移态射 (实际上可以沿闭浸入) 的极限, 故定理对它也成立;
•	如 $f:X\to S$ 为一般的分离泛闭态射, 则 $X$ 是紧合 $S$-概形沿仿射转移态射的极限, 故定理成立. $\square$

4应用

在双有理几何中, Zariski 连通性定理主要以如下推论的形式应用.

推论 4.1. $S$ 是正规整概形, $X$ 是整概形, $f:X\to S$ 是紧合双有理态射, 则 $f$ 的纤维几何连通.

证明. 只需证 $f_{\ast }{\mathcal{O}}_X={\mathcal{O}}_S$. 作分解 $X\to S^{\prime }={\mathbf{Spec}}_S(f_{\ast }{\mathcal{O}}_X)\to S$, 则 $S^{\prime }\to S$ 仿射、泛闭, 所以整. 记 $\eta \in S$ 为一般点, 则由双有理, $(f_{\ast }{\mathcal{O}}_X{)}_{\eta }={\mathcal{O}}_{S,\eta }$ 为分式域. 这样由 $S$ 正规便知 $f_{\ast }{\mathcal{O}}_X={\mathcal{O}}_S$.

$\square$

5相关概念

•	紧合态射
•	形式函数定理
•	Zariski 主定理

术语翻译

Zariski 连通性定理 • 英文 Zariski’s connectedness theorem • 德文 Zusammenhangsatz von Zariski • 法文 théorème de connexité de Zariski