代数数论

代数数论是使用代数工具研究数论的数学分支. 其经典论题为研究数域的结构, 例如其整数环等, 而现代的主要论题则为研究数域的绝对 Galois 群以及它的表示论, 即 Galois 表示.

1简介

代数数论大致起源于方程整数解的研究. 如果在解方程时在考虑一些 “扩展” 的整数, 即一般的代数整数环, 会使解方程变得更容易. 例如 Fermat 方程 $x^3+y^3=z^3$ 在环 $\mathbb{Z}[{\zeta }_3]$ 中可以写为 $(x+y)(x+{\zeta }_{3}y)(x+{\zeta }_3^{2}y)=z^3$, 而在 $\mathbb{Z}[{\zeta }_3]$ 中, 之前一切素因数分解的理论仍然成立 (即它是主理想整环). 就可以对此方程作如同 $\mathbb{Z}$ 中的处理: 不妨设 $x,y$ 互素, 则 $x+y$, $x+{\zeta }_{3}y$, $x+{\zeta }_3^{2}y$ 两两的公因数也很小, 从而基本是立方数, 等等. 又例如 Pell 方程 $x^2-d{y}^2=1$ 相当于求环 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 中的单位, 从而能用系统的方法处理, 见 Dirichlet 单位定理.

不过代数整数环并不总表现的很好, 许多代数整数环没有唯一分解性质, 例如环 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 中, $2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$, 且二者均不能继续分解. 此时我们需要修改素数的定义而引入素理想的概念, 而重新使唯一分解性质成立. 不过理想和真正的数仍有差别, 类群描述了二者的差别, 它是代数数论研究的重点之一.

除了研究方程的整数解之外, 数论也关心方程在模 $p$ 意义下的解, 即在有限域 ${\mathbb{F}}_p$ 上的解. 例如给定一元多项式 $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$, 要研究它模每个素数 $p$ 时根的行为 (例如是否有重根, 是否每个根都落在 ${\mathbb{F}}_p$ 中, 等等). 在现代的语言中, 这等价于在研究环 $\mathbb{Z}[x]/(f(x))$ 在 $\mathbb{Z}$ 上分裂与分歧的情况. 如果相应的域扩张是 Galois 扩张, 这也等价于研究 Galois 群中的 Frobenius 元素. 神奇的结论 (即 Artin 互反律) 是, 除了有限个素数外, 这些行为仅和 $p$ 模某个数的同余类有关.

以上大致提及了经典代数数论的研究论题, 即代数整数环, 类群, 扩张与分歧. 现代代数数论的第一步是类域论, 它把域扩张的 Galois 群的交换化与代数数域和代数整数环本身的信息联系起来, 从而证明了 Artin 互反律以及类群的一些性质, 例如 Hilbert 类域, Kronecker 青春之梦等. 从此, 代数数论的研究从研究代数整数环转为研究域扩张的 Galois 群.

如上所述, 类域论研究群的 Galois 群的交换化, 也就是研究 Galois 群的一维表示. 为了得到 Galois 群的更多信息, 还需要研究它的高维表示. Langlands 纲领指出 Galois 群的表示对应于自守表示, 它的二维情形可以用模形式的语言重述出来, 即模性定理, 此定理可以推出 Fermat 大定理. 在一般情况下 Langlands 纲领仍然未解, 一种解决思路是用几何对象描述或类比其中涉及到的对象, 并使用代数几何等手段来研究, 这即是几何 Langlands 纲领.

Galois 群的表示也可以用另一种手段来研究. 许多表示可以从几何对象中来, 具体地说, 它们是代数簇的平展上同调. 平展上同调有时本身会满足一些性质 (如 Grothendieck 单径化定理), 有时也可以通过比较定理与其它种类的上同调相联系, 例如代数 de Rham 上同调和晶体上同调 (研究这种联系的理论称为 $p$ 进 Hodge 理论). 这启发我们考虑一般 Galois 表示是否有类似的性质或比较定理. 这一研究领域视情况称为 $\ell$ 进 Galois 表示论或 $p$ 进 Galois 表示论.

代数数论里经常用到的两个思想是函数域类比和局部–整体原理. 前者是说把代数数域视为曲线上的有理函数域, 从而能用几何直观想象数论中的构造, 也可以把数论中的构造类比到代数几何中 (如几何 Langlands 纲领). 后者则是说为了研究代数数域, 也就是曲线整体的信息, 可以先研究曲线的每个局部, 也就是代数整数环的每个素理想 (或赋值) 处的局部域, 之后再把局部 “拼合” 得到整体的结论. 例如为了研究类域论, 需要先研究局部类域论; 为研究 Langlands 纲领, 需要先研究局部 Langlands 纲领.

2历史

(...)

3论题

经典论题

赋值理论

类域论

参见: 类域论

Langlands 纲领

参见: Langlands 纲领

Galois 表示与上同调

4相关学科

•	交换代数
•	代数几何

术语翻译

代数数论 • 英文 algebraic number theory • 德文 algebraische Zahlentheorie • 法文 théorie algébrique des nombres • 拉丁文 theoria algebraica numerorum • 古希腊文 μεταριθμικὴ θεωρία ἁριθμῶν