长直线

长直线 (也称为 Alexandroff 直线) 是一个拓扑空间, 它是比实直线 $\mathbb{R}$ 更长的直线. 具体地说, 我们可以将 $\mathbb{R}$ 视为可数多个单位区间 $[0,1]$ 首尾相接, 而得到的空间. 长直线则是由不可数多个单位区间 $[0,1]$ 首尾相接, 而得到的空间.

1定义

定义 1.1 (长射线, 长直线). 设 ${\omega }_1$ 是最小不可数序数, 它自身是一个良序集 (从而是全序集). 考虑半开半闭区间 $[0,1[$, 它带有通常的全序. 定义 ${\omega }_1\times [0,1[$ 上的字典序如下: $$({\alpha }_1,x_1)\le ({\alpha }_2,x_2)⟺{\alpha }_1<{\alpha }_2\text{ 或 }({\alpha }_1={\alpha }_2\text{ 且 }{x}_1\le x_2).$$

长射线就是以上定义的全序集 ${\omega }_1\times [0,1[$, 带有序拓扑, 从而成为拓扑空间.

长直线是两条长射线沿着它们的端点 $(0,0)$ 粘起来, 得到的空间.

2性质

命题 2.1. 长直线局部同胚于 $\mathbb{R}$, 并且是 Hausdorff 空间, 但不是仿紧空间.

命题 2.2. 长直线、长射线都不是可缩空间.

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术语翻译

长直线 • 英文 long line • 德文 lange Gerade • 法文 longue droite