Hausdorff 空间

Hausdorff 空间 (又称为分离空间或 ${\mathrm{T}}_2$ 空间) 是一类拓扑空间, 其中任两点都有不相交的邻域 (即能被开集分离).

Hausdorff 空间避免了拓扑空间中一些 “坏的性质”. 例如, 在 Hausdorff 空间中, 收敛是唯一的: 如果一个序列 (或更一般地, 滤子或网) 同时收敛到该空间中两个点, 那么这两个点相同 (命题 3.2).

1定义

定义 1.1 (Hausdorff 空间). 拓扑空间 $X$ 称为 Hausdorff 空间, 如果对任意 $x,y\in X$, 如果 $x\ne y$, 那么存在开集 $U,V\subset X$, 使得 $x\in U$, $y\in V$, 且 $U\cap V=\varnothing$.

2例子

•	任何度量空间都是 Hausdorff 空间.
•	任何 CW 复形都是 Hausdorff 空间.
•	具有无限个点的代数簇在 Zariski 拓扑下不是 Hausdorff 空间.

3性质

等价刻画

命题 3.1. 拓扑空间 $X$ 是 Hausdorff 空间, 当且仅当对角线$$\Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}\subset X\times X$$是闭子集.

证明. 由乘积拓扑的定义, $X\times X$ 的一组开集基形如 $\{U\times V\mid U,V\subseteq X开\}$. 所以 $\Delta$ 闭也就等价于, 对任意 $(x,y)\notin \Delta$, 存在 $U,V\subseteq X$ 开, 使得 $U\times V\ni (x,y)$ 且 $\Delta \cap (U\times V)=\varnothing$. 这无非就是说 $U\ni x$, $V\ni y$, $U\cap V=\varnothing$, 即 Hausdorff 空间的定义.

$\square$

命题 3.2. 拓扑空间 $X$ 是 Hausdorff 空间, 当且仅当 $X$ 中滤子的极限如果存在则唯一, 当且仅当 $X$ 中网的极限如果存在则唯一.

证明. 见条目滤子和网.

$\square$

与紧空间的联系

命题 3.3. Hausdorff 空间紧子集闭.

证明. 设 $X$ 为 Hausdorff 空间, $Y\subseteq X$ 紧, 要证明 $Y$ 闭, 即需要证明对任意 $x\notin Y$, 存在开集 $V\ni x$, $V\cap Y=\varnothing$. 由 $X$ Hausdorff, 对任意 $y\in Y$, 存在开集 $U_y\ni y$, $V_y\ni x$, $U_y\cap V_y=\varnothing$. $\{U_y{\}}_{y\in Y}$ 是 $Y$ 的开覆盖, 由 $Y$ 紧, 存在有限子覆盖 $U_{y_1}\cup \cdots \cup U_{y_n}\supseteq Y$. 取 $V=V_{y_1}\cap \cdots \cap V_{y_n}$, 则 $V\ni x$ 为开集, $V\cap Y=\varnothing$.

$\square$

推论 3.4. 紧空间到 Hausdorff 空间的连续双射是同胚.

证明. 由 “紧集的闭子集紧”、“紧集在连续映射下像集紧” 以及以上命题, 即可得到此连续双射为闭映射, 从而是同胚.

$\square$

4相关概念

•	分离公理
•	分离态射

术语翻译

Hausdorff 空间 • 英文 Hausdorff space • 德文 Hausdorff-Raum • 法文 espace de Hausdorff • 拉丁文 spatium Hausdorff

分离空间 • 英文 separated space • 德文 separierter Raum • 法文 espace séparé • 拉丁文 spatium separatum