Dirichlet 特征

在数论中, Dirichlet 特征是指有限交换群 $(Z / q Z)^{\times}$ 的特征. Dirichlet 特征可以以自然的方式看成数论函数. Dirichlet 特征的概念可以推广到数域上, 成为 Hecke 特征. 从现代代数数论的观点看, Dirichlet 特征就是理元群 $I_{Q} = GL_{1} (A_{Q})$ 上的自守形式.

1定义
2本原特征与导子
3相关概念

1定义

定义 1.1. 对正整数 $q$ , 模 $q$ 的 Dirichlet 特征是指交换群 $(Z / q Z)^{\times}$ 的特征, 一般用希腊字母 $χ$ 记之. 可将 Dirichlet 特征 $q$ 自然地看成数论函数, 对 $n \in Z_{+}$ : $χ (n) = {χ (n mod q) 0 g cd (n, q) = 1 g cd (n, q) \neq = 1,$ 其中 $n mod q$ 是指 $n$ 的剩余类看作 $(Z / q Z)^{\times}$ 的元素.

容易验证, Dirichlet 特征作为数论函数总是完全乘性的.

例 1.2 (主特征). 模 $q$ 的主特征是指群 $(Z / q Z)^{\times}$ 的平凡特征, 记作 $1_{q}$ , 不引起歧义时将 $q$ 略去. 作为数论函数, 它是 $1 (n) = {10 g cd (n, q) = 1 g cd (n, q) \neq = 1$

例 1.3 (二次特征). 对整数 $d \equiv 0, 1 (mod 4)$ , $d \neq = 0$ , 可定义模 $∣ d ∣$ 的 Dirichlet 特征 $χ (n) = (\frac{d}{n})$ , 其中 $(\frac{\cdot}{\cdot})$ 是 Kronecker 符号. 它只取值 $0, \pm 1$ , 故其对应 $(Z /∣ d ∣ Z)^{\times}$ 的二次特征. 对 $d \neq = 1$ 无平方因子, 记二次域 $K = Q (d)$ , 有 $χ (p) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - 1 0 p 在 K 中分裂 p 在 K 中不分裂 p 在 K 中分歧 .$

2本原特征与导子

定义 2.1. 对正整数 $q_{1} ∣ q$ , 有自然的同态 $ϕ : (Z / q Z)^{\times} \to (Z / q_{1} Z)^{\times}$ . 对模 $q_{1}$ 的 Dirichlet 特征 $χ_{1}$ , 称其沿 $ϕ$ 的拉回 $χ_{1} \circ ϕ$ 为其诱导的模 $q$ 特征.

定义 2.2. 对模 $q$ Dirichlet 特征 $χ$ , 若其不由任何模 $q_{1}$ 特征, $q_{1} ∣ q$ , $q_{1} < q$ 诱导, 称其为本原特征.

定理 2.3. 对模 $q$ Dirichlet 特征 $χ$ , 存在唯一正整数 $f$ 和模 $f$ 本原特征 $χ_{0}$ , 使得 $χ$ 由 $χ_{0}$ 诱导. 正整数 $f$ 称为 $χ$ 的导子.

证明. 考虑所有对子 $(q_{1}, χ_{1})$ 使得 $χ_{1}$ 是模 $q_{1}$ 的 Dirichlet 特征, 且 $χ_{1}$ 诱导 $χ$ . 选择其中 $q_{1}$ 最小的, 那么 $χ_{1}$ 自动是本原特征. 下面来证唯一性, 假设 $(q_{1}, χ_{1})$ 和 $(q_{2}, χ_{2})$ 满足 $χ_{1}, χ_{2}$ 皆本原, 皆诱导 $χ$ . 记 $q_{3} = g cd (q_{1}, q_{2})$ . 我声称有如下 (有限交换群范畴中的) 拉回图表: 因为对偶是范畴等价, 只需证如下方块是推出图表: 即只需证 $(Z / q_{3} Z)^{\times} = ((Z / q_{1} Z)^{\times} \times (Z / q_{2} Z)^{\times}) / {(a mod q_{1}, a^{- 1} mod q_{2}) : a \in (Z / q Z)^{\times}}$ 然而由孙子定理容易知道 ${(a mod q_{1}, a^{- 1} mod q_{2}) : a \in (Z / q Z)^{\times}} = {(a_{1}, a_{2}) \in (Z / q_{1} Z)^{\times} \times (Z / q_{2} Z)^{\times} : a_{1} mod q_{3} = a_{2}^{- 1} mod q_{3}}$ , 从而上面的商群就是 $(Z / q_{3} Z)^{\times}$ .

从而, 存在模

q_{3}

Dirichlet 特征

χ_{3}

诱导

χ_{1}

与

χ_{2}

. 由

χ_{1}, χ_{2}

本原知

q_{1} = q_{2} = q_{3}

,

χ_{1} = χ_{2} = χ_{3}

.

$□$

3相关概念

•	Dirichlet $L$ 函数
•	Hecke 特征

术语翻译

Dirichlet 特征 • 英文 Dirichlet character

本原特征 • 英文 primitive character

导子 • 英文 conductor

名字空间

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