紧合映射
紧合映射是拓扑空间之间的一类连续映射. 紧合映射的纤维都为紧空间, 故可视为紧空间在相对观点下的推广.
1定义
在文献中, 也常将紧合映射定义为满足 “紧子空间的原像仍是紧子空间” 的连续映射. 这一定义稍弱于上述定义, 但当 为紧生成 Hausdorff 空间时等价于上述定义 (定理 3.3).
2例子
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• | 投影映射 紧合, 当且仅当 是紧空间. |
3性质
等价刻画
紧合映射有许多刻画方式. 其中之一利用了滤子的概念. 为陈述它我们引入如下概念.
定义 3.1. 令 为集合 上的滤子. 定义 为向 中额外加入一点得到的集合. 定义 上拓扑如下: 它的开集为 中任何子集; 或者为形如 的子集, 其中 .
定理 3.2. 令 为拓扑空间之间的连续映射. 则下述陈述等价.
1. | 为紧合映射. |
2. | 是闭映射, 且对任何 的紧子空间 , 也是紧的. |
3. | 是闭映射, 且对任何 , 是紧的. |
4. | 若 为 上一滤子, 且 收敛于 , 则存在 使得 为 的聚点. |
5. | 对任何装备了超滤的集合 , 以及任意的拓扑空间范畴中的实交换图都存在虚箭头使得整个图交换. |
6. | 对任何连续映射 , 令 , 则底变换映射 是紧合映射. |
7. | 是泛闭映射, 即对任何连续映射, , 令 . 则底变换映射 是闭映射. |
8. | 对任何拓扑空间 , 映射 为闭映射. |
证明.
术语翻译
紧合映射 • 英文 proper map • 德文 eigentliche Abbildung • 法文 application propre • 拉丁文 adhibitio propria • 古希腊文 ἴδιος ἀπεικονισμός