紧合映射

Disambiguate.png

本文介绍的是拓扑学里的概念. 关于代数几何里的概念, 请参见 “紧合态射”.

紧合映射拓扑空间之间的一类连续映射. 紧合映射的纤维都为紧空间, 故可视为紧空间在相对观点下的推广.

1定义

定义 1.1 (紧合映射).拓扑空间之间的连续映射. 称 紧合映射, 如果满足以下条件:

对任意 , 任意一族 的满足 的开集 , 都存在 的邻域 , 以及 的有限子集 , 满足 .

在文献中, 也常将紧合映射定义为满足 “子空间原像仍是紧子空间” 的连续映射. 这一定义稍弱于上述定义, 但当 紧生成 Hausdorff 空间时等价于上述定义 (定理 3.3).

2例子

恒同映射是紧合映射. 闭子空间的含入映射也是紧合映射.

投影映射 紧合, 当且仅当 紧空间.

3性质

等价刻画

紧合映射有许多刻画方式. 其中之一利用了滤子的概念. 为陈述它我们引入如下概念.

定义 3.1. 为集合 上的滤子. 定义 为向 中额外加入一点得到的集合. 定义 上拓扑如下: 它的开集为 中任何子集; 或者为形如 的子集, 其中 .

定理 3.2. 为拓扑空间之间的连续映射. 则下述陈述等价.

1.

为紧合映射.

2.

闭映射, 且对任何 的紧子空间 , 也是紧的.

3.

闭映射, 且对任何 , 是紧的.

4.

上一滤子, 且 收敛于 , 则存在 使得 的聚点.

5.

对任何装备了超滤的集合 , 以及任意的拓扑空间范畴中的实交换图都存在虚箭头使得整个图交换.

6.

对任何连续映射 , 令 , 则底变换映射 是紧合映射.

7.

泛闭映射, 即对任何连续映射, , 令 . 则底变换映射 是闭映射.

8.

对任何拓扑空间 , 映射 为闭映射.

定理 3.3. 为拓扑空间之间的连续映射. 若 紧生成 Hausdorff 空间, 则下列等价:

是紧合映射.

的任何紧子空间 , 其原像 的紧子空间.

证明.
证明. 根据定理 3.22 款, 只需证明 是闭映射. 令 的闭子集. 对任何 的紧子集 , . 根据假设, 紧. 由于 的闭子集, 它也是紧的. 因此 是紧空间. 由于 是 Hausdorff 空间, 是闭的. 由于 紧生成, 是闭的. 这就完成了证明.

术语翻译

紧合映射英文 proper map德文 eigentliche Abbildung法文 application propre拉丁文 adhibitio propria古希腊文 ἴδιος ἀπεικονισμός