Ehresmann 纤维化定理

Ehresmann 纤维化定理, 或称 Ehresmann 引理, 说的是光滑流形的紧合浸没是光滑纤维丛.

1定理与证明

定理 1.1. $f:M\to N$ 是光滑流形的紧合浸没, 则它是光滑纤维丛. 换言之, 对任一 $p\in N$, 都存在邻域 $U\ni p$ 以及紧光滑流形 $F$, 使得存在交换图表$$f^{-1}(U)U\times FU\sim f\pi$$其中 $\pi :U\times F\to U$ 是投影映射, 水平箭头是微分同胚.

证明. 取 $p\in N$, 并取其坐标邻域 $U\cong {\mathbb{R}}^n$, 坐标为 $y_1,\dots ,y_n$. 记 $Y_i=\frac{\partial }{\partial y_i}$ 为 $U$ 上向量场. 由引理 1.2, 存在 $f^{-1}(U)$ 上向量场 $X_1,\dots ,X_n$ 使得 $f_{\ast }{X}_i=Y_i$. 以 ${\phi }_i^t$ 表示 $X_i$ 生成的单参数微分同胚, 则由引理 1.3, 它对 $t\in \mathbb{R}$ 都有定义. 于是令 $F=f^{-1}(p)$, 映射 $f^{-1}(U)\to U\times F$ 取为$$q\mapsto (f(q),{\phi }_n^{-t_n}\cdots {\phi }_1^{-t_1}(q)),$$其中 $(t_1,\dots ,t_n)$ 是 $f(q)$ 的坐标, 则它是微分同胚, 因为有逆$$((t_1,\dots ,t_n),q_0)\mapsto {\phi }_1^{t_1}\cdots {\phi }_n^{t_n}(q_0);$$又它显然使得定理中图表交换; 于是 $f$ 是纤维丛.

$\square$

引理 1.2. $f:M\to N$ 是浸没, $Y$ 是 $N$ 上向量场. 则存在 $M$ 上向量场 $X$ 使得 $f_{\ast }X=Y$, 也就是对每个 $p\in M$, $f_{\ast }{X}_p=Y_{f(p)}$.

证明. 由秩定理, 存在 $M$ 的坐标图册 $\{U_i{\}}_{i\in I}$ 使得 $f$ 在每张坐标卡上形如标准投影 ${\mathbb{R}}^{n+m}\to {\mathbb{R}}^n$. 这样在 $U_i$ 上显然存在满足要求的向量场, 记作 $X_i$. 取关于 $\{U_i{\}}_{i\in I}$ 的光滑单位分解 $\{{\phi }_i{\}}_{i\in I}$ 并令 $X={\sum }_{i\in I}{\phi }_i{X}_i$ 即足.

$\square$

引理 1.3. 设 $f:M\to N$ 为光滑流形的紧合映射, $M$ 上向量场 $X$ 与 $N$ 上向量场 $Y$ 满足 $f_{\ast }X=Y$. 将 $X$ 与 $Y$ 生成的单参数微分同胚分别记作 ${\phi }_X^t$ 与 ${\phi }_Y^t$. 对 $M$ 上一点 $p$ 以及 $a<0<b$, 如果 ${\phi }_Y^t(f(p))$ 对 $t\in (a,b)$ 有定义, 则 ${\phi }_X^t(p)$ 亦然.

证明. 设 ${\phi }_X^t(p)$ 的定义域为 $(a^{\prime },b^{\prime })$, 要证 $a^{\prime }\le a$, $b^{\prime }\ge b$. 反证法, 不妨设 $b^{\prime }<b$. 令 $K=f^{-1}({\phi }_Y^{[0,b^{\prime }]}(f(p)))\subseteq M$, 则由 $f$ 紧合, $K$ 为紧集. 注意到 $f({\phi }_X^{[0,b^{\prime })}(p))\subseteq K$, 除非 $b^{\prime }=+\infty$, 否则这与引理 1.4 矛盾, 而这又与最初的假设矛盾. 引理得证.

$\square$

引理 1.4. 设 $M$ 是光滑流形, $X$ 是 $M$ 上的向量场. 设过 $M$ 上一点 $p$ 的积分曲线 ${\phi }_X^t(p)$ 的最大定义区间为 $J$. 若 ${\phi }_X^J(p)$ 包含在一个紧集 $K$ 中, 则 $J=\mathbb{R}$.

证明. 反证法, 不妨设 $J$ 的右端点 $b$ 有限, 则 $b\notin J$. 取 $J$ 中一点列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n\to b$. 则由 $K$ 紧, ${\phi }_X^{b_n}(p)$ 在 $K$ 中具有收敛子列, 不妨设 ${\phi }_X^{b_n}(p)$ 本身收敛到 $q\in K$. 由于过 $q$ 点存在积分曲线, 当 $n$ 充分大时, ${\phi }_X^{b_n}(p)$ 将落在此积分曲线上, 由积分曲线的唯一性, 这就意味着 ${\phi }_X^t(p)$ 延拓过了 $b$, 与 $J$ 是最大定义区间矛盾.

$\square$

2推论

推论 2.1. $f:M\to N$ 为光滑流形的紧合浸没, $\mathcal{L}$ 为 $M$ 上局部系. 则 $f_{\ast }\mathcal{L}$ 为 $N$ 上局部系.

此结论在发展相对 Hodge 理论, 或者说 Hodge 结构形变时, 十分重要.

3相关概念

•	纤维丛
•	纤维化
•	Frobenius 定理

术语翻译

Ehresmann 纤维化定理 • 英文 Ehresmann’s fibration theorem • 德文 Faserungsatz von Ehresmann • 法文 théorème de fibration d’Ehresmann • 拉丁文 theorema Ehresmann de fibratione